离散型随机变量均值

1、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？分析：由于平均在每千克的混合糖果中，3种糖果的质量分别为1/2kg,1/3kg和1/6kg,所以混合糖果的合理价格应该是kg/23613631242118元它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的加权分别是它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的加权分别是613121和， 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你 能解释权数的实际含义吗？X182436p2131根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中

2、，任取根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这一颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别一颗糖果，这一颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为为 ，即取出这颗糖果的价格为，即取出这颗糖果的价格为1818元元/kg,24/kg,24元元/kg/kg或或3636元元/kg/kg的概率分别为的概率分别为 ，用，用x x表示这颗表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为：糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为：613121，613121和，61因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率，这样，每千克混合糖果的合理价格可以表示为18P（X=18）+24P（X=24）

3、+36P（X=36）一般地，若随机变量一般地，若随机变量X X的分布列为：的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipnnniipxpxpxpxX2211E）（为随机变量为随机变量X X的的均值均值或或数学期望数学期望，它反映了离散型随机变量的平均水平。它反映了离散型随机变量的平均水平。则称则称已知随机变量已知随机变量X X的分布列如下表，求的分布列如下表，求E(X).E(X).x-213p0.160.440.4032. 140. 0344. 0116. 02)(XE解：你能求你能求E E（2X+52X+5）的值吗？的值吗？X-2132X+51711P0.160.440.4064.740.0

4、1144.0716.01)52(XE 64. 75240. 052344. 052116. 0522XE的分布列为所以，）（因为也是随机变量，为常数，则其中若Y, 3 , 2 , 1),(,nixXPbaxYPYbabaXYiiYax1+bax2+baxi+ baxn+ bPp1p2pipnbXaEppppbxpxpxpxpapbaxpbaxpbaxpbaxYEnininnii)()()()()(21212211）（）（）（于是：即：E（aX+b）=aE（X）+b例例1 1：在篮球比赛中，罚球命中一次得：在篮球比赛中，罚球命中一次得1 1分，不分，不中得中得0 0分，如果某运动员罚球命中的概率

5、为分，如果某运动员罚球命中的概率为0.70.7，那么他罚球一次的得分那么他罚球一次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？解：因为P（X=1）=0.7，P（X=0）=3， 所以 E（X）=1P(X=1)+0P(X=0) =10.7+00.3=0.7一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，那么服从两点分布，那么（）（）（）（）于是有于是有若服从两点分布，则若服从两点分布，则（）（）npqpCnpqpnpCqpkCXEnCpnnknkknnkknkknknnkkknkn111)1(1111011kn)(kC,BX可得那么由）（如果于是有于是有若若（，），（，），则则（）（）随机

6、变量的均值与样本的均值有何联系随机变量的均值与样本的均值有何联系与区别？与区别？随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。变量。对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值。的平均值越来越接近于总体的均值。因此，我们常用样本的均值来估计总体的均值。因此，我们常用样本的均值来估计总体的均值。例：一次单元检测由个选择题构成，每个选择题有四个例：一次单元检测由个选择题构成，每个选择题有四个选项，其中仅

7、有一个选项正确，每题选对得分，不选或选错选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得分，不选或选错不得分，满分分，学生甲选对任何一道题的概率为不得分，满分分，学生甲选对任何一道题的概率为. .，学生乙则在检验中对每题都匆匆个选项中随机地选择一个，学生乙则在检验中对每题都匆匆个选项中随机地选择一个，分分别求学生甲和学生乙在这次检验中成绩的均值。分分别求学生甲和学生乙在这次检验中成绩的均值。解：设学生甲和学生乙在这次单元检测中选对的题数分别为解：设学生甲和学生乙在这次单元检测中选对的题数分别为，则，则X1B(20,0.9),X2B(20,0.25).所以所以 E( XE( X1 1)=20)=200.9

8、=18 E0.9=18 E（X X2 2）=20=200.25=50.25=5思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会随时思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会随时9090分吗？分吗？ 他的成绩的平均值为他的成绩的平均值为9090分的含义是什么？分的含义是什么？由于每题选对得由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次检验中的成分，所以学生甲和学生乙在这次检验中的成绩分别是绩分别是5X1和和5X2，这样他们在检验中成绩的平均值分别为，这样他们在检验中成绩的平均值分别为 E E（5 X5 X1 1）=5 E=5 E（ X X1 1）=5=518=90 18=90 E E（5 X5 X2 2）=

9、5 E( X=5 E( X2 2)=5)=55=255=25例例3 3：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.250.25，有大洪水的概率为，有大洪水的概率为0.010.01。该地区某工地上有一。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失台大型设备，遇到大洪水时要损失6000060000元，遇到小元，遇到小洪水时要损失洪水时要损失1000010000元，为保护设备，有一下元，为保护设备，有一下3 3种方案：种方案：方案方案1 1：运走设备，搬运费：运走设备，搬运费38003800元。元。方案方案2 2：建保护围墙，建设费用为：建保护围墙，建

10、设费用为20002000元，但围墙只元，但围墙只 能防小洪水。能防小洪水。方案方案3 3：不采取措施。：不采取措施。试比较哪种方案好？试比较哪种方案好？解：用解：用X X1 1,X,X2 2, X, X3 3别表示方案别表示方案1,2,31,2,3的损失。的损失。采用第一种方案，无论有无洪水，都有损失采用第一种方案，无论有无洪水，都有损失38003800元，即元，即X X1 1=3800=3800，无洪水。，有小洪水；，有大洪水；01000060000X3同样，采用第三种方案，有同样，采用第三种方案，有，无大洪水。，有大洪水；200062000X2采用第二种方案，遇到大洪水时损失采用第二种方案

11、，遇到大洪水时损失2000+60000=620002000+60000=62000元；元；没有洪水时，损失没有洪水时，损失20002000元，即元，即于是，E（X1）=3800 E（X2）=62000P（X2=6200）+2000P（X2=2000） =620000.01+2000（1-0.01）=2600 E（X3）=60000P（X3=60000）+10000P （X3=10000）+0P（X3=0） =600000.01+100000.25=3100采取方案采取方案2 2的平均损失最小，因此可以选择方案的平均损失最小，因此可以选择方案2 2 上述结论是通过比较上述结论是通过比较“平均损失

12、平均损失”而得出的，一而得出的，一般的我们可以这样理解般的我们可以这样理解“平均损失平均损失”：如果问题中的天气情况多：如果问题中的天气情况多次发生，那么采用方案次发生，那么采用方案2 2将会使损失减到最小，由于洪水是否发将会使损失减到最小，由于洪水是否发生及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采生及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案用方案2 2也不一定是最好的。也不一定是最好的。一般地，若随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipnnniipxpxpxpxX2211E）（为随机变量X的均值或数学期望，则称若服从两点分布，则若服从两点分布，则（）（）若若（，），（，），则则（）（）若若Y=aX+bY=aX+b(a,b(a,b为常数为常数) )，则，则E E（aX+baX+b）=aE=aE（X X）+b+b1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列为下图，求的分布列为下图，求E（X）X012345P0.10.20.30.20.10.12、抛掷一枚硬币，规定正面向上得、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，反面向上得-1分，求分，求得分得分X的均值的均值。3、产量相同的、产量相同的3台机床生产同一种零件，它们在一小时内生产