高次方程、分式方程、无理方程的解法

1、高次方程、分式方程、高次方程、分式方程、无理方程的解法无理方程的解法 内容概况内容概况 无理方程无理方程 高次方程高次方程 分式方程分式方程一次或二次方程一次或二次方程 整式方程整式方程有理方程有理方程 因式分解、因式分解、 换元换元两边同乘以最简公分母、两边同乘以最简公分母、 换元换元两边平方、换元两边平方、换元 2、高次方程的解法、高次方程的解法 我们可通过我们可通过因式分解因式分解和和换元换元将一元高次方程将一元高次方程 转化为一元一次方程和一元二次方程转化为一元一次方程和一元二次方程 一、高次方程的解法一、高次方程的解法知识要点知识要点1、什么是高次方程什么是高次方程 整式方程中，未知

2、数的次数大于或等于整式方程中，未知数的次数大于或等于3的方程称为的方程称为高次方程高次方程 典型例题典型例题03423xxx0)34(2 xxx0)3)(1(xxx所以所以例例1（1）解方程解方程 解：因式分解解：因式分解 3, 1, 0321xxx 典型例题典型例题013x043)21(122xxx0) 1)(1(123xxxx因为因为 所以所以 01x所以所以 例例1（2）解方程解方程 解：解： 因式分解因式分解1x典型例题典型例题例例1（3） 解方程解方程084223xxx解：解：因式分解因式分解0)2(4)2(2xxx0)2)(4(2xx0)2)(2(2xx所以所以2, 2321xxx

3、典型例题典型例题例例2（1）解解 方方 程程024)5(2)5(222xxxx解：解： 换元换元 令令 xxt52则原方程可以化为则原方程可以化为 02422 tt即即 0)4)(6(tt 故故 6t或或4t即即 652 xx或或 452 xx解得：解得： 4, 1, 6, 14321xxxx典型例题典型例题例例2（2）解方程解方程 19)7)(4)(1)(2(xxxx22(514)(54)19xxxx解：解：原方程即原方程即 换元换元 令令 2514xxt原方程可化为原方程可化为 19)18(tt解得解得 19t或或 1t即即 251419xx 或或 25141xx典型例题典型例题解得：解得

4、： 2551x2552x28553x28554x例例2（3） 解方程解方程解：解：原方程即原方程即 换元换元 令令 原方程可化为原方程可化为 解得解得 或或 即即 12)66)(86()76(2xxx72) 176)(176()76(2xxx76 xt72) 1(22tt92t82t（舍去）（舍去）3t解得解得 376x32x或或 35x解得解得 解高次方程的一般步骤解高次方程的一般步骤 1 1、整理方程，右边化为、整理方程，右边化为0.0. 2 2、将方程左边因式分解，或者进行换元、将方程左边因式分解，或者进行换元 3 3、将方程转化为若干个一次或二次方程、将方程转化为若干个一次或二次方程

5、4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .解高次方程的思路是：解高次方程的思路是：高次高次方程方程一次或二次方程一次或二次方程因式分解、换元因式分解、换元方法提炼方法提炼1.可通过可通过因式分解因式分解将高次方程转化为将高次方程转化为 一次或二次方程一次或二次方程2.可通过可通过换元换元将高次方程转化为将高次方程转化为一次或二次方程一次或二次方程3. n次方程次方程最多最多有有n个实数根个实数根二、分式方程的解法二、分式方程的解法知识要点知识要点1、什么是分式方程什么是分式方程 分母中含有未知数的方程叫分母中含有未知数的方程叫分式方程分式方程.2 2、分式方程的解法、分式方程的解法我们可通过

6、我们可通过将方程两边同乘以最简公分母将方程两边同乘以最简公分母 或者或者换元换元将分式方程转化为整式方程将分式方程转化为整式方程. 3 3、解分式方程的注意点、解分式方程的注意点在解分式方程后都必需在解分式方程后都必需检验检验,这是因为从分式这是因为从分式 方程到整式方程的转化方程到整式方程的转化有时不是等价的有时不是等价的.典型例题典型例题例例3（1） 解方程解方程 xx527解：解： 两边同乘以最简公分母两边同乘以最简公分母) 2( xx得得 )2(57xx解得解得5x 经检验经检验， 5x是原方程的解是原方程的解. 典型例题典型例题例例3（2） 解方程解方程化简为化简为 13252xxx

7、x解：解： 两边同乘以最简公分母两边同乘以最简公分母xx 2得得 )( 3) 1)(25(2xxxx0) 1(2x解得解得 1x经检验经检验 1x是增根，原方程无解是增根，原方程无解. 为什么会产为什么会产生增根？生增根？增根的定义增根的定义增根增根:在去分母在去分母,将分式方程转化为整式方程将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根的过程中出现的不适合于原方程的根.产生的原因产生的原因:分式方程两边同乘以一个分式方程两边同乘以一个后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程而不是分式方程的根的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简所以我们解分式方程时一定要

8、代入最简公分母检验公分母检验使最简公分母值为零的根使最简公分母值为零的根解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、在方程的两边都乘以、在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母，化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整式方程、解这个整式方程. . 3 3、把整式方程的解代入、把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简公，如果最简公分母的值分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程的解；，则整式方程的解是原分式方程的解；否则否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .

9、解分式方程的思路是：解分式方程的思路是：分式分式方程方程整式整式方程方程去分母去分母一化二解三检验一化二解三检验典型例题典型例题例例4 解方程解方程22) 12(31222222xxxx解：解：令令txx12222原方程可化为原方程可化为 23tt即即 0322 tt解得解得 1, 321tt所以所以 312222xx或或 112222xx典型例题典型例题即即 0172x或或 032x解得解得 3, 3,77,774321xxxx经检验经检验 以上均为原方程的根以上均为原方程的根.换元可以使运算变得简便换元可以使运算变得简便典型例题典型例题x) 1)(2(21221xxaxxxxxa已知关于已

10、知关于 的方程的方程 的解为负数的解为负数的范围的范围. .例例5 求实数求实数 解：解： 左边通分左边通分) 1)(2(2) 1)(2(54xxaxxxx所以所以 所以所以 axx254ax 52，25ax且且 125 a解得解得 5a且且 7a0方法提炼方法提炼 在分式方程在分式方程两边同乘以最简公分母两边同乘以最简公分母， 可把分式方程化为整式方程可把分式方程化为整式方程 2.换元换元可以使解方程的过程变得简便可以使解方程的过程变得简便3. 解分式方程时应注意解分式方程时应注意检验检验一化二解三检验一化二解三检验三、无理方程的解法三、无理方程的解法知识要点知识要点1、什么是无理方程什么是

11、无理方程 根号内含有未知数的方程叫根号内含有未知数的方程叫无理方程无理方程.2 2、无理方程的解法、无理方程的解法我们可通过我们可通过将方程两边平方将方程两边平方或者或者换元换元 将无理方程转化为有理方程将无理方程转化为有理方程. 3 3、解无理方程的注意点、解无理方程的注意点在解无理方程后必需在解无理方程后必需检验检验,这是因为从无理这是因为从无理 方程到有理方程的转化方程到有理方程的转化有时不是等价的有时不是等价的.典型例题典型例题例例6（1）解方程解方程 解：解： 17xx0107*) 1(72xxxx解得解得 2x3x为增根为增根 （）此题也可先解出方程此题也可先解出方程*的根，的根，

12、 再代回原方程检验再代回原方程检验. 为什么会产为什么会产生增根？生增根？典型例题典型例题例例6（2）解方程解方程解：解： 5122xx移项移项， 5212xx两边平方两边平方，化简得，化简得 0121122xx解得解得 4x或或 23x经检验经检验， 4x是原方程的根，是原方程的根， 23x是增根是增根. 典型例题典型例题例例6（2）解方程解方程 5122xx此题也可令此题也可令 tx12转化为转化为 t的一元二次方程的一元二次方程 512tt求解求解. 即即062tt解得解得)0( t3t或或2t（舍去）（舍去）即即312x解得解得4x典型例题典型例题例例7 解方程解方程解：解： 3323

13、xx移项移项得得 3323xx两边平方两边平方，整理得，整理得 xx733再两边平方再两边平方，化简得，化简得 022232xx解得解得 22, 121xx经检验经检验 11x为原方程的根，为原方程的根， 222x是增根是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项方程一边出现两个根号时要先移项.解无理方程的一般步骤解无理方程的一般步骤 1 1、将方程的两边、将方程的两边平方平方，化成，化成有理方程有理方程. .有时要先有时要先移项，再平方移项，再平方 2 2、解这个有理方程、解这个有理方程. . 3 3、把有理方程的解代入原方程检验、把有理方程的解代入原方程检验 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .解无理方程的思路是：解无理方程的思路是：无理无理方程方程有理有理方程方程去根号去根号一化二解三检验一化二解三检验典型例题典型例题例例8 解方程解方程解：解： 215215322xxxx令令txx152则原方程化为则原方程化为 )0( t05232 tt解得解得 35, 121tt（舍去）（舍去） 所以所以 1152 xx解得解得 0, 521xx经检验经检验 0, 521xx都是原方程的根都是原方程的根.通过通过换元换元可将原方程化为关于可将原方程化为关于