大学物理第二版运动学

1、第第1 1篇篇 力力 学学第第1 1章章 运动学运动学第第2 2章章 动力学动力学第第3 3章章 力学的守恒定律力学的守恒定律第第4 4章章 相对论力学初步相对论力学初步 力学：力学：研究机械运动的规律及其应用的学科称为力学。研究机械运动的规律及其应用的学科称为力学。 力学的任务：力学的任务：对形形色色机械运动进行实验研究，并把对形形色色机械运动进行实验研究，并把实验数据总结成运动定律。实验数据总结成运动定律。 在力学中研究运动描述的方法，即描述运动物体的位置在力学中研究运动描述的方法，即描述运动物体的位置随时间变化的部分，成为运动学；而研究物体在运动过程中随时间变化的部分，成为运动学；而研究

2、物体在运动过程中和周围其他物体的相互作用，以及这些作用对物体运动所产和周围其他物体的相互作用，以及这些作用对物体运动所产生的影响的部分成为动力学。生的影响的部分成为动力学。 根据运动物体的性质、运动特性和所需解决的问题的内根据运动物体的性质、运动特性和所需解决的问题的内容，力学又可分为质点力学、刚体力学、流体力学等。容，力学又可分为质点力学、刚体力学、流体力学等。基本条件基本条件1. 1. 时空观时空观2. 2. 理想化模型理想化模型3. 参照系坐标系参照系坐标系经典时空观经典时空观相对论时空观相对论时空观质点质点质点系质点系非刚体系非刚体系刚体刚体描述方法描述方法定义反映运动定义反映运动性质

3、的物理量性质的物理量 运动方程运动曲线运动方程运动曲线坐标坐标速度速度加速度加速度第第1章章 运动学运动学本章内容：本章内容：1. 1 时空的基本属性时空的基本属性1. 2 物质世界的层次物质世界的层次1. 3 实物的简化模型实物的简化模型1. 4 质点运动的描述质点运动的描述1. 5 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述1. 6 理想流体的定常流动理想流体的定常流动1. 7 相对运动相对运动1.1 时空的基本属性时空的基本属性1.1.1 1.1.1 时间均匀性假设时间均匀性假设 时间平移对称性时间平移对称性 当时间的计算起点移动时，物理规律的具体表达形式不当时间的计算起点移动时，物理规律的具

4、体表达形式不会改变，物理规律对时间的平移变换具有不变性因此，不会改变，物理规律对时间的平移变换具有不变性因此，不同的时刻在物理上是等价的，时间具有平移对称性同的时刻在物理上是等价的，时间具有平移对称性 某一研究对象某一研究对象(体系、事物体系、事物;物理规律物理规律)对其状态进行某种对其状态进行某种操作（使其从一个状态变到另一个状态的过程），若两状态操作（使其从一个状态变到另一个状态的过程），若两状态等价等价(相同相同)，就说该研究对象对该操作具有对称性。，就说该研究对象对该操作具有对称性。时间的均匀性假设时间的均匀性假设: 时间是一维的，并在确定的空间均匀地时间是一维的，并在确定的空间均匀地

5、流逝着时间的测量与空间方位无关流逝着时间的测量与空间方位无关时间平移对称性时间平移对称性: 时间：时间：反映物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化反映物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化发展过程联系在一起。发展过程联系在一起。1.1.2 1.1.2 空间均匀性和各向同性空间均匀性和各向同性 空间平移与旋转对称性空间平移与旋转对称性 物理规律对于空间的任何点的任何旋转操作具有不变性，物理规律对于空间的任何点的任何旋转操作具有不变性，称之为空间旋转对称性称之为空间旋转对称性 对空间坐标的原点做任何平移操作时，物理规律的具体表对空间坐标的原点做任何平移操作时，物理规律的具体表达形式不会改变

6、，即空间具有平移对称性达形式不会改变，即空间具有平移对称性空间的均匀性和各向同性假设：空间的均匀性和各向同性假设：空间平移对称性空间平移对称性:物理空间：物理空间：是指有长、宽、高三维规定的空间体的具体空间。是指有长、宽、高三维规定的空间体的具体空间。反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。 空间旋转对称性空间旋转对称性: 空间分布是均匀的，而且具有各向同性空间分布是均匀的，而且具有各向同性任何科学理论必须建立在下述对称性的前提下任何科学理论必须建立在下述对称性的前提下: : 不因时而异不因时而异时间均匀性；时间均匀性；不

7、因地而异不因地而异空间均匀性与各向同性；空间均匀性与各向同性；1.1.3 1.1.3 时间和空间的计量时间和空间的计量 将一个平均太阳日的将一个平均太阳日的1/86400作为一秒，称作世界时秒作为一秒，称作世界时秒判别和排列各个事件发生的先后顺序及运动的快慢程度判别和排列各个事件发生的先后顺序及运动的快慢程度选定某种周期性重复的运动选定某种周期性重复的运动过程作为参考标准过程作为参考标准物质的运动过程物质的运动过程（1）时间的计量：）时间的计量：时间表征物质运动的持续性，凡已知其运时间表征物质运动的持续性，凡已知其运动规律的物理过程，都可以用作时间的计量动规律的物理过程，都可以用作时间的计量。

8、地球的自地球的自 转和公转转和公转月球绕地月球绕地 球的公转球的公转1967年第十三届国际计量大会决定采用铯原子钟作为新的时年第十三届国际计量大会决定采用铯原子钟作为新的时间计量标准，并定义间计量标准，并定义1s的长度等于的长度等于133Cs原子基态两个超精细原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770倍这个跃倍这个跃迁频率测量的准确度达到迁频率测量的准确度达到10-12至至10-13比较比较存在着不存在着不规则变化规则变化微观研究有微观研究有了新的发现了新的发现利用分子和原子的固有振动利用分子和原子的固有振动频率作为时间的计量标准，

9、频率作为时间的计量标准，制成了大量的原子钟制成了大量的原子钟通过巴黎的子午线从北通过巴黎的子午线从北极到赤道距离的千万分极到赤道距离的千万分之一为之一为1米米（1m）空间中两点间的距离为长度空间中两点间的距离为长度选定某选定某一长度基准一长度基准任何长度的计量任何长度的计量（2）空间的计量：）空间的计量：空间反映物质运动的广延性空间反映物质运动的广延性在三维空间里在三维空间里的位置可由三个相互独立的坐标来确定的位置可由三个相互独立的坐标来确定国际上对长国际上对长 度基准度基准“米米”的定义作过的定义作过 三次正式规定三次正式规定1960年第十一届国际计量大会决年第十一届国际计量大会决定，用定，

10、用86Kr原子的橙黄色光波波原子的橙黄色光波波长的长的1 650 763.73倍来定义倍来定义“米米”，实现了长度的自然基准实现了长度的自然基准比较比较由于该基准由于该基准和它所表达和它所表达的值之间存的值之间存在差异在差异1889年第一届国际计量年第一届国际计量大会通过，将保存在法大会通过，将保存在法国的国际计量局中铂铱国的国际计量局中铂铱合金棒在合金棒在0.00时两刻时两刻线间的距离定义为线间的距离定义为1米米（1m）实物基准实物基准很难保证很难保证其稳定性其稳定性1983年第十七届国际计量大年第十七届国际计量大会通过，会通过，“米米”是光在真空是光在真空中中（1/299 792 458）

11、s的时间的时间间隔内运行路程的长度间隔内运行路程的长度激光激光微观粒子微观粒子介观物质介观物质宏观物质宏观物质宇观物质宇观物质现代物理学把物质划分为不同的层次现代物理学把物质划分为不同的层次 原子尺度数原子尺度数量级的客体量级的客体接近人体尺度附近接近人体尺度附近几个数量级的物体几个数量级的物体把由十几个到数百把由十几个到数百个原子组成的团簇个原子组成的团簇及同量级的物体及同量级的物体亚原子亚原子 10-1810-17 m空间空间尺度：尺度：哈勃半径哈勃半径 10 26 m1.2 物质世界的层次物质世界的层次1.2.1 1.2.1 物质世界的空间尺度物质世界的空间尺度 时间时间尺度：尺度：基本

12、粒子寿命基本粒子寿命 10-25 s宇宙年龄宇宙年龄 1018 s1.2.2 1.2.2 物质世界的时标物质世界的时标 一次大爆炸一次大爆炸瞬间温度瞬间温度约为约为10102828K各处的温度各处的温度约为约为10101010K宇宙温度宇宙温度从从10109 9K降降到到10106 6K温度降到温度降到几千开几千开宇宙大约是宇宙大约是在（在（1.02.0）1010年前年前轻元素的轻元素的早期合成早期合成阶段阶段物质密度极大物质密度极大,宇宇宙的结构简单，宙的结构简单，只有质子、中子、只有质子、中子、电子、光子和中电子、光子和中微子等。微子等。1s1s后后3min3min现代的标准宇宙模型现代的

13、标准宇宙模型约约4040万万年后年后原子核和电原子核和电子复合成电子复合成电中性的原子中性的原子和分子和分子,直至直至成为今天的成为今天的宇宙宇宙人们不断向人们不断向小尺度开拓以探索小尺度开拓以探索物质的组成物质的组成 物理学上对应物理学上对应 粒子物理学粒子物理学(微观理论微观理论)目前物理学界公认组成物质的最小单元是目前物理学界公认组成物质的最小单元是夸克夸克 即认为即认为quark quark 没有内部结构没有内部结构 但近来有消息称但近来有消息称: : quarkquark 也也可一分为二可一分为二 说明说明认识无止境认识无止境 认识基本粒子认识基本粒子 揭示物质的组成揭示物质的组成

14、高能物理实验高能物理实验( (实验手段实验手段) ) 发展加速器取得实验数据发展加速器取得实验数据 验证微观理论验证微观理论 人们从自己向人们从自己向大尺度追问以探索大尺度追问以探索宇宙的奥秘宇宙的奥秘 物理学上对应物理学上对应 天体物理学天体物理学(宇观理论宇观理论)仙女座大星云仙女座大星云分析宇宙的起源分析宇宙的起源 大爆炸宇宙学大爆炸宇宙学E- -15E- -12E- -09E- -06E- -031mE+03E+06E+09E+12E+15E+18E+21E+24E+27最小最小 的细胞的细胞原子原子原子核原子核基本粒子基本粒子DNA长度长度星系团星系团银河系银河系最近恒最近恒星的距离

15、星的距离太阳系太阳系太阳太阳山山哈勃半径哈勃半径超星系团超星系团人人蛇吞尾图，形象地表示了物质世界空间尺度的层次蛇吞尾图，形象地表示了物质世界空间尺度的层次1.3 实物的简化模型实物的简化模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求，为了突出研究对象的主要性质，而忽略一些次要的要素求，为了突出研究对象的主要性质，而忽略一些次要的要素, ,对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。模型。提出物理模型的基本原则提出物理模型的基本原则（）明确所提问题；（）明确所提问题；（）

16、突出主要因素，提出理想模型；（）突出主要因素，提出理想模型； “理想模型理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）分析各种因素在所提问题中的主次；（）实验验证。（）实验验证。1.3.1 1.3.1 质点质点 把物体分解成许多个小部分，如果每个小部分均可看作把物体分解成许多个小部分，如果每个小部分均可看作质点，那么整个物体可视为由许多质点组成的系统，称其为质点，那么整个物体可视为由许多质点组成的系统，称其为质点系质点系。 真实的物体不满足上述条件时，则可将其视为满足第一真实的物体不满足上述条件时，则可将其视为

17、满足第一个条件的质点系。个条件的质点系。 为了突出物体最为基本的机械运动特征，我们可将物体视为了突出物体最为基本的机械运动特征，我们可将物体视为具有一定质量的点，这样的点通常叫做为具有一定质量的点，这样的点通常叫做质点质点 选用质点模型的条件是：选用质点模型的条件是： 物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围相比可以忽物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围相比可以忽略；略； 或者物体只作平动。或者物体只作平动。1.3.2 1.3.2 质点系质点系 两个条件中，具一即可。两个条件中，具一即可。1.3.3 1.3.3 刚体刚体 刚体：刚体：指在任何情况下形状和大小不变的理想物体指在任何情况下形状

18、和大小不变的理想物体 当物体自身线度与所研究的物体运动当物体自身线度与所研究的物体运动的空间范围比不可以忽略；物体又不作的空间范围比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位。平动时，即必须考虑物体的空间方位。刚体模型刚体模型 刚体是一个内部各质点之间无相对位置变化且质量连续刚体是一个内部各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。分布的特殊质点系。1.3.4 1.3.4 理想流体理想流体 流体流体: 流体质量元流体质量元微观上看为无穷大，不必深入研微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；究流体分子的无规则热运动；宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置宏观上看为

19、无穷小的一点，有确定的位置 、速度速度 、密度、密度 和压强和压强 等；等；rvP 流体质量流体质量元有别于力元有别于力学中的质点学中的质点 可压缩性可压缩性 流体的体积（或密度）随压强大小而变化的性质流体的体积（或密度）随压强大小而变化的性质. 黏滞性黏滞性 实际流体流动时实际流体流动时,速度不同的层与层之间存在阻碍相对速度不同的层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力运动的内摩擦力,流体的这种性质称为流体的黏滞性流体的这种性质称为流体的黏滞性.理想流体理想流体:绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体流体受压缩程度极小，其密度变化流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略

20、时，可看作不可压缩流体。可忽略时，可看作不可压缩流体。流体在流动时，若能量损耗可忽流体在流动时，若能量损耗可忽 略不计，可看作非黏滞流体。略不计，可看作非黏滞流体。 水水和流动和流动的气体的气体通常可通常可视为理视为理想流体想流体xyv+dvvssff dy1.4.1 1.4.1 参考系参考系 坐标系坐标系1.4 质点运动的描述质点运动的描述 英国大主教贝克莱：英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生恒星，我

21、们就能够从两球与天空不同部分的想对位置想象出它们的运动恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的想对位置想象出它们的运动了了”。 自然界中的所有物质都在不停地运动，绝对静止不动的自然界中的所有物质都在不停地运动，绝对静止不动的物体是不存在的运动是物质的固有属性物体是不存在的运动是物质的固有属性 v选不同的参考系，运动的描述是不同的。选不同的参考系，运动的描述是不同的。地面上的自由落体运动地面上的自由落体运动火车上的观察者：火车上的观察者：物体作匀变速直线运动。物体作匀变速直线运动。物体作平抛运动；物体作平抛运动；地面上的观察者：地面上的观察者：描述物体运动所选的标准物体或物体群叫做参考系。描述物体

22、运动所选的标准物体或物体群叫做参考系。参考系参考系(1) 运动学中参考系可任选。通常以对问题的研究最方运动学中参考系可任选。通常以对问题的研究最方 便、最简单为原则便、最简单为原则(2) 参考物选定后，坐标系可任选。运动形式相同，数参考物选定后，坐标系可任选。运动形式相同，数学表述不同。在讲述物体运动情况时，必须指明是学表述不同。在讲述物体运动情况时，必须指明是对什么参考系而言的。对什么参考系而言的。 讨论：讨论：坐标系坐标系 为定量地描述物体位置而引入。为定量地描述物体位置而引入。 常用的坐标系有：常用的坐标系有：直角坐标系直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系球坐标系（ r, ）柱

23、坐标系柱坐标系（r , , z ） 自然坐标系自然坐标系 ( s )xyoz1.4.2 1.4.2 描述质点运动的量描述质点运动的量 (1)位置矢量位置矢量其在直角坐标系中为其在直角坐标系中为 由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢。由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢。 rP(x,y,z)ikjkzj yi xr222zyxr位矢的方向余弦是位矢的方向余弦是 rx cosry cosrz cos位矢的大小为位矢的大小为 质点运动时，有质点运动时，有ktzjtyitxtrr)()()()()(txx )(tyy )(tzz 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度。已知运动学方程，可求质点

24、运动轨迹、速度和加速度。 意义：意义：运动方程运动方程求求解解hvx22022) () ()(htlhtltx-v坐标表示为坐标表示为例例 如图所示，以速度如图所示，以速度v 用绳跨一定滑轮拉用绳跨一定滑轮拉湖面上的船，已知湖面上的船，已知绳初长绳初长 l 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图依题意有依题意有tltl )(0v-质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。起始条件等，找出质

25、点坐标随时间变化的函数关系。0l)(tl)(txO船的运动方程船的运动方程 说明说明:(2)位移位移位移矢量反映了物体运动中位置位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位距离与方位 ) 的变化。的变化。 讨论：讨论：(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程位移不同于路程(2) 位移与坐标系原点的位置无关位移与坐标系原点的位置无关12( )( )PPrr ttr t - - (3)与与r 的区别的区别rxyzOP1P2rsOrOr分清分清)(tr)(ttr12rsPP 反映物体在空间位置的变化反映物体在空间位置的变化, 与路与路径无关，只决定于质点的始末位

26、置径无关，只决定于质点的始末位置.在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中12rrr-kzj yi xrx yzOr1r2r1P2P时刻时刻t ，质点位于，质点位于P1 ，位矢为，位矢为1r时刻时刻t + t ，质点位于，质点位于Q ，位矢为，位矢为2rkzjyixr1111 kzjyixr2222 时间时间 t 内质点的位移为内质点的位移为kzzjyyixx)()()(121212-111(,)x y z222( , )x y z建如图所示坐标，则建如图所示坐标，则位移的模为位移的模为 222212121xxyyzz-r(3) 速度速度( 描述物体运动状态的物理量描述物体运动状态的物理量 )1.

27、 平均速度平均速度rtttrttrtr-)()(vo)(ttr)(tr2. 瞬时速度瞬时速度trttrttrtdd)()(lim0-vABBAv 讨论：讨论：(1) 速度有矢量性、瞬时性和相对性。速度有矢量性、瞬时性和相对性。(2) 注意速度与速率的区别注意速度与速率的区别trtstrtrdddddd,ddvvvrr00dlimlimdttrssvttt 瞬时速度瞬时速度ktzjtyitxtrddddddddvddd , , dddvvvxyzyxzttt 222zyxvvvv速度的大小为速度的大小为其中其中kjizyxvvvv 例例 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端

28、点处，其速的端点处，其速度大小为度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中(4) 加速度加速度（反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量）1. 平均加速度平均加速度vtttttta-)()(vvv2. 瞬时加速度瞬时加速度 讨论：讨论：(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。220dddd)()(limtrtttttat-vvv)(tv)(ttvvP1P2)(tv)(ttv)(tr)(ttrO(2) 加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的

29、方向总是指向轨迹曲线凹的一面。taddvktzjtyitx222222ddddddktjtitzyxddddddvvv kajaiaazyx dddd , dddd , dddd 222222tztatytatxtazzyyxxvvv 222zyxaaaa大小为大小为其中其中在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中v 运动学的二类问题运动学的二类问题1. 第一类问题第一类问题asr,v已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移(2) t =2s 时时a ，vjir 21jir242-jijirrr321)2(2)(412-jttrajtjtr2d

30、ddd , 22dd22-vvjaji 2 , 4 222-v已知一质点运动方程已知一质点运动方程jtitr)( 222-求求例例解解 (1)(2)当当 t =2s 时时例例 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 其中其中求求（1 1） 时的速度时的速度. .（2 2） 作出质点的运动轨迹图作出质点的运动轨迹图. .( )( )( ) ,r tx t iy tj1( )(1m s)2m,x tt-2214( )( m s)2m.y tt-3st 解解 （1 1）由题意可得速度分量分别为）由题意可得速度分量分别为12dd11m s ,( m s )dd2xyxyttt-vv 11(1m s )(

31、1.5m s )ij-v3 st 时速度为时速度为速度速度 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角vx3 .5615 . 1arctan（2） 运动方程运动方程1( )(1m s )2mx tt-2214( )( m s)2my tt-由运动方程消去参数由运动方程消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为t/mx/my0轨迹图轨迹图246- 6- 4- 22460ts2ts2-ts4-ts4tm3)m41(21 -xxy解解jat16ddvtjt0(t)(0) d16dvvvjt-t 16(0)(vvtjtir)d 166(dkjti ttr88 6)(2已知已知ja16kri8060)(,)(vv求求和

32、运动方程。和运动方程。代入初始条件代入初始条件kr8(0) 代入初始条件代入初始条件2. 第二类问题第二类问题jt d16dvjtit 166)(v)(ddttrvttrrtjtir0)()0()d 166(d已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求r, v例例,t =0 时时1d( 1.0s)dat- -vv解解 由加速度定义由加速度定义例例 有一个球体在某液体中竖直下落有一个球体在某液体中竖直下落, ,其初速度其初速度为为 , , 它的加速度为它的加速度为 求求（1 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, ,10(10m s )j-v1(

33、1.0s )aj- -v0vyo,d)1s0 . 1(dt00-tvvvvtty)s0 . 1(01edd-vvtyttyded0)(-1.0s00-1 v（2 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？）此球体在停止运动前经历的路程有多长？t )s0 . 1(01e- vvme1 10)s0 . 1(1ty-0/my/st10-1/m s v0v0/st9.2s,0,10mtyv 2.3 4.6 6.9 9.2 8.9974 9.8995 9.9899 9.9990 v0/10v/st/my0/100v0/1000v0/10000vt )s0 . 1(01e- vvme1 10)0 . 1(1

34、tsy-)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可可求质点速度及其运动方程求质点速度及其运动方程 .tsvvddtsddv(速度在切线方速度在切线方向上的投影向上的投影)1.4.3 1.4.3 自然坐标系下的曲线运动自然坐标系下的曲线运动vavava质点在作曲线运动时，加速度的方向随时间不断地变化质点在作曲线运动时，加

35、速度的方向随时间不断地变化 自然坐标系：自然坐标系： 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线维坐标的轴线自然坐标。自然坐标。 soAvv瞬时速度瞬时速度vsoAvanaann加速度：加速度：tsvvdd)dd(ddddtsttavttstsdddddd22tsa22dd切向加速度切向加速度( (反映速度大小的变化）反映速度大小的变化） 大小大小: :ttsdddd22v方向方向: :法向加速度法向加速度( (反映速度方向的变化）反映速度方向的变化）2d dd dns ant tv大小大小: :方向方向: :2navn曲率半曲率半径径指向

36、曲指向曲率圆中率圆中心心 nststn an aan1)dtd(dddd2222vvnrnaann2v对于圆周运动对于圆周运动aaatstfsn, dd )(v对于平面曲线运动对于平面曲线运动质点在某位置处的合加速度为质点在某位置处的合加速度为 讨论：讨论：(1) 在一般情况下在一般情况下ntsttta222dddddd) (ddvvvv引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成径的圆弧所构成Bxyv(2)思考抛体运动过程中的曲率半径？思考抛体运动过程中的曲率半径？Anststn anaan1)dtd(dddd2222vvOC

37、已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为BtztAytAx , sin , cos在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度解解tszyxdd222vvvBAts dd222vv例例求求tBtAtAd sincos22222设自然坐标的正方向与质点运动方向相同设自然坐标的正方向与质点运动方向相同例例 解：解：singa xvgv gtgvg t 2220yvgv cosgangvvg t 02220g tvg t 222202222 2 3/2200()xynnvvvg tvaagv求求以速度以速度v0 平抛一小球，不计空气阻力。平抛一小球，不计空气阻力。t 时刻小球的切向加速度

38、量值时刻小球的切向加速度量值a 、法向加速度量值、法向加速度量值an和轨道的和轨道的曲率半径曲率半径. 由图可知由图可知 oyxgnaa v0一汽车在半径一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为程为s =20t - - 0.2 t 2 (SI) . .tts4 . 020dd-v根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有4 . 0dd-tavRtRan22)4 . 020(-v22222)4 . 020(4 . 0-Rtaaanm/s)(6 .19(1) v)m/s(96. 1200) 14 . 0

39、20(4 . 0(1)2222-a例例汽车在汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。求求解解1.5 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述1.5.1 1.5.1 圆周运动圆周运动rdrrdrPdsoOns(1)(1)线量描述线量描述ddsr( )srr自然坐标系中自然坐标系中ddsr ddddvsttr v质点作半径是质点作半径是R 圆周运动时的加速度为圆周运动时的加速度为 22ddddvstta22vvnRan=n(2)(2)角量描述角量描述)(t1P2Po1 )极轴(x角坐标角坐标对圆周运动：对圆周运动：)(trr （运动学方程（运动学方程) )极极 径径r1cr )(t（

40、运动学方程（运动学方程) )角位移角位移 t（逆时针逆时针 为为正正）ttttttttddlim)()(lim00-. 极坐标、极坐标、角位置与角位移角位置与角位移. 角速度（角速度（描述质点转动快慢的物理量描述质点转动快慢的物理量）. 角加速度角加速度（描述质点转动角速度变化快慢的物理量描述质点转动角速度变化快慢的物理量）220()( )ddlimdddttttttt -与与同号质点作加速运动同号质点作加速运动与与异号质点作减速运动异号质点作减速运动2r2. . 角量与线量的关系角量与线量的关系 速度与角速度的关系速度与角速度的关系ddsR0ddlimtsRRtt vd daRtv22naR

41、Rvv 加速度与角速度和角加速度的关系加速度与角速度和角加速度的关系)极轴(x1P2Po1 r12r2质点作半径是质点作半径是R 圆周运动时圆周运动时角速度矢量与线速度角速度矢量与线速度矢量之间的关系为矢量之间的关系为 r v以及以及 的大小的大小(2) 当当 =? 时，质点的加速度与半径成时，质点的加速度与半径成45o角？角？(1) 当当t =2s 时，质点运动的时，质点运动的an 和和a(rad)423t一质点作半径为一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为的圆周运动，已知运动学方程为(1) 由运动学方程可得由运动学方程可得求求a解解例例212ddtt22d24dtt22230

42、.4(m/s ) naR24.8(m/s )aR)m/s(5 .230222naaa(2) 设设 t 时刻，质点的加速度与半径成时刻，质点的加速度与半径成45o角，则角，则naat :2RR24)12(22tt 241444tt s)(55. 0 trad)(67. 2423t1. 刚体的平动刚体的平动 如果刚体在运动中，连接体如果刚体在运动中，连接体内两点的直线在空间的指向总保内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动叫做平动持平行，这样的运动叫做平动ABABA B 1.5.2 1.5.2 刚体定轴转动描述刚体定轴转动描述M平动的特点平动的特点: :ABrrABBArrBAvvBAaa刚

43、体的平动可归结刚体的平动可归结为质点运动为质点运动OxyzABArBr1B2B3BnB1A2A3AnA2. 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动( ) t角坐标角坐标 描述刚体绕定轴转动的角量描述刚体绕定轴转动的角量 刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动 _ _ 刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动( (运动学方程运动学方程) )d( )dtt22dd( )ddttt角速度角速度角加速度角加速度zIIIIIP 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度Mrv2Mnra ddMartvc02002200

44、1 22 ()ttt -当当与质点的匀加速直与质点的匀加速直线运动公式相似线运动公式相似M,刚体刚体 zOrM任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动, 且且 ， 都相同都相同v例例半径半径 r = 0.6 m 的飞轮的飞轮边缘上边缘上一点一点 A 的运动方程为：的运动方程为：s = 0.1t3 m，当，当 A 点的线速度为点的线速度为v = 30 m/s 时，时，求求A 点的切向加速度和法向加速度的大小。点的切向加速度和法向加速度的大小。解解飞轮边缘上一点飞轮边缘上一点 A 的运动学方程为：的运动学方程为： s = 0.1t3，可得，可得 A 点点在任意时刻的线速度大小：在任意时

45、刻的线速度大小：2d0.3dsvtt同时可得同时可得 A 点在任意时刻的切向加速度和法向加速度大小：点在任意时刻的切向加速度和法向加速度大小：d0.6dvatt当当 A 点线速度为点线速度为 30 m/s 时，即时，即0.3t2 = 30，得：，得：t = 10 s2nvar得此时得此时 A 点的切向加速度的大小：点的切向加速度的大小：2s/m 6 aA 点的法向加速度的大小：点的法向加速度的大小：22s/m 15006 . 030 na例例 一半径一半径R = 1= 1m 的飞轮以的飞轮以 1500 r/ /min 的转速绕定轴逆时针的转速绕定轴逆时针转动。在制动力矩作用下，飞轮均匀减速，经

46、时间转动。在制动力矩作用下，飞轮均匀减速，经时间 t = 50 s后静止。后静止。求求(1) 制动开始后角加速度制动开始后角加速度 ；(2) 从开始制动到静止飞轮转从开始制动到静止飞轮转过的转数过的转数 N ；(3) 制动开始后制动开始后 t = 25 s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 ，以及此时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。以及此时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。 解解 (1) 初始时刻，初始时刻，min/r 1500 n则则s)/rad( 506020 n在制动力矩的作用下，飞轮均匀减速，则：在制动力矩的作用下，飞轮均匀减速，则：0t0 s 50 时时，t得：得：0t-(2) 飞

47、轮在作匀变速转动，则飞轮在作匀变速转动，则2012tt)s/rad( 2 - - 从开始制动到静止飞轮转过的角位移为：从开始制动到静止飞轮转过的角位移为：2012tt-)rad( 1250 则从开始制动到静止飞轮转过的转数为：则从开始制动到静止飞轮转过的转数为： 2 N)r ( 625 (3)时，时， s 25 t0t) s/rad( 25 vR s/m 25 aR)s/m( 2 - - 2 Ran )s/m( 62522 22naaa 2242s/m 625390625 1.6 理想流体的定常流动理想流体的定常流动 1.6.1 1.6.1 定常流动定常流动流体流经的空间称为流体流经的空间称为

48、流体空间流体空间或或流场流场 。定常流动定常流动：流体的流动状态不随时间变化的流动。：流体的流动状态不随时间变化的流动。 流体质量元在不同地点的速流体质量元在不同地点的速度可以各不相同。度可以各不相同。 流体在空间各点的速度分布不变。流体在空间各点的速度分布不变。 “定常流动定常流动”并不仅限于并不仅限于“理想流理想流体体”。1v2v3v说明：说明：流线流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。流场中流线是连续分布的；流场中流线是连续分布的；空间每一点

49、只有一个确定的流空间每一点只有一个确定的流速方向，所以流线不可相交。速方向，所以流线不可相交。流线密处，表示流速大，反流线密处，表示流速大，反之则稀。之则稀。说明：说明：1.6.2 1.6.2 流线和流管流线和流管流管流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。：由一组流线围成的管状区域称为流管。流管内流体的质量是守恒的。流管内流体的质量是守恒的。通常所取的通常所取的“流管流管”都是都是“细细流管流管”。细流管的截面。细流管的截面积积 ，就称为流线。，就称为流线。0 S说明：说明：流体密度分别为流体密度分别为 和和 。1 2 取一细流管，任取两个截面取一细流管，任取两个截面 和和 ，1S2S 两截面处的流速分别为两截面处的流速分别为 和和 ，1v2v经过时间经过时间 ，流入细流管的流体质量，流入细流管的流体质量t 1111 1 1mVS vt同理，流出的质量同理，流出的质量222222mVS vt流体作定常流动，故流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变流管内流体质量始终不变，即，即12mm1 1 1222S vS vSvC 上式称为上式称为连续性原理连续性原理或或质量守恒方程质量守恒方程，其中，其中 称为称为质量流量。质量流量。SvS1S2v1v2