xmx-03章扭转

1、PPPQP QAbsbsPbsA剪切的实用计剪切的实用计算算明确四个问题：明确四个问题：剪切面，挤压面；剪切面，挤压面；剪力，挤压力。剪力，挤压力。扭转变形扭转变形受扭杆件的力学模型特征受扭杆件的力学模型特征受力特点：变形特点：两端受等值、反向的两外力偶两端受等值、反向的两外力偶作用，外作用，外力偶的作用面与杆件力偶的作用面与杆件轴线垂直轴线垂直。横截面之间绕杆件的轴线产横截面之间绕杆件的轴线产生相对角位移。生相对角位移。具有上述特征的变形称为扭转变形扭转变形。工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴轴（Shaft）”。横截面之间的相对角位移，称为扭转角扭转角。3-1 3-1 扭转的概念扭转的概念

2、MM杆件表面纵向直线的转角，称为剪切角剪切角。（与两横截面相对位置有关）（与两横截面相对位置有关）（与两横截面相对位置无关）（与两横截面相对位置无关）轴向拉压1.1.概念概念2.2.内力内力3.3.应力应力4.4.变形变形（外力）（外力）轴力轴力N N， 截面法，截面法，N N图图 NA平面假设平面假设受力分析获得受力分析获得EA : 抗拉(压)刚度llENllEA 5.5.强度强度 max( ) max()( )N xA x扭转实验实验6.6.刚度刚度受力受力，变形，变形3-2 3-2 扭转的外力偶矩、内力、扭矩图扭转的外力偶矩、内力、扭矩图工程上传递功率的圆轴及其扭转变形工程上传递功率的圆

3、轴及其扭转变形圆圆轴轴ABAB发发生生扭扭转转变变形形1 1、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算9550kPMnN mkW/ min(/kMPnr外力偶矩，单位： .轴传递的功率，单位：（千瓦）轴的转速，单位：转 分）(1) 扭矩扭矩横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩符号：符号：T由静平衡确定其大小由静平衡确定其大小正负规定：右手法则正负规定：右手法则确定方法：确定方法：截面法截面法2 2、内力偶矩的计算、内力偶矩的计算(2) (2) 扭矩的计算扭矩的计算ABxMMAMTBxMT 0 xMTM0 xM TMTxO+M扭矩图扭矩图取截面左侧研究取截面左侧研究取截面右侧研究取截面右侧研究单位：单位：

4、;N m kN mmmMBMCMAMDBCADx1面面2面面3面面MBBxT1MBMCBCxT2MDDxT3xTON.m318955955例题例题：轴，：轴，n =300转转/分分；各轮功率：各轮功率：60,1020,30ABCDPkW PkWPkW PkW试画轴的扭矩图。试画轴的扭矩图。解：解：求求各轮的外力偶矩各轮的外力偶矩95501910318637955BCDPMnMN mMN mMN mMN mA由解得：max955TN m截面法求各段轴的扭矩截面法求各段轴的扭矩T1 =318N.mT2 =955N.mT3 = -955N.m+_BCAD传动轴。已知三个轮各自的传传动轴。已知三个轮各

5、自的传动功率为动功率为: :P PA A=19kW,=19kW,P PB B= = 44kW44kW,P,PC C =25kW=25kW, , 转速转速n n =150rpm=150rpm。试画传动轴的扭矩图。试画传动轴的扭矩图。12101590 xT1995501210.150AMN m同样 =2800N.m, =1590N.m BMCM练习题_+T1 =1210N.mT2 = -1590N.mN.m Tmax = 1590N.mABC问：若交换轮问：若交换轮A A和轮和轮B B的位置，的位置，传动轴的扭矩图有何变化？传动轴的扭矩图有何变化？28001590 xT1210.AMN m =28

6、00N.m, =1590N.m BMCM练习题_T1 =-2800N.mT2 =-1590N.m_N.m Tmax = 2800N.mABC接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！ABxMKMKAMKTBxMKTTxO+MK扭矩图扭矩图mm关于应力的三个问题：存在什么应力存在什么应力应力如何分布应力如何分布应力如何计算应力如何计算？先研究一个比较简单的问题先研究一个比较简单的问题薄壁筒的纯扭转3-3-3 3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒扭转时的应力一、薄壁圆筒扭转时的应力MTR等厚度薄壁圆筒，平均半径为等厚度薄壁圆筒，平均半径为R，厚度为厚度为，长为，

7、长为l。/10R2 RRT 22MRM切切应力互等定理应力互等定理：在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力必然成对出现应力必然成对出现，而且大小相等，而且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。方向或指向、或背离两面的交线。MTdxdy （+） （-）（+） （-）正负号规定：正负号规定：)dy （与( )dx 分别组成一力偶，由力偶平衡得：0)()(dydxdxdy二、切二、切应变、剪切虎克定律应变、剪切虎克定律Rl切切应变应变 ：在切应力作用下，这两直角边的夹角的变化，单位为弧度。 为减小量时为正。22MRlR（+） （-）（+） （-）线弹性范围内（ P）：G剪切虎克定律：

8、剪切虎克定律：G剪切弹性模量 ( 量纲同E 力/长度2 )通过实验可以确定：其中2(1)EG3-1（a），3-3（a）ABCD ABCD3-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力和变形和变形 圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴上的直角微元均发圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴上的直角微元均发生了变化，这种直角的改变量即为生了变化，这种直角的改变量即为切切应变应变。这表明，圆轴横这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现截面和纵截面上都将出现切应力切应力分别用分别用 和和 表示。表示。（1 1） 圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变；（2 2） 纵向线转动

9、纵向线转动 ，但仍保持位置相互平行但仍保持位置相互平行；（3 3） 圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内。圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内。切应力方向沿圆周边切线方向；切应力方向沿圆周边切线方向；截面只有切截面只有切应力，无正应力；应力，无正应力；2 2、推论、推论 沿圆周上各点，横截面上的切应力相同；沿圆周上各点，横截面上的切应力相同； 平截面假定。平截面假定。扭转后圆轴各横截面仍为平面，其形状、大小扭转后圆轴各横截面仍为平面，其形状、大小不变，横截面上的半径也保持为一条直线。不变，横截面上的半径也保持为一条直线。几何关系几何关系：（确定切应变的分布）讨论距讨论距0-00-0轴为轴为 的

10、的lmnp面面切切应力沿半径分布是应力沿半径分布是未知的，因此，以切应变入手分析。未知的，因此，以切应变入手分析。d ooR1243mlndxpm n32 ddx()mmmmddx 令ddx 扭转角沿杆长的变化率 几何方程 (1)d 物理关系：物理关系：( (剪切虎克定律剪切虎克定律) )(2)(2) G得得横截面上切横截面上切应力分布应力分布: : (1) (1) 对于单一材料对于单一材料, , 以轴心为原点线性分布以轴心为原点线性分布; ; (2) (2) 对于同心复合材料对于同心复合材料, , 以轴心为原点分段线性分布以轴心为原点分段线性分布. .实实心心圆圆截截面面T空空心心圆圆截截面

11、面TG(3)(3) (1)(1)几何关系几何关系：同同心心复复合合材材料料T静力学关系（确定微观切静力学关系（确定微观切应力与宏观扭矩的关系）应力与宏观扭矩的关系）dAodA AdAT (4)(4)(3)3)代入代入(4), (4), 积分后得：积分后得：pTGIpTI切切应力计算公式应力计算公式2PAdAI令：2AAGdAGdATIP 极惯性矩极惯性矩物理关系物理关系 ( (剪切虎克定律剪切虎克定律) ) ： G(3)(3) 几何关系几何关系：( (5 5) )GDdD极惯性矩的计算极惯性矩的计算2pAIdA取微分面积：取微分面积：2dAd442220320.321220DpADDIdAdd

12、D44442220.1322DdpDdIdDdOd存在什么应力存在什么应力: : 实心圆截面和空心圆截面上仅有切应力实心圆截面和空心圆截面上仅有切应力. .应力如何分布应力如何分布: : 与扭矩方向一致与扭矩方向一致, ,以轴心为原点线性分布以轴心为原点线性分布应力怎样计算应力怎样计算三个待定问题的答案三个待定问题的答案pITmaxpTRImaxPTIW令maxTTW则：抗扭截面系数抗扭截面系数；量纲量纲 长度长度 3 3T最大切最大切应力发生在最外沿应力发生在最外沿,即即:max=R处处4444()0.1()32pDdIDdDdD抗扭截面摸量抗扭截面摸量WT的计算的计算4m33ax032/1

13、62.2PTDIWDDD4444max32/ 216PTDdDdIWDD440.132PDIDmaxPTIWdD令343410.2116DD例题：轴，例题：轴，d = 50mm，MO =1kN.m,求求 处的处的切应力切应力及边缘处及边缘处的的最大切应力。最大切应力。12.5Amm解：解：1.求任意截面上的扭矩求任意截面上的扭矩1000OTMN m2.求极惯性矩及抗扭截面系数求极惯性矩及抗扭截面系数43 4484(50 10 )61 103232pdImm8363361 1024 1025 10pTIWmmR3.求 及Amax38100012.5 102061 10AAPTMPaI（）max6

14、10004224 10TTMPaW（）pITmaxpTTTRIW例题例题:图示传动机构，图示传动机构，E轴通过联轴器与轴通过联轴器与H轴连接，轴连接，A轮带轮带动动D轮使轮使C轴转动。从轴转动。从B轮输入功率轮输入功率P1=14kW，功率的一，功率的一半通过锥形齿轮传给半通过锥形齿轮传给C轴，另一半由轴，另一半由H轴输出。已知：轴输出。已知： n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的最大切应力。3联轴器联轴器轮系传动：轮系传动：1331nznz31.求各轴的外力偶矩

15、求各轴的外力偶矩由外力偶矩计算公式由外力偶矩计算公式9550.PMn2.求各轴的最大切应力求各轴的最大切应力3max33185.721.98()35 10316CTTMPaW2max3255722.69()50 10316HTTMPaW1max31111416.55()70 10316ETTMPaWd1= 70mmd2 = 50mmd3 =35mm绘出半圆柱体各截面上的应力分布。说明该部分的平衡情况。maxTTW2.2.强度条件强度条件： maxmax: TTW3-5 3-5 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算危险截面的最大切应力小于等于许用切应力危险截面的最大切应力小于等于许用切应力例

16、：由无缝钢管制成的汽车传动轴例：由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径，外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm,材料为材料为45号钢。使用时最大扭矩号钢。使用时最大扭矩T=1.5KN, ，试校核，试校核AB轴的强度。轴的强度。 MPa60解解：944. 0905 . 2290Dd334490(1)(1 0.944 )1616TDW329400()mm轴的最大切应力为轴的最大切应力为max915005129400 10TTMPaW AB轴满足强度条件。轴满足强度条件。34116TDW讨论讨论：如果把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心如果把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强

17、度相同，试确定其直径，并比较二者的重量。轴强度相同，试确定其直径，并比较二者的重量。解：按题目要求，实心轴的最大切应力也为解：按题目要求，实心轴的最大切应力也为51MPa,即即16max3150051 1016TTDW3161500 160.0531()51 10Dm在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为截面积之比：在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为截面积之比：22222211908540.3153.14DdAAD（）在载荷相同的条件下，要强度相同，空心轴的重量仅为在载荷相同的条件下，要强度相同，空心轴的重量仅为实心轴的实心轴的3131% %，其减轻重量、节约材料时非常明显的。，其

18、减轻重量、节约材料时非常明显的。这个数字说明什么？这个数字说明什么？可导出如下公式：可导出如下公式：pdTdxGIlPTdxGI3-6 3-6 圆轴扭转时变形与刚度计算圆轴扭转时变形与刚度计算积分得：157 1780144 弧度10.01745329 弧度单位为弧度单位为弧度, radlPTdxGI当当G，T，Ip为常量时为常量时TlGI当当G，T，IP 阶梯变化时阶梯变化时1niiiiPiT lG I用于描述圆轴扭转变形的聚集程度用于描述圆轴扭转变形的聚集程度(单位长度的扭转角单位长度的扭转角).前面已经定义前面已经定义TGImaxmax: TGImax180max :TGI单位单位:度度/

19、米米; (o/m)ddx单位单位:弧度弧度/米米; (rad/m)2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角GIp抗扭刚度解：解：1、外力偶矩：、外力偶矩：9550275.AAPMN mn184.91.BCMN mMN m2、作扭矩图：、作扭矩图：试设计轴的直径试设计轴的直径d例：传动轴转速例：传动轴转速 分转208n,6PKWA主动轮KWPKWCB2,4P从动轮 130,80oMPamGGPa已知：max184 .TN mxT91N.m184N.m+_3、按强度条件设计直径：、按强度条件设计直径： maxmaxtTW63103018416d33616 184d31.5 1030 10m解得xT91N.m184N.m+_4、按刚度条件设计直径、按刚度条件设计直径：maxmax180PTGI649301