节导数的计算1ppt课件

1、2.2 导数的根本公式与求导法那么 2.2.1 根本初等函数的导数的导数。求xxfln)(. 1 解: 由导数定义得 )(ln xxxxxxln)ln(lim0)1ln(1lim0 xxxx.01limln(1)xxx xxxxx xxxxxx)1ln(1lim0exln1x1xx1 )(ln公式：的导数。求xxfsin)(. 2解: )(sin xxxxxxsin)sin(lim0 xxxxx2sin)2cos(2lim00sin2lim cos().22xxxxx xcos: sincos ;xx公式（）cossinxx （）由导数定义得2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法那么处可导，

2、则都在与设函数定理xxvxu)()(1 . 2 . 2；)( )( )()() 1 (xvxuxvxu；)( )()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu；)( )()3(xcuxcu2( )( ) ( )( ) ( )(4)( )0.( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx，21( )( )0( )( )v xv xv xvx 特别，；)( )()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu证明：)()(xvxuxxvxuxxvxxux)()()()(lim0 xxvxuxxvxuxxvxuxxvxxux)()()()()()()()(lim0 xxvxxvx

3、uxxvxuxxux)()()()()()(lim0)()()(lim)()()(lim00 xuxxvxxvxxvxxuxxuxx；)( )()()( xvxuxvxu。，0)()()( )()()( )()()4(2xvxvxvxuxvxuxvxu证明： )(1xv分析：)(1)()()(xvxuxvxu)(1)()(1)( xvxuxvxuxxvxxvx)(1)(1lim0)()(1)()(lim0 xxvxvxxxvxvx)()( 2xvxv)()(xvxu)()( )()(1)( 2xvxvxuxvxu。)()( )()()( 2xvxvxuxvxu注：1加、减、乘法那么可推行到有限

4、个函数的情况。12 ( )( )( )nu xu xu x ( ) ( ) ( )u x v x w x1 122(2)( )( )( )nnk u xk uxk ux12,nk kk其中为常数，12( )( )( )nuxuxux；( ) ( ) ( )u x v x w x1 122( )( )( )nnk uxk uxk ux；1( ),( )nu xuxx均在 处可导.( ) ( ) ( )u x v x w x( ) ( )( )u x v x w x；2.2.1( )log(01)xaf xa例求，的导数。(log )xa解:1lnxa )lnln(ax1(ln )lnxaax l

5、n1 )log(xa公式：2.2.2( )tanf xx例求的导数。解:(tan )xsincosxxxxxxx2cos )(cossincos )(sinxxx222cossincosx2sec2(tan )sec;xx公式：2(cot )cscxx x2cos12.2.3( )secf xx例求的导数。解:1cosx(sec )xxx2cos )(cosxx2cossinsec tanxx(sec )sec tan ;xxx(csc )csc cotxxx 1sin.coscosxxx练习：求以下函数的导数(1) (1)yxx(2) abyx (4) axbyab(3) logxay 解：

6、(1) (1)yxx (1)yxx (1)2(1)xxxx 122(1)xxx 11212(1)2xxx 1212(1)2xxx解：(2) abyx 解：(3) logxay 解：(4) axbyab定理定理2.2.2 )(),()(xfyfxxfy若的反函数为设111( )( )0( )fyfxfx且，0)()(1)( 11yfyfxf，或即互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数即互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数.x在 处可导，2.2.3 反函数的导数( )0,fx且1( )xfyy则在对应点 处可导，由导数定义得)(1yfyyfyyfy)()(lim110yxy0lim. 00

7、xy时，故当)( 1xfxyy1lim0 xyx1lim0证：( )f x因为可导，( ),f x故连续,由反函数的连续性知1( )xfyy在对应点 处连续，的变化率互为倒数，对的变化率与对定理表明：yxxy。则例如41,4dydxdxdy2.2.4arcsinyx例求的导数. arcsin11yxx （）(arcsin )x )(sin1yycos1y2sin11211x21(arcsin )1xx总结：，211 )(arccosxx的反函数为sinxy()22y， 解:2.2.5arctanyx例求的导数. 解:(arctan )x )(tan1yy2sec1y2tan11211x21(arctan )1xx，21(cot ).1arcxx arctanyx的反函数为tanxy，小结：2.2.6(01)xya a例求，的导数. 解:()xa )(log1yaayln11aylnaaxln()lnxxaaa；(e )xxe小结： xya的反函数为log(0)yaxy ，例2.2.7 求以下函数的导数：3(1) sinln12xxyxx解3(1) sinln12xxyxx 76()(sin)(ln)12xxxx1067167xx167613(2) arcsinyxx解3 (arcsin)yxx33()arcsin(arcsin)xxxx 2321ar