章数学分析数列极限PPT课件

1、一、惟一一、惟一性性定理 2.2 若na收敛, 则它只有一个极限.证 设.的的一一个个极极限限是是naa下面证明对于任何定数.,的极限的极限不能是不能是nabab 若 a，b 都是 an 的极限，则对于任何正数 0,有有时，时，当当 22,NnN 有有时，时，当当 11,NnN )1(;| aan第1页/共28页.ba 是是任任意意的的，所所以以因因为为 当 n N 时 (1), (2)同时成立,max21NNN 令令从而有)2(.| ban.2| baaabann第2页/共28页二、有界性二、有界性即存在0,|,1, 2,.nMaM n使使得得证lim,nnaa 设设对于正数1,N nN 时

2、时, ,有有|1,naa11.naaa即即若令12max |,|,|,|1|,|1| ,nMaaaaa则对一切正整数 n , 都有|.naM 定理 2.3 若数列，为为有有界界数数列列则则收收敛敛,nnaa第3页/共28页件.注 数列)1(n 是有界的, 但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条第4页/共28页三、保号性三、保号性定理 2.4lim,nnaa 设设对于任意两个实数 b, c , 证min,0,ab caNnN 取取当当时时注),0(0 aa或或若若我们可取(),22aabc或或0 (0).22nnaaaa则则或或这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.nba

3、c故故,nbaaac , 则存在 N, 当 n N 时,. cabn bac第5页/共28页例1 证明.0!1limnnn证 对任意正数 ,(1)lim0 ,!nnn 因因为为所以由 11,!nn 1.!nn 即即这就证明了. 0!1limnnn0,NnN当当时时定理 2.4,第6页/共28页四、保不等式性四、保不等式性定理 2.5,nnab设设均为收敛数列, 如果存在正00,nnNnNab数数当当时时 有有limlim.nnnnab 则则证lim, lim.nnnnaabb设设,2abba 若若取取,22babaaan,22bababbn,nnab 故故导导致致矛矛盾盾. .所以.ab 0,

4、NNnN由由保保号号性性定定理理 存存在在当当时时第7页/共28页是严格不等式.注 若将定理 2.5 中的条件 改为,nnab nnba 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定也只能得到limlim.nnnnab 例如 , 虽然12, nn 但但12limlim0 .nnnn第8页/共28页五、迫敛性五、迫敛性 ( (夹逼原理夹逼原理) )定理 2.6 设数列,nnba都以 a 为极限,nc数列数列.limaccnnn 且且收敛，收敛，证 对任意正数 nnnnaba,limlim,因为因为 所以分,121时时使得当使得当别存在别存在NnNN ;naa 2.nnNba 当时,当时,ma

5、x2, 1, 0NNNN 取取. abcaaNnnnn时，时，当当这就证得满足: 存在,00nnnbcaNnN 有有时时当当则第9页/共28页例2 求数列nn的极限. ,22)1()1(2 nhnnhnnnn,1121lim1lim nnn所以由迫敛性，求得.1lim nnn.limacnn.12111 nhnnn故故又因解10,nnhn设则设则有第10页/共28页六、四则运算法则六、四则运算法则定理2.7为为收收敛敛数数列列，与与若若nnba,nnba 则(1) limlimlim;nnnnnnnabab(2) ,limlimlimnnnnnnnbaba 当nb为常数 c 时,;limlim

6、nnnnbcbc (3),0lim, 0 nnnbb若若也收敛，且也收敛，且则则 nnba.limlimlimnnnnnnnbaba 也都是收敛数列, 且有, nnnnbaba 第11页/共28页,nN 当当时时|, |,nnaabb有有所以,2| bbaababannnn 由由的任意性, 得到 .limlimlimnnnnnnnbababa 证明 (2),收敛收敛因因nb,有界有界故故nb.|Mbn 设设对于任意0,nN 当时 有当时 有|, |1| 1nnaabbMa，证明 (1)lim, lim,nnnnaabb设设0,N 存存在在第12页/共28页,2| | | bbaaabnnn 由

7、由的任意性, 证得 .limlimlimnnnnnnnbababa 证明 (3),1nnnnbaba 因为因为由(2), 只要证明.lim11limnnnnbb , 0 b由于由于据保号性, ,11时时当当NnN |abababbaabbannnnnn 于是第13页/共28页| |.2nbb 又因为22lim,nnbbNnN当当时时时，时，当当取取NnNNN ,max212112nnnnbbbbbbb bb ，即11lim.nnbb limlim.limnnnnnnnaabb 所所以以,22 bbbn 第14页/共28页七、一些例子七、一些例子例3 用四则运算法则计算11101110lim,m

8、mmmkknkka nana nab nbnb nb ,0.m kmka b其其中中(1) 当 m=k 时, 有 1lim00 ,nn 依依据据分别得出:解第15页/共28页mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111 .mmba11101110limmmmmkknkka nana nab nbnb nb (2) 当 m N 时, 有3,22naaa即即3.22nnnnaaa又因为3limlim1,22nnnnaa所以由极限的迫lim1.nnna 敛性, 证得第19页/共28页例6 lim(1).1nnnaaa 求求极极限限解(1) |1 ,a lim0,n

9、na 因因为为所以由极限四则运算法则, 得limlim0.11limnnnnnnnaaaa(2)1,a 11limlim.221nnnnaa (3) |1,a lim(1)0,nna 因因故得1limlim111nnnnnaaa 11.1lim(1)nna 第20页/共28页例7 12,maaa设设为 m 个正数, 证明1212limmax,.nnnnmmnaaaaaa12,nnnnnmaaaam a证12max,.maaaa 设设由limlim,nnnmaaa以及极限的迫敛性, 可得1212limmax,.nnnnmmnaaaaaaa第21页/共28页定义1+,N,nkan设设为为数数列列为

10、为的的无无限限子子集集 且且12,knnn则则数数列列12,knnnaaa,.knnaa称称为为的的子子列列 简简记记为为注,knnnaaa由由定定义义的的子子列列的的各各项项均均选选自自knnaa且且保保持持这这些些项项在在中中的的先先后后次次序序. .中中的的第第,.nkkkannk项项是是中中的的第第项项 故故总总有有第22页/共28页定理 2.8,nnaaa若若数数列列收收敛敛到到则则的的任任意意子子列列.knaa也也收收敛敛到到证lim.0,.nnnaaNnN aa设设则则当当 .,knnkaank设设是是的的任任意意一一个个子子列列 由由于于因因此此,.kknkNnkNaa 时时亦

11、亦有有这这就就证证明明了了lim.knkaa 注2.8由由定定理理可可知知, ,若若一一个个数数列列的的两两个个子子列列收收敛敛于于不不同同的的值值, ,则则此此数数列列必必发发散散. .第23页/共28页例8 limnnaa求求证证的的充充要要条条件件是是.limlim212aaannnn证 (必要性)lim0,nnaaN nN 设设， 则则时时.| aan所以所以因为因为,12 ,2NnNn， |1-2aan.|2 aan212()limlim,0,kkkkaaaN 充充分分性性 设设则则kN当当时时，第24页/共28页12k-|aa | ，2k|aa |. 2,NKnN令令当当时时, ,则则有有|,naa lim.nnaa 所所以以第25页/共28页例91( 1) (1).nnnaan若若= =证证明明数数列列发