工程测量第5章ppt课件

1、土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院工程测量工程测量 王磊王磊 手机手机邮箱邮箱:wangleinj126东南大学交通学院测绘工程系东南大学交通学院测绘工程系土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识 学习要点学习要点 建立测量误差的基本概念建立测量误差的基本概念 观测值的中误差观测值的中误差 观测值函数的中误差观测值函数的中误差 误差传播定律误差传播定律 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下

2、一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院测量误差的定义测量误差的定义 在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。 5-1 5-1 测量误差的概念测量误差的概念土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院一、一、 测量误差的来源测量误差的来源 测量工作是在一定条件下进行的，测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器外界环境、观测者的技术水平和仪器本

3、身构造的不完善等原因，都可能导本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度条件不同的各次观测，称为不等精度观测。观测。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东

4、南大学交通学院东南大学交通学院例：例：某同学在某时间段内测量某同学在某时间段内测量AB间水平距离五次，分间水平距离五次，分别测得别测得 ： (1)110.010m， (2)110.005m， (3)110.000m ， (4)109.995m， (5)109.990m 。问：此五次数据中哪个数据的精度最高？问：此五次数据中哪个数据的精度最高？答：同样高，等精度观测！答：同样高，等精度观测！土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院测量误差主要来自以下三个方面：测量误差主要来自以下三个方面： (1) (1) 外界条件外界条件 主要指观

5、测环境中气温、气压、空气湿度主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。果中带有误差。 (2) (2) 仪器条件仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。带来误差。 (3) (3) 观测者的自身条件观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产及

6、技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。生误差。 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。偶然误差。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一分类（一分类 系统误差系统误差偶然误差偶然误差误差粗差误差粗差土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差的出现在符号和数值相同

7、，或按一定的规律变的出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。具有这种性质的误差称为系统误差化。具有这种性质的误差称为系统误差 。 性质：这些误差在测量成果中具有累积性，性质：这些误差在测量成果中具有累积性，对测量成果质量的影响较为显著。对测量成果质量的影响较为显著。 减弱措施：由于这些误差具有一定的规律性，减弱措施：由于这些误差具有一定的规律性，所以，我们可以通过加入改正数或采取一定的所以，我们可以通过加入改正数或采取一定的观测措施来消除或尽量减少其对测量成果的影观测措施来消除或尽量减少其对测量成果的影响。响。 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学

8、交通学院东南大学交通学院 偶然误差偶然误差在相同观测条件下，对某量进在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的取值有多种可能，其数行一系列观测，若误差的取值有多种可能，其数值和正负号均无法确定。即，就误差列中的单个值和正负号均无法确定。即，就误差列中的单个误差来看，其数值和正负号没有规律性，但从误误差来看，其数值和正负号没有规律性，但从误差列的总体来观察，则具有一定的统计规律，这差列的总体来观察，则具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。种误差称为偶然误差，又称随机误差。 性质：是服从或近似服从正态的随机误差。 偶然误差，就个别值而言，在数值和正负号上确实无规律可循，是无

9、法预知的。在测量工作中，我们只能靠选择合适的仪器、合理的操作方法和认真负责的态度，在较好的外界条件下进行观测，以减小偶然误差的影响，而无法将其完全消除。 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院系统误差系统误差偶然误差偶然误差举例举例量距时的尺长误差量距时的尺长误差量距时的读数误差量距时的读数误差120m -20mm20m -18mm220m -20mm20m +19mm320m -20mm20m -8mm420m -20mm20m-12mm520m -20mm20m -17mm620m -20mm20m +10mm720m -2

10、0mm20m +11mm820m -20mm20m +7mm例例160m -160mm160m -8mm土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院测量误差的分类测量误差的分类分类分类系统误差系统误差偶然误差偶然误差定义定义相同观测条件下对某一量相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均的出现在符号和数值上均相同，或按一定规律变化，相同，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差称为系统误差。相同观测条件下对某一量相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差进行一系列观测，若误差出现

11、的符号和数值大小均出现的符号和数值大小均不一致，表面上没有规律，不一致，表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。这种误差称为偶然误差。区别区别 积聚性；积聚性； 可预知性。可预知性。 抵偿性；抵偿性； 不可预知性。不可预知性。举例举例i角误差i角误差读数误差读数误差横轴误差对中误差横轴误差瞄准误差瞄准误差尺长误差尺长误差对中误差瞄错目标 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 粗差粗差特别大的误差错误），是测量中的疏忽大特别大的误差错误），是测量中的疏忽大意而造成的错误或电子测量仪器产生的伪观测值。如瞄错意而造成的错误或电子测量仪

12、器产生的伪观测值。如瞄错目标目标,读错数等。粗差非常有害，会对工程造成难以估量的读错数等。粗差非常有害，会对工程造成难以估量的损失。所以，应尽早将粗差剔除。损失。所以，应尽早将粗差剔除。 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院（二处理原则（二处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定多余观测，制定限差限差三、多余观测三、多余观测 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，在测量工作中一般要进行多于必要的观测，称为多余观测。 例如一段距离采用往返丈量

13、，如果往测属于必要观测，则返测就属于多余观测；如对一个水平角观测了6个测回，如果第一个测回属于必要观测，则其余5个测回就属于多余观测； 又例如一个平面三角形的水平角观测，其中两个角属于必要观测，第三个角属于多余观测。 有了多余观测可以发现观测值中的错误，以便将其剔除或重测。由于观测值中的偶然误差不可避免，有了多余观测，观测值之间必然产生差值(不符值、闭合差)。根据差值的大小可以评定测量的精度(精确程度)，差值如果大到一定的程度，就认为观测值中有错误(不属于偶然误差)，称为误差超限。差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为闭合差的调整，以求得最可靠的数值。土木工程测量土木工程测量上一页上

14、一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性 （一真误差（一真误差 设某一量的真值为设某一量的真值为X，对此量进行，对此量进行n次观测，次观测，得到的观测值为得到的观测值为l1，l2，ln，在每次观测中发生，在每次观测中发生的偶然误差又称真误差为的偶然误差又称真误差为1，2，n，则定义：则定义：i= X - li i= 1，2，.， n 测量误差理论主要是讨论具有偶然误差的一系测量误差理论主要是讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评定观测成列观测值中如何求得最可靠的结果和评定观测成果的精度。为此需要对偶然误差的

15、性质作进一步果的精度。为此需要对偶然误差的性质作进一步的讨论。的讨论。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院在相同的观测条件下，独立地观测了365个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则三角形内角和的真误差或简称误差为 i = X-Lii一1，2，n） 对于每个三角形来说，i是每个三角形内角和的真误差，Li是每个三角形三个内角观测值之和，X为180。现将365个真误差按每d=2为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统

16、计出在各误差区间内的个数k，及相对个数k365。 （二偶然误差的特性（二偶然误差的特性土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院误差区间dD负误差正误差kk/nkk/n0 2470.129460.1262 4420.115410.1124 6320.088340.0936 8220.060220.0608 10160.044180.05010 12120.033140.03912 1460.01670.01914 1630.00830.00816以上00.00000.000 1800.4931850.507土木工程测量土木工程测量上

17、一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院有界性：在有限次观测中，偶然误差应小有界性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。于限值。密集性：误差小的出现的概率大密集性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。差的平均数趋近于零。 式中 表示取括号中数值的代数和，即= 1+2+.+n ；n为的个数。 12limlim0nnnnn 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南

18、大学交通学院 第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的“密集性”，即越是靠近0，误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测来说，不论其观测

19、条件如何，也不论是对一个量还是对多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 当观测次数愈来愈多，误差出现在各个区间的相对个数的变动幅度就愈来愈小。当n具有足够大时，误差在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。当观测次数足够多时，如果把误差的区间间隔无限缩小，则图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线，称为误差分布曲线。其方程称概率密度为 式中参数 是观测误差的标准差方根差或均方根差） 22li

20、mnn 22212fe 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 1. f ()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2. 愈小，f愈大。当=0时，f有最大值：，反之，愈大，f愈小。当时，f）0。所以，横轴是曲线的渐近线。由于f随着的增大而较快地减小，所以当到达某值，而f已较小，实际上可以看作零时，这样的可作为误差的限值。这就是偶然误差的第一和第二特性。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院对偶然误差分布

21、曲线形状的影响f()O1212212121120.6830.683 愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院5-2 5-2 评定精度的标准评定精度的标准 在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差的值也较小；反之，如果该组误差值偏大，即误差分布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。 所以在评定观测精

22、度时，可用该组误差所对应的标准差的值。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院1、中误差、中误差 求求值要求观测个数值要求观测个数n，但这实际是不可能的。，但这实际是不可能的。 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：度，一般采用下述公式：m称为中误差。这里的方括号表示总和，称为中误差。这里的方括号表示总和，ii=l，2n为一组同精度观测误差。标准差为一组同精度观测误差。标准差跟中误差跟中误差m的的不同，在于观测个数不同，在于观测个数n上；标准差表征了一组同精度

23、观上；标准差表征了一组同精度观测在测在n时误差分布的扩散特性，即理论上的观测精时误差分布的扩散特性，即理论上的观测精度指标，而中误差则是一组同精度观测在度指标，而中误差则是一组同精度观测在n为有限个数为有限个数时求得的观测精度指标。所以中误差实际上是标准差时求得的观测精度指标。所以中误差实际上是标准差的近似值估值）；随着的近似值估值）；随着n的增大，的增大，m将趋近于将趋近于。 mn土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 在相同的观测条件下进行的一组观测，得出的每一个观测值都称为同精度观测值。由于它们对应着一个误差分布，即对应着

24、一个标准差，而标准差的估值即为中误差。因此，同精度观测值具有相同的中误差。但是，同精度观测值的真误差却彼此并不相等，有的差别还比较大，这是由于真误差具有偶然误差性质的缘故。 求一组同精度观测值的中误差m时， 式中真误差可以是同一个量的同精度观测值的真误差，也可以是不同量的同精度观测值的真误差。在计算m值时注意取23位有效数字，并在数值前冠以“士号，数值后写上“单位” 。 mn 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院例 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。土木工程测量土木工程测量上一页

25、上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院2、相对误差、相对误差 对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精度。例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？不能！而是前者优于后者。为此，利用中误差与观测值的比值，即miLi来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1N。上例为即前者的精度比后者高。 1212121211,100002000mmmmLLLL土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院

26、 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能超过12000或115000，它就是相对容许误差。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院例，用钢卷尺丈量例，用钢卷尺丈量200m200m和和40m40m两段距离，量距两段距离，量距的中误差都是的中误差都是2cm2cm，但不能认为两者的精度，但不能认为两者的精度是相同的是相同的 前者的相对中误差

27、为前者的相对中误差为0 00202200 200 1 11000010000 而后者则为而后者则为0 002024040l l20002000 前者的量距精度高于后者。前者的量距精度高于后者。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院关于相对误差关于相对误差K的说明：的说明：K的分母越大的分母越大K值越小），测量精度越值越小），测量精度越高；高；相对误差相对误差K通常仅在评价距离的测量精通常仅在评价距离的测量精度时采用，在测高和测角时并不采用；度时采用，在测高和测角时并不采用；K须化为分子为须化为分子为1的分数形式，且分母通的分数形

28、式，且分母通常取整常取整100，只舍不进。，只舍不进。3 3、极限误差容许误差）、极限误差容许误差）定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是 极限误差。极限误差。 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的内的概率为：概率为：误差出现在误差出现在K倍中误差区间内的概率为：倍中误差区

29、间内的概率为：将将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(| m)=0.683=68.3 ；P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 2221( )( )2mPfdedm 2221()2kmmkmPkmedm 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 在区间（在区间（-m-m，m m内偶然误差出现的概率值为内偶然误差出现的概率值为68.368.3。说明大于一倍中误差的偶然误差出

30、现的概率为说明大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31.731.7。在区间（在区间（-2m-2m，2m2m内偶然误差的概率值为内偶然误差的概率值为95.495.4。说。说明大于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为明大于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为4.64.6。在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或或3m的误的误差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为容许误差差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为容许误差多采用多采用2m），即），即容容=2m 或或 容容=3m在区间（在区间（-3m-3m，3m3m内偶然误差的概率值为内偶然误差的概率值为99.79

31、9.7。说。说明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.30.3。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院1、算术平均值、算术平均值 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L2Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为i= Li-X (i=1,2n)5-3 5-3 观测值的精度评定观测值的精度评定土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院也就是说，也就是说

32、，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。1122lim0lim L LQ算 术 平 均 值nnnnXXXLXnnLxXnnnxXLLL土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院2 2、 观测值的改正数观测值的改正数（1） 定义：定义：算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数，以算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数，以v表示，即：表示，即：1122nnvxlvxlvxlM土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院（2特点：特点：vi=

33、0 因此，相同观测条件下，一组观测值因此，相同观测条件下，一组观测值的改正值之和恒等于零。这一结论可作为的改正值之和恒等于零。这一结论可作为计算工作的校核。计算工作的校核。1122nnvxlvxlvxl vnxl vlxnn 0v 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院3 、由观测值改正数计算观测值中误差、由观测值改正数计算观测值中误差2()vvXxnn22222 1()( )lXxXnXlnn 222121213121(222nnnn LL12131222()nnnn L2vvnnn22vvmmnn1vvmn 土木工程测量土木

34、工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院证明证明1122nnXlXlXl L1122nnvxlvxlvxlL将上列左右两式相减，得将上列左右两式相减，得1122()()()nnvXxvXxvXxL土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院分别取平方分别取平方2222()()iiivvXxXx 22()()vvvXxn Xx 取和2()vvn Xx )0(v取和取和2222212221213122 ()() () ()2()nnnvn Xxn XxXxnXxnnnn LL()iivXx对

35、2()1vvn Xxvvnvvnn 代入前式代入前式土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院xmMn(1)xvvMn n4、算术平均值中误差、算术平均值中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差Mx，可由下式计算，可由下式计算:土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院例例对于某一水平角，在同样条件下用对于某一水平角，在同样条件下用J6光学光学经纬仪进行经纬仪进行6次观测，求其算术平均值及次观测，求其算术平均值及观测值的中误差。观测值的中误差。 计算在下表中进行。在计算

36、算术平均值计算在下表中进行。在计算算术平均值时，由于各个观测值相互比较接近，因此时，由于各个观测值相互比较接近，因此可令各观测值共同部分为可令各观测值共同部分为l0，差异部分为，差异部分为l i， 即：即： l i= l0 + l i （ i = 1，2，.，n）土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院序号序号观测值观测值li livivi2计算计算x、m、mx178264242-749278263636-11378262424+11121478264545-10100578263030+525678263333+24 l0= 7

37、826002100300078 26 35lxlno300,6vvn7 .81vvmn 3 .2xmmn 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院5.4 误差传播定律误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点算出来。例如某未知点B的高程的高程HB，是，是由起始点由起始点A的高程的高程HA加上从加上从A点到点到B点间点间进行了若干站水准测量而得来的观测高进行了若干站水准测量而得来的观测高差差h1hn求和得出的。这时

38、未知点求和得出的。这时未知点B的高程的高程H。是各独立观测值的函数。那。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。为误差传播定律。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院设有函数Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为x和z，由真误差定义式得，Z= z-z， X= x-x

39、那么 若对x 共观测了n次，那么将上式平方，得zxk )2 , 1(nikxizi 222(1,2)zixikin 一、倍数的函数一、倍数的函数Z=kX 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。中误差乘常数。xzxzkmmmkm222222zxknn求和，并除以求和，并除以n，得，得土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 例 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的

40、距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500 Sab=500 23.4=11700mm=11.7m 得 msAB500 mSab500 （士0.2） =土100mm0.1m 最后答案为SAB=11.7m士0.1m土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 二、和或差的函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，那么将上式平方，得

41、zxyzxy (1,2)zixiyiin 2222(1,2)zixiyixiyiin 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以n，得 2222zxyxynnnn lim0 xynn 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院 将满足

42、上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得222zxymmm即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。lim0 xynn 土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院当z是一组观测值X1、X2Xn代数和差的函数时，即12zxxxn可以得出函数Z的中误差平方为 式中mxi是观测值xi的中误差。n个观测值代数和差的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。122222zxxxnmmmm土木

43、工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院三、线性函救设有线性函数：则有例 设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差 1122nnzk xk xk x22221122()()()znnmk mk mk m123491141414zxxx1233,2,6 mmm mmm mmm2224913261.6141414 zmmm【例【例6】经纬仪一测回测角中误差为】经纬仪一测回测角中误差为m=9，求，求5测回平均测回平均值中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于值中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于3.5，问，问至少要测几个测回？至少

44、要测几个测回？m9M= 4.0n5按公式：按公式：上式作一些变换得：上式作一些变换得：2296.63.5mnM n=7测回测回土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院四、一般函数式中xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。12,nzfx xx1212 zxxxnnfffxxx土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返

45、回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院式中 （i=l，2n是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代入所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：ifx22222221212 znnfffmmmmxxx土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院u一般函数的中误差一般函数的中误差设有函数：12(,)nZF x xxL(a)为独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ对(a)全微分：由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ： ixidxdz1212nnFFFdZdxdxdxxxxL(b)1212nnFFFx

46、xxxxx L(c)土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院u一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：ixiiFfx(1)(1)(1)(1)1122(2)(2)(2)(2)1122( )( )( )( )1122nnnnkkkknnfxfxfxfxfxfxfxfxfxLLL L L L L LL对Z观测了k次，有k个式(d)土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院u一般函数的中误差一般函数的中误差2222222112212121313222nni

47、jijfxfxfxf fxxf fxxf fxx LL(e)22222221122,12nnnijiji jijfxfxfxf fx x L(f)对K个(e)式取总和：(g)22221222212,12nnijniji ji jxxxx xffff fKKKKK L土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院u一般函数的中误差一般函数的中误差lim0ijnxxn 由偶然误差的抵偿性知：由偶然误差的抵偿性知：(g)22221222212,12nnijniji ji jxxxx xffff fKKKKK L22221222212nnxxx

48、fffKKKKL L22222221122zxxnxnmf mf mf mL L(h)土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院u一般函数的中误差一般函数的中误差22222221122zxxnxnmf mf mf mL L(h)2222221212ZnnFFFmmmmxxx L L(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本章首页东南大学交通学院东南大学交通学院求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1按问题的要求写出函数式： 2对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。3写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： ifx12,nzfx xx1212 zxxxnnfffxxx22222221212znnfffmmmmxxx土木工程测量土木工程测量上一页上一页下一页下一页返回本章首页返回本