常微分方程线性方程ppt课件

1、第二章 一阶微分方程微分方程课程的一个主要问题是求解，微分方程课程的一个主要问题是求解，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。转化为已解决的问题进行求解。),(yxf如对一般的二元函数如对一般的二元函数，我们无法求出，我们无法求出),(yxfy （1 1）一阶微分方程一阶微分方程2.1 2.1 线性方程线性方程2.2 2.2 变量可分离方程变量可分离方程2.3

2、 2.3 全微分方程全微分方程2.4 2.4 变量替换法变量替换法2.5 2.5 一阶隐式方程一阶隐式方程2.6 2.6 近似解法近似解法2.7 2.7 一阶微分方程的应一阶微分方程的应用用2.8 2.8 习题课习题课本章的主要内容一、一、 线性齐次方程线性齐次方程( )0yp x y线性齐次方程线性齐次方程: :假设假设( )( )yp x yg x中中时，时，0)(xg求解思想：求解思想：2.1 2.1 线性方程线性方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程( )( )yp x yg x 将将 进行变形，将方程左端进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。整理成某一个函数的导数

3、，再进行积分求解。( )0yp x y例2.1.1 求线性齐次方程求线性齐次方程0yy的通解。的通解。解：对于方程两端乘以解：对于方程两端乘以 xe得得 0 xxyeye由于由于 ()xxxyeyeye故故()0 xye方程的通解为方程的通解为xyce故故 xyec其中其中为任意常数。为任意常数。c一般地，对方程一般地，对方程( )( )( )0yexpp x dxp x y expp x dx即即 ( )0y expp x dx整理得通解为整理得通解为( )yc expp x dx( )0yp x y( )expp x dx后得后得 两端同乘以两端同乘以 二、二、 线性非齐次方程线性非齐次方

4、程1.积分因子法给方程两边乘以函数给方程两边乘以函数两种解法两种解法变成一个函数的导数，变成一个函数的导数，使左边使左边)(exp()()(exp()(dxxpxgdxxpyxpy整理得：整理得：)(exp()( )(exp(dxxpxgdxxpy积分得通解：积分得通解：)(exp(dxxp( )( )exp( )yexpp x dxCg xp x dx dx)(exp(dxxp称为方程的积分因子。称为方程的积分因子。( )( )yp x yg x2.2.常数变易法常数变易法思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。变

5、为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数再把通解表达式中的常数c c 换成一个待定函数换成一个待定函数 ( )u x。)(exp(dxxpcy( )exp( )yu xp x dx即令即令 先求先求 对应的齐次方程的通解为：对应的齐次方程的通解为：( )( )yp x yg x xxpexuyd)()(,代代入入原原方方程程和和将将yy )(xg xxpxxpeexuxpxud)(d)()()()( xxpexuxpd)()()()(xu)(xp xxped)()()(d)(xgxuxxpe 线性非齐次方程线性非齐次方程 yxpxy)(dd设想设想 待定函数待定函数)(x

6、g xxpeyd)()(xu xxpexgxud)()()(xxgxuxxped)()(d)( C 一阶线性非齐次微分方程的通解：一阶线性非齐次微分方程的通解：d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee xxpexuyd)()(设设常数变易法：常数变易法：齐次方程通解中的常数变易为待定函数。 xxdd xxpeCd)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xxgxxpxxpeed)(d)(d)( 注注高阶线性方程解的结构，高阶线性方程解的结构，高阶非齐次线性方程的常数变易法

7、高阶非齐次线性方程的常数变易法.)()(ddxgyxpxy 线性微分方程解的性质:1.1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。仍为非齐次方程的解。4.4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。的通解之和是非齐次方

8、程的通解。.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ?)( xp?)( xg xxeyd1xCxx cos解解sin xx xxed1xdC d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee ,)(xxuy 设非齐通解：设非齐通解：,sin)(xxxxu ,ddxxyy 考虑：考虑：,xCy 对对应应齐齐通通解解：.cos)(Cxxu 解初值问题解初值问题: 10cos2)1(02xyxxyyx解解 改写方程：改写方程：1cos1222 xxyxxy),sin(112xCxy 10 xy特解特解:21sin1xxy , 1 C,1)(2 xxuy设非齐通解：设非齐通解：.cos)(xxu ,d

9、12d2xxxyy 考考虑虑：,12 xCy对应齐通解：对应齐通解：的通解为的通解为微分方程微分方程xxyycostan 解解 y 典型的一阶非齐次线性方程典型的一阶非齐次线性方程.分析分析,cos)(xxuy 设设非非齐齐通通解解：.)(Cxxu ,dcossindxxxyy 考考虑虑：,cos xCy 对对应应齐齐通通解解：, 1)( xu.cos)(xCx yxyyxylnlndd 既不是线性方程既不是线性方程, 也不能分离变量也不能分离变量.改写方程：改写方程：yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为未知函数为未知函数, yxyyyx1ln1dd 的一阶非齐次线性方程的一阶

10、非齐次线性方程.分析分析y 为自变量为自变量 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy.lnln21yCyx 此外此外, y = 1 也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd 解方程解方程 0d)ln(dln yyxxyy时，时，当当1 y,lnddyyyxx 先解：先解：,ln)(:yyux 设设,lnlnlnlnCyx ,1ln)(yyyu ,ln21)(2Cyyu 解微分方程解微分方程0cossindd xyxyxy解解 原方程变形原方程变形 xydd xyydd2cos212 2tanddyxzy 2tan设设.ddxzxz 一阶线性方程一阶线性方程原方程通解原方

11、程通解: :)1(2tanxCyxe 2cos2sin2yyxy 2cos220 2tany0 x的的通通解解。求求yexy 1分析分析这不是典型类型，这不是典型类型，：ye 11dd yyeexxy解解，令令yez .11dd zxxz线性方程线性方程,2xCxz ）（xCxy 2ln)(3xfx ，23xyy 解解 xxxf0d)(积分方程积分方程平行于平行于 y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y = f (x)阴影部分的面积阴影部分的面积, )(xf，)(32xfx xyO3xy )(xfy xPQ截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于之长数值上等于求曲线求曲线 y = f (x).

12、)0(3 xxy与与.0|0 xy所求曲线方程所求曲线方程)222(32 xxyxe 求微分方程求微分方程0d)2(d xyxyx 的一个解的一个解),(xyy 所围平面图形绕所围平面图形绕 x 轴轴旋转体体积最小旋转体体积最小.轴轴及及使使得得由由xxxxyy2, 1),( .12dd yxxy解解212475xxy 改写微分方程改写微分方程.2xCxy 通解：通解：)(CV).37215531(2 CC 0)215562()( CCV .12475 C 2122d)(xxCx 数，求微分方程数，求微分方程 ( )dyayf xdx的的 2周期解。周期解。 解：齐次方程解：齐次方程 0dya

13、ydx的通解为的通解为 axyce()0( )xaxa x syceef s ds方程方程 ( )dyayf xdx的通解为的通解为 例：例：2.1.3 2.1.3 为了使为了使 以以 为周期，须满足为周期，须满足 2y是以是以 2( )f x为周期的周期函数，为周期的周期函数， 是正常是正常a设设 整理得整理得 200)()2()2(.)()(xxsxaaxsxaxadssfecedssfece( )f x为周期为周期 2以以 （令（令 ） 2st0221( )1asacef s dse 将将c c 的表达式代入通解的表达式代入通解, ,再一次利用再一次利用f (x)f (x)的周期性的周期

14、性得得: : xasxsaadssfedssfeec020)2(2)()()1( xtaxsatdtfedssfe 220)2()()( 2)(2)(11xxsxaadssfeey线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义: :我们可以利用它来研究解的性质，对解进行我们可以利用它来研究解的性质，对解进行“估值估值”。证：设证：设 ( )xx t为方程的任一解，它满足某初始条件为方程的任一解，它满足某初始条件 00,)t 我们只证我们只证 0( ) ,x tt 在上有界。上有界。 于是于是 dsesfextxsttttt)()(000)()(,)(00 xtx试

15、证方程试证方程 的所有解均在的所有解均在 0,)上有界。上有界。 设函数设函数 ( )f t在在 上连续且有界上连续且有界, ,0,)(tfxdtdx设设 ( ),0,)f tM t于是，对于是，对 0tt 有有 00()0( )( )tt ts ttx tx ef s eds00ttstxMee ds0()01ttxMe0 xM原题得证。三、 Bernoulli方程伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: :)1,0()()(ddyxgyxpxy)()(dd1xgyxpxyyxyyxzdd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxgzxpxz求出此方程通解后求出此方程通解后, ,换回原变

16、量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解. .y以除方程两边除方程两边 , , 得得解法解法: :( (线性方程线性方程) ),1-yz 令例例2.1.4 2.1.4 求初值问题求初值问题2(1)122dyyxydxxy，的解。的解。解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以2y 2y 后得后得222dyyyxdxx令令 2zy代入得代入得 2dzzxdxx通解为通解为312zCxx将将 2zy代入得代入得 2312yCxx代入初值条件得代入初值条件得31()2yxx.4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解伯努利方程伯努利方程，21 作变换作变换.211yyz xzdd.22d

17、dxzxxz ,ln212）（xCxz 原方程的通解原方程的通解:24ln21）（xCxy )()1 ()()1 (ddxgzxpxzzx)4()211( x)211( 解方程解方程321ddyxyxxy 解解y 视为自变量视为自变量,23ddxyxyyx 两边除以两边除以,dd132yxyyxx 2x.dd3yzyyz ,1xz 设设2222yCxye 的伯努利方程的伯努利方程.2 例例2 2 湖泊的污染湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时

18、立方米每小时. 开始湖中有水开始湖中有水400000立方米立方米. 河水中流入不含盐酸的水是河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米立方米每小时每小时, 求该厂排污求该厂排污1年时年时, 湖泊水中盐酸的含量湖泊水中盐酸的含量.解解: 设设t 时刻湖泊中所含盐酸的数量为时刻湖泊中所含盐酸的数量为),(tx考虑考虑 ,ttt内湖泊中盐酸的变化内湖泊中盐酸的变化.四、四、 线性微分方程的应用举例线性微分方程的应用举例ttxtttxttx204000000)(100008. 320)()(因此有因此有. 0)0(, 6 .612400000100 xtxdtdx该方程有积分因子该方程有积分因子50)02. 04000()2400000100exp()(tdttt两边同乘以两边同乘以)(t后后,整理得整理得5050)