chapt10-_球谐函数(4学时)

1、Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT第十章第十章 勒让德多项式勒让德多项式 球函数球函数10.1 勒让德方程及其解的表示勒让德方程及其解的表示10.1.1 勒让德方程勒让德方程 勒让德多项式勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrrChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT222dd2(1)0ddRRrrl lRrr （10.1.1）在球坐标系下分离变量后

2、得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程22211sin(1)0sinsinYYl lY（10.2）(10.1.2)式的解式的解( , )Y 与半径与半径 r 无关，故称为无关，故称为球谐函数，球谐函数，或简称为球函数或简称为球函数和球谐函数方程和球谐函数方程(1)( )llR rArBrChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT球谐函数方程进一步分离变量，令球谐函数方程进一步分离变量，令( , )( )( )Y 得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程 221ddsin(1)0sinddsinml l （10.1.

3、3） 称为称为 l 阶阶连带勒让德方程连带勒让德方程.令令cosx 和和( )( )y xx 把自变数从把自变数从换为换为x，则方程（，则方程（10.1.3）可以化为下列）可以化为下列阶阶连连带勒让德方程 形式的形式的lChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT22222dd(1)2(1)0dd1yymxxl lyxxx（10.1.4） 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则无关，则0m，即有，即有1dsin(1)0sinddl ld （10.1.5） 称为称为l阶阶勒让德

4、（勒让德（legendre）方程）方程 2dd(1)(1)0ddyxl lyxxChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.12 勒让德多项式的表示勒让德多项式的表示1. 勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解( )lP x为为 220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk （10.1.7）式中式中 2, 2 2 (0,1,2,)(1) 2, 21llnlnlln上式具有多项式的形式，故称上式具有多项

5、式的形式，故称也称为也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数为为 l 阶勒让德多阶勒让德多项式项式( )lP xChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT注意到注意到cosx, 故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )28xxx42411P ( )(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330c

6、os )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxxChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2 勒让德多项式的微分表示勒让德多项式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx（10.1.10） 上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT3.勒让德多项式的积分表示勒让德多项

7、式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有( )1!( )( )d2i()llClffzz容易证明微分表示（容易证明微分表示（10.1.10）也可表示为环路积分形式）也可表示为环路积分形式2111(1)P ( )d2i 2()llllCxxx（10.1.11）C 为为 z 平面上围绕平面上围绕xz 并取正方向这叫作勒让德多项式的并取正方向这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式施列夫利积分表示式点的任一闭合回路，点的任一闭合回路，Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.2 勒

8、让德多项式的性质勒让德多项式的性质10.2.1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P ( )nx的的n个零点都是实的，且在个零点都是实的，且在) 1 , 1(内；内；（ii）P ( )nx的零点与的零点与1P( )nx的零点互相分离的零点互相分离 2. 奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )lllxx （10.2.1） 即当即当l为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P (

9、 )lx为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 P ( )lxlChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT3.勒让德多项式的正交性及其模勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间 1,1上满足上满足12,1P ( )P ( )dnlln lxxxN(10.2.2) 其中其中,1 ()0 ()n lnlnl当当nl时满足时满足11P ( )P ( )0nlxx dx， (10.2.3)称为正交性称为正交性 相等时可求出其模相等时可求出其模1212P ( ) (0,1,2,)21llNx dx

10、ll (10.2.4)Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT4. 广义傅里叶级数广义傅里叶级数定理定理10.2.1 -1,1上的任一连续函数 可展开为可展开为( )f x0( )P ( )nnnf xCx （10.2.5） 其中系数其中系数 1121( )P ( )d2nnnCfxxx (10.2.6)在实际应用中在实际应用中,经常要作代换经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为此时勒让德方程的解为P (cos )n，这时有，这时有 0(cos )P (cos )nnnfC (10.2.7) 021(cos )P (cos )sin

11、 d2nnnCf （10.2.8）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开） 例例10.2.1 将函数函数 3( )f xx按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】 根据根据 （10.2.5）设）设3001 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考虑到考虑到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，由由(10.2.6)显然有显然有 020CC11331111333P ( )dd225Cxxxxx x113

12、3333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxxChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例例10.2.2 将函数将函数 cos2 (0)展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式P (cos )n形式形式 【解【解】令令 cosx，则由，则由22cos22cos1 21x 考虑到勒让德函数的奇偶性考虑到勒让德函数的奇偶性2202121(31)2xCCx可定出可定出2041, 33CC 故有故有 02021414cos(2 )P( )P( )P(cos )P(cos )3333x

13、xChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 k为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：22222220021212123231 1P ( )P( )P ( )P( )P( )P ( )kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结论结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数( )f x为奇函数，为奇函数， 则展开式（则展开式（10.2.5）系数）系数20nC若需展开的函数若需展开的函数为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式

14、（10.2.5）系数）系数210nC 0,1,2,3,n ( )f xChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例例10.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把3( )234f xxx展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解解】 本例不必应用一般公式本例不必应用一般公式 ，事实上，事实上，( )f x是三次多项式（注意是三次多项式（注意( )f x既非奇函数，也非偶函数），既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为33023012323021323234P ( )111(31)(53 )221335()()2222nnnx

15、xCxCCxCxCxxCCCC xC xC x Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT比较同次幂即得到比较同次幂即得到3210421, 0, , 455CCCC由此得到由此得到30132142344P ( )P ( )P ( )55xxxxxChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.3 勒让德多项式的生成函数（母函数勒让德多项式的生成函数（母函数） 10.3.1勒让德多项式的生成函数的定义勒让德多项式的生成函数的定义 如图如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为

16、所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为04的正电荷，则在球内任一点的正电荷，则在球内任一点M（其球坐标记作（其球坐标记作, r）的静电势为）的静电势为 2cos2111rrd（10.3.1） 静电势静电势1d遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴， 因此，因此，1d应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(10.2.14)的形式，的形式，Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT x y z 04 d M r 图 19.1 Chang-Kui Duan,

17、 Institute of Modern Physics, CUPT即即1011P (cos)nnnnnnC rDdr （10.3.2） 首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心)0( r，电势应该是有限的，故必须取，电势应该是有限的，故必须取0lD 201P (cos ) (1)1 2 cosnnnlC rrrr （10.3.3） 为确定系数为确定系数nC，在上式中令，在上式中令0，并注意到，并注意到(1)1nP则得到则得到 001P (1) (1)1nnnnnnnC rC rrr（10.3.4） Chang-Kui Duan, Institute of

18、Modern Physics, CUPT将上式左边在将上式左边在0r的邻领域上展为泰勒级数的邻领域上展为泰勒级数2311 (1)1lrrrrrr （10.3.5） 比较（比较（10.3.4）和（）和（10.3.5）即知）即知1nC (0,1,2,)n 于是（于是（10.3.3）成为）成为201P (cos ) (1)12 cosnnnrrrr (10.3.6)若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有0210P (cos ) (1)1 112 cosP (cos ) (1)nnnnnnrrrrrr（10.3.7） Chang-Kui Duan, Institu

19、te of Modern Physics, CUPT 于（于（10.3.6）中代入）中代入 cosx，即为，即为 0210P ( ) (1)1 (11) 112P ( ) (1)nnnnnnrxrxrxrxrr （10.3.8） 因此因此2112 cosrr或或2112rxr叫作叫作勒让德多项式的勒让德多项式的生成函生成函数（或数（或母函数母函数） Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.3.2 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德

20、多项式的递推公式 先把（先把（10.3.6）写成）写成 201P ( ) 12nnnrxrxr（10.3.9） 对对r求导求导 123/20P ( )(12)nnnxrnrxrxr对上式两边同乘以对上式两边同乘以)21 (2rrx ，得，得2120(1 2)P ( )1 2nnnxrrxrnrxrxr （10.3.10） Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT相反，若对（相反，若对（10.3.8）两边对）两边对x求导求导23/20P ( )(12)lllrrxrxr上式两边同乘以上式两边同乘以)21 (2rrx ，得，得220(1 2

21、)P ( )1 2lllrrxrrxrxr将（将（10.3.8）式代入上式左边得到）式代入上式左边得到200P ( )(12)P ( )llllllrrxrxrrx比较上式两边比较上式两边1kr项的系数，得另一含导数的项的系数，得另一含导数的递推公式递推公式Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT将（将（10.3.9）代入上式左边）代入上式左边2100()P ( )(12)P ( )nnnnnnxrrxrxrnrx对上式，比较两边的对上式，比较两边的kr项的系数，得项的系数，得111P ( )P( )(1)P( )2P ( )(1)P(

22、 )kkkkkxxxkxxkxkx即即 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx(1)k （10.3.11）上式即为上式即为勒让德多项式的一个递推公式勒让德多项式的一个递推公式 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例例10.3.1 求求0P (cos )sin(2 )dn 【解【解】 00P (cos )sin(2 )d2P (cos )cos d(cos )nn 11111 2P ( ) d2P ( )P ( )d4 (1) 30 (1)nnx x xxxxnn Chang-Kui Duan, Insti

23、tute of Modern Physics, CUPT例例 10.3.2 求积分求积分 11P ( )P ( )dlnIxxxx【解】利用递推公式（【解】利用递推公式（10.3.11） 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx(1)k 故有故有1111111111111P ( )P ( )d(1)P ( )P ( )P ( )d211 P ( )P ( )dP ( )P ( )d2121lnllnlnlnIxxxxlxlxxxlllxxxxxxll22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nlnnnlnnnln Chang-Kui Duan, Ins

24、titute of Modern Physics, CUPT10. 5 球函数球函数10.5.1球函数的方程及其解球函数的方程及其解1. 球函数方程球函数方程根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程实施分离变量实施分离变量 20uk u (10.5.1) 式中式中 2222222111()(sin)sinsinrrrrrr Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT令令 ( , , )( )Y( , )u rR r ， 则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量r所

25、满足的方程所满足的方程 222dd()(1)0ddRrk rl lRrr (10.5.2)与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（10.1.1）222dd2(1)0ddRRrrl lRrr (10.5.3)已经有所区别关于已经有所区别关于(10.5.3)的解在贝塞尔函数部分讨论的解在贝塞尔函数部分讨论 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT而角度部分的解而角度部分的解( , )Y ，满足下列方程，满足下列方程2221Y1Ysin(1)0sinsinl lY (10.5.4) 上式由亥姆霍兹方

26、程实施分离变量所得的方程（上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（10.5.4）与拉普拉斯方程导出的（与拉普拉斯方程导出的（10.1.2）球函数方程具有相同的）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函数）形式，仍为球函数（或球谐函数）球函数方程（球函数方程（10.5.4）再分离变量，令）再分离变量，令 Y( , )( ) ( ) 得到两组本征值问题得到两组本征值问题 （i）222d0, ( )= (2)dm （10.5.5）本征值为本征值为 2 (0, 1, 2,)mm 本征函数为本征函数为 ( )cossinAmBmChang-Kui Duan, Institute of Moder

27、n Physics, CUPT(ii) 221dd(sin) (1)0 ( )+ ,0,sinddsinml l (10.5.6)本征值本征值 (1) (0,1,2,)l ll本征函数本征函数 P (cos )ml在在0,02 区域中求解区域中求解Y( , ) ， 得到与本征值得到与本征值, l m相应的本征函数相应的本征函数 Y ( , )ml 实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为 Y ( , )P (cos )mmimlle （10.5.7）其中其中 ime是变量是变量相应于本征值相应于本征值m的本征函数；的本征函数； P (cos )ml是变量

28、是变量相应于本征值相应于本征值l（对于确定的（对于确定的m）的本征函数）的本征函数 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2. 球函数表达式球函数表达式（1）复数形式的球函数表达式）复数形式的球函数表达式为了使得为了使得(10.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义必须添加适当常系数，于是定义iY ( , )P (cos )mmmmlllNe (10.5.8) 为球谐函数的本征函数（相应于本征值为球谐函数的本征函数（相应于本征值,)l m，并称它，并称它为球函数（球谐函数）表达

29、式为球函数（球谐函数）表达式 上式（上式（10.5.8）也是）也是复数形式的球函数复数形式的球函数其中归一化系数其中归一化系数mlN的值后面会给出的值后面会给出Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT线性独立的线性独立的l阶球函数共有阶球函数共有12 l个个 因为对应于因为对应于0m，有一个球函数，有一个球函数P (cos )l； 对应于对应于lm, 2 , 1则各有两个球函数即则各有两个球函数即P (cos )sinmlm和和P (cos )cosmlm根据欧拉公式根据欧拉公式icosisinmmme，icosisinmmme 将复数形式的球函数统一表示为将复数形式的球函数统一表示为i0,1,2,3,Y ( , )P (cos ) 0, 1, 2,mmmmllllNeml （10.5.9） 在（在（10.5.9）之中，独立的）之中，独立的阶球函数仍然是阶球函数仍然是个个 12 llChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.5.2 球函数的正交关系和模的公式球函数的正交关系和模的公式1 球函数的正交性球函数的正交性 根据根据ime的正交性质的正交性质,当当mn时，时，2ii0d0mnee可以得到可以得到( , )lmY 的正交性，即当的正交性，