现代数学文化与美学欣赏

1、 数学是光彩照人的科学女王，而不是X光下面的骷髅！ 正 整 数 的 美 学 审 视 对 无 理 数 的 品 味 无 限 世 界 的 美 妙 数 学 方 法 的 优 美 数 学 美 的 不 同 类 型 数 学 史 上 的 几 大 奇 观 数学与人的发展 数学与思维的发展 正整数的美学审视你对正整数有感觉吗？你喜欢哪个（些）正整数？你知道数论吗？正整数优美吗？因 数:素 数:完美数：| ,1, . 1iix a inxa 1 1nnnn 的因数之和恰好为 即121naxxx 如6的所有真约数是1、2、3，而且6=123。像这样，一个数所有真约数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数 素数就是质

2、数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。 當除數可以整除被除數(意即被除數=除數*商)，則除數叫做被除數的因數 任何一个自然数的约数中都有1和它本身,我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真约数 完美数有多少? 61,2,3 6123的因数为2 81, 2 , 4 , 7 12 81247144的 因 数 为，4961,2,4,8,18,31,62,124,244961248 1831 62 1242488 的因数为8,12 (18 000)第四个完美数是多年前33,550,336(1538)第五个完美数是年8,589,869,056(1588)第六个完美数是

3、年完美数有许多有趣的性质：1. 它们都能写成连续自然数之和：6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+4+.+31, 8128=1+2+3+4+.+1272.它们的尾数都是6或8A.完美数3.它们的全部因数的倒数之和都是2。1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2 物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但完美数的奇异和美丽吸引了许多人Euclid（欧几里得）在探寻完美数的时候发现

4、：完美数可能的公式：12(21)nnnC 21 ,. 18nnnC并猜想当和都是素数时是完美数 此猜想被世纪的一位数学家所证明.2,3,5,7,13,17,.nnC当时确实是前6个完美数21, 2 1 nnnMersenM 形如的素数称为素数记为2 8:2, 3, 5, 7 ,1 3,1 7 ,1 9, 3 1, 6 1, 8 91 0 7 ,1 2 7 , 5 2 1, 6 0 7 ,1 2 7 9, 2 2 0 32 2 8 1, 3 2 1 7 , 4 2 5 3, 4 4 2 3, 9 6 8 99 9 4 1,1 1 2 1 3,1 9 9 3 7 , 2 1 7 0 1,2 3 2

5、 0 9, 4 4 4 9 7 , 8 6 2 4 3M ersenn 共 有个素 数 被 发 现形如2p1的正整数，其中p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。p2，3，5，7时，Mp都是素数，但M1120472389不是素数 。已发现的最大梅森素数是p24036583的情形，此时 Mp 是一个7235733位数。是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。862432125000 是一个多位的数,需要用30页A4纸. 是通过高性能计算机来检验它是一个素数的.Mersenne在代数编码（密码学）中有用。C.回文素数回文诗：晚秋即景烟霞映水碧迢迢，暮色秋声一雁遥，前芩落辉残照

6、晚，边城古树冷萧萧。倒过来念为：萧萧冷树古城边，晚照残辉落芩前，遥雁一声秋色暮，迢迢碧水映霞烟。 芩（qn） 数学中的回文素数或回文质数：例如：2位数的回文素数有4对：1331；1771；3773；9779三位数的回文素数共13对；四位数的回文素数共102对；五位数共684对有趣的是=3.1415926前两位数：31-13前六位数：314159-951413试着找一对吧D：其它有趣的现象：n自守数：所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。 例如：2121=421 212121=9261325325=10562

7、56666=1296 n末尾是25和76的数也是自守数，三位数以上也有。自然数中的奇数和偶数。 奇数：偶数：2=122+4=6=232+4+6=12=342+4+6+8=20=45 2+4+6+8+ +2n = n（n+1） 对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣： 在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。 7641-1467=6174 有趣的是，不仅6174本身，就是任意一四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。 例如1234这个数，我们用下列步聚运算：4321-1234=30878730-0

8、378=83528532-2358=6174 区间素数个数1-10025100-20021200-30016300-40016400-50017500-60014600-70016区间比例1-1001/41-10001/61-100001/81-1000001/1019世纪有一位数学爱好者观察了600000内的素数，发现在n和2n之间至少有1个素数。9年后一位俄国数学家证明了猜想的正确性。1-n的区间 素数个数(n)(n)/nn100251/4n10001661/6n1000012291/8n10000095921/10n101001000100001000001000000n/(n)2.54

9、5.958.1410.4212.05ln n2.34.66.99.211.513.1lnlim1/( )nnnn1800年一位德国数学家猜想这一等式成立，96年后，两位法国数学家同时独立地证明了猜想的正确性。 ( )lnnnn猎奇审美，它们之间是相通的。 在杂乱无章的素数分布上，人们发现了许多奇特的规律，犹如万树丛中的鸟语花香2.对无理数的品位古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉斯流派）对数（正整数）和对世界的思考是不可分割的。他们认为：万物皆数，数生万物，1最神圣古中国：一生二、二生三、三生万物2.对无理数的品位无理数的发现打破了古希腊数学与哲学的和谐，产生了数学

10、（也是哲学）的第一次危机2 51 2： 正方形对角线长与其边长之比： 正五边形对角线长与其边长之比2.1 黄金分割ABCACABCBBC问题：在直线上找一点 ，使得11 (510.6118.1)2ABAxCxxxx若，那么于是2.1 黄金分割2.1 黄金分割212110512512xxxx 方程（）等价于它的两个根为正五边形对角线长与边长之比正五边形边长与对角线长之比C点称为黄金分割2.1 黄金分割人体: 躯干部分的宽与长之比 肚脐、膝盖植物：相邻两叶在与茎垂直的平面上的投影的两夹角的比 利于通风采光 在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.

11、618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶足底之分割点；(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3

12、之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。 黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反

13、映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 2.1 黄金分割名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点名画：充分利用了0.618建筑: 如建筑物的特征点、门窗等黄金分割点体现了美与实用，沟通了人与自然2.2 e与无理数分类代数无理数：整系数多项式的根超越无理数：代数无理数以外的无理数 证明它们是超越无理数是相当困难的。25110.2xx 如是的根, e如2.2 e与e与几何有关与物理学、经济学、生物学等有关。它可以刻画天体运动、衰变和利率、生物繁殖2.2 e与无理数的定义说明它们不可以用有限个有理数来表示。微积分的无穷级数提供了无理数的有理数的无限和表示。例如111413571111

14、12 !3 !4 !e2.2 e与446333 33 36.1 1565 5882222. 18 81828 5 0 55279499749e猜测：1.每隔10位数就会出现同样的数字; 2. 的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有的前n位数字。2.2 e与456.10. iee 数学美的象征1：实数单位i：虚数单位0：唯一中性数i：来源于几何 ：来源于分析2.2 e与cossiniie乘法运算形式一致246357234111c o s12 !4 !6 !111s in3 !5 !7 !11112 !3 !4 !c o ss inxixxxxxxxxxxexxxxexix得 到2.2 e与

15、cossin. iieLeibniz因此与具有同样的结构，我们认为它们是的。这种思想来源于法国伟大的哲学家和数学家这种思想在代数、几何等领域得到了许多发展。在同构的观点下，人们能看到不同现象的同一本质（规律），并能从已有的规律去推断其他领域或事实的类似物。这是多么美妙相等的方法啊！莱布尼兹3无限世界的美妙有限无限生命、财产、人口、金钱、距离直线上的点一尺之椎，日取其半，万世不竭。正整数个数12 3n， ， ，1123nnn正整数有限个吗？回答是 .若是，设为个： ， ， ， .那么是一否个新的正整数.3: 是什么? 代表什么?实际上3就是一个符号, 与a, f(x) 是一样的!其含义就是表示若

16、干不同表现形式的共性:相同的数量或不同的专一属性-编码.如:3个苹果,3支钢笔,3个人,3分钱.实际上, 脱离实际情况,3本身是没有实际意义的.但作为媒介，3包含了上述情况的共性 在数量上一样多。虽然世界各地的读音不同。( )nxf n数列abab线段 上的点与线段 上的点一样多！12OO圆上的点与上圆的点一样多！1O2Oxx这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于 ,还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！集

17、合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为显然基数概念推广了个数概念。AB1、有理数与自然数一样多112131411222324213233343这个集合的基这个集合的基数不超过自然数不超过自然数的基数，而数的基数，而自然数是其子自然数是其子集，所以这两集，所以这两个集合的基数个集合的基数相等。同样的相等。同样的理由知道有理理由知道有理数与自然数一数与自然数一样多。样多。2、（0，1）与（0，+）的点一样多,(0,1)1xyxx3、（0，1）的点比自然数多5、自然数是基数最小的无穷集合。4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样。6、一个集合的基数（?

18、）小于其子集所成的集合的基数（2 ? ）? 2 ? 由此人们给出了处理无穷多（自然数）的一个方法数学归纳法：如果与自然数k有关的命题P(k)满足条件（1） P(1)成立；（2）若P(n)成立，则P(n+1)也成立,则P(k)对所有的自然数成立。 观点和方法是数学的两个方面：既紧密联系，又有所区别。但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。“不能不” 反证法通常的证明方法：“对”“不对”矛盾例12.是无理数反证法：2, ,p q不假设是有理数 那么存在的正整数可约使得2222.qpqqp为偶数222 ,2,.qmpmp设则于是为偶数矛盾也177.是有理数至多 步就可以找到规律例2（抽屉原理）3个

19、苹果放进2个抽屉中，至少有1个抽屉中有两个苹果。（反证法易得）10本书，共3类（抽屉），文学类（A）、史学类（B）和数学类（C），证明至少有一类有4本或4本以上。10本书，共3类（抽屉），文学类（x）、史学类（y）和数学类（z），证明x,y,z至少有一个大于或等于4。抽象为一个纯数学问题：, ,10,4,4,4.x y zxyzxyz假设是非负整数,且则或或或此即为不定方程的非负解的下界估计问题.假设人类的头发最多为200万根，那么南平市至少有2人的头发根数一样多。（南平市人口超过200万） 在任意6人中，一定可以找到3个相互认识，或3个相互不认识的人。RMI：R-relation, M-ma

20、pping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它属于形式逻辑范畴。如“三段式”给人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思想的方法。例111101134422 22 1024204822228 16 168 2562048 显得容易。例21112?等于多少11110.3010,lg2lg20.02731111很难 但是11:21.065.从反对数表得到lg1lg0 xxxx运算数值曲折：化难为易曲折：创造、发明曲折：实现的根据是对数Galileo(伽利略)：给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。RMI的体现：R：21/11（关系） ，M：lgx （映射）,I:10lgx（取逆）例3:

21、 求和11111(1)35721nyn35721( )(1)35721nnxxxxy xxnRM,逐项微分246221( )1(1)1nnyxxxxxx201( )arctan ,(1).14xy xdxx yyxI,积分数学上互逆的运算很多:如0的作用是+项与-项;1的作用是乘项与除项. 抽象=枯燥乏味?语言学抽象吗? 美、神、好文学抽象吗？诗歌艺术抽象吗？绘画、舞蹈音乐抽象吗？高山流水、悲欢离和数学的抽象美的表现形式不同，它给人带来的是简洁、明快和高效的美例1（七桥问题）如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次？ABCD？ ？BACDBACD24213313335点线图拓扑

22、学topology:不注重数量关系和形状特征，而注重点与点的连接方式！如：建立校园网络系统。从网络中心到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼，到各办公室、教室和寝室。你如何设计呢？你需要建立一个网络的拓扑图即可。实际上如果两个图的点与连接方式一致，它们实际上就是拓扑意义下的一张图。拓扑学的产生与发展进一步表现了数学的抽象程度，起抽象的美与实际是如此的协调，展示了数学的优美！ 拓扑学的产生极大冲击了直观性原则！ 1 人的认知能力(直观，抽象飞跃) 2 直观与抽象在认识上的统一受年龄和知识的接受方式的限制. 3 直观可能造成错觉. 思辩的作用越来越大.直观具有较大的局限性. 物理学、化学、生物学等学科中许

23、多重大发现和突破是由想象力开导的。 善于抽象不仅只限于数学，人文科学、社会科学，更越来越抽象，只不过给人的感觉不象数学强烈而已。 美的不同表现形式有不同的形容： 壮美、俊美、秀美、柔美、优美数学美也呈现多样性，我们分为：简洁美、对称美、和谐美和奇异美。简洁美是人们最欣赏的一种美，在艺术、建筑、徽标等的设计中最为常见。中国画更是体现了简洁美。数学以简洁而著称！大数和小数的表示：10221，286243 ，10-900数的表示：所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(称为阿拉伯数字,但是由印度人发明的.由阿拉伯人传到西方.)形式上和位置上意义非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出现大约要

24、晚好几百年.23 6 236 2306简洁美的发展过程: 2354=940罗马人的算法:CCXXXV IVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCC CXX XX CMXL表示900表示40十进制与二进制:十进制:8989= 1 26+0 25 + 1 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20二进制:1011001十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人工运算,但系统复杂.二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便机器运算,但系统简单.二进制与最简单的自然现象二进制与最简单的自然现象(信号的信号的两极两极)结合结合,造就了计算机！造就了计算机！其它符号的简洁美

25、：未知量：x,y,z已知量：,e, a,b,c函数关系：f(x)形状符号：其它符号的简洁美：运算符号：函数与逻辑：函数与逻辑：, d， ， ，sin,cos,dx1220,(),FvcdFmvdtm mFkr牛顿第一定律牛顿第二定律，万有引力定律几何：点对称、线对称、面对称、球对称。球面被认为最完美！代数与函数论：共轭数（共轭复数、共轭空间）。运算：交换律、分配律，函数与反函数运算。二项式定理的展开式中的系数构成二项式定理的展开式中的系数构成的杨辉三角形：的杨辉三角形：11 2 13 3 11 4 6 4 11 1 5 10 5 1命题变换中：命题变换中：命题命题 逆命题逆命题 否命题否命题

26、逆否命题逆否命题统一与和谐美是数学美的又一侧面，统一与和谐美是数学美的又一侧面，它比对称美具有广泛性。以几何与它比对称美具有广泛性。以几何与代数的和谐与统一的表现为例：代数的和谐与统一的表现为例：行行列式与矩阵列式与矩阵平面上平面上过点过点(x1, y1),(x2, y2)的直线方程的直线方程:11221101xyxyxy平面上过点平面上过点(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3)的圆方程的圆方程:2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy22020axbycaxbxycydxeyf平面上所有直线一般形式：平面上所有二次曲线一般形式：,ah

27、bdbcedeacfabbc ， 是平移其性质和类型取决三和旋转变换下不个量：变的量。1.0,0,;0,0,;0为椭圆为双曲线;=0为抛物线.2.=0,为椭圆为相交两直线;=0平行或重合两直线,ahbdbcedea cfa bbc ， 是平移其性质和类型取决三和旋转变换下不个量：变的量。奇异：稀罕、出乎意料但却引人入胜！10.166666666666666666666610.142857 142857 142857 142857 79876543218.72966339123456789 6036849 5493532699 0000000 000 00 1147023000903310101

28、00310100:9876543219812345678912345678999919 101234567891091109876543219189 1012345678910nnnn而且而所以2222222333:,2,xyzxabyab zababxyz勾股定理有非零的正整数解:3,4,5;5,12,13. 其一般解为:其中为一奇一偶的正整数.那么,3次不定方程:有没有非零的正整数解?:2!,.300.nnnxyzn此即为著名的当时没有正整数解费马在一本书的边上写道 他已经解决了这个问题但是没有留下证明在此后的年一直是一马猜想个悬念费18世纪最伟大的数学家欧拉(Euler)证明了n=3,4

29、时费马定理成立；后来，有人证明当n105是定理成立。20世纪80年代以来，取得了突破性的进展。1995年英国数学家Andrew Wiles（安德鲁怀尔斯，普林斯顿大学教授）的108页论文解决了费马定理。他1996年获wolf奖，1998年获Fielz奖。(伍尔佛基金会奖(Wolf Foundation Prizes) 宗旨:成立于1978年,为前古巴派驻以色列外交家、发明家、慈善家Dr. Ricardo Wolf发起,为奖励杰出科学家、艺术家对人类的贡献,不论国籍、种族、性别、政治信念。 奖赏以下列领域为主:农业、化学、）. 121:4?nnnnnnnxxxx推广时不定方程是否有非平凡整数解

30、数学史的发展和其它学科有着许多相同的地方，即存在许多奇异的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理论知识发展的局限性，或者社会制度、宗教等的因素。但是这些思想的出现对于推动数学的进步是积极的。在中学我们就知道，几何作图严格局限于圆规和无刻度直尺。这种限制从古希腊一直延续至今。为什么？古希腊认为，所有图形都是由直线和圆弧构成的，圆是最完美的图形。他们确信仅靠圆规和直尺就可以绘出图形来。他们还认为，依据少量假设，通过逻辑把握的东西最可靠。如求线段AB的中点步骤为：1、以A为圆心，以一适当的长度为半径画弧；2、以B为圆心，以同样长度的半径画弧；3、两弧交于两点，作两点连线，其与AB的交点即为AB的中点

31、。ABC人们很快找到了正三、四、五、六边形的尺规作图的方法，然而在正七边形的尺规作图时，一直研究了2000多年！17世纪，法国业余数学家费马提出了猜想：形如Fi=22i+1是素数！i=0,1,2,3,4时Fi是的确如此。而i=5时F5 是不是素数则在差不多100年后才由伟大的欧拉证明它不是素数！F F5 5=641=6416700417.6700417.看来，验证一个大数是否为素数看来，验证一个大数是否为素数是一个多么困难的事啊！是一个多么困难的事啊！迄今为止，人们只知道F1,F2,F3, F4,是素数。人们又猜想费马素数只有有限个，但仍是一个未解问题。在欧拉之后60年，德国数学家高斯20岁时

32、发现了正多边形的边数是费马素数时是可以用尺规作图的，并且得到一般性结论：正n边形可尺规作图的充分必要条件是：由此我们知道正7边形是不可以尺规作图的！因为7不是费马素数。121222kkssnnpppppp或其中 ， ， ， 是费马素数。 而正17边形（属于高斯，80多页），正257边形（200多页）是可以用尺规作图的。高斯的墓碑上刻着一个正17边形。 大家可以验证3，5，17，257是否为费马素数。古希腊流传下来的还有三大几何作图难题：1、化圆为方： =2、倍立方问题 ： =3、三等分角问题。它们的解决实际上都促进了几何与代数，也就是现在的解析几何的产生与发展。上述三个问题都是不可能的！1、化

33、圆为方，因为是超越无理数。是不可作几何量。2、倍立方问题。因为 是不可作几何量。3、三等分角问题。以60度角为例，可得到代数方程3231430,2yyy是不可作几何量。前面已经提到，古希腊的几大几何难题都是借助于代数方法得到解决的。实际上，从公元前到公元16世纪，几何与代数各自并行发展着。表面上看，几何似乎是关于形的科学而与数无关，代数似乎是关于数的科学而与形无关。代数与几何难以联系的原因是：人们心目中的数是相互孤立的，难以从数想到由无穷多个点构成的线等图形。而对于形来说，例如线段或封闭图形，它们与数的联系也只限于长度与面积，难以从图形想到数的能力。人们从“运动”的角度来联系数与形的：决定性的

34、工具是建立了坐标系，点 数。点的运动形成了线，线的运动形成了体.。 数与形的充分结合才产生了解析几何。解析几何的主要创始人是笛卡儿！在笛卡儿之前，就已经出现了代数与几何的结合，即解析几何的萌芽.我们来看一个例子。求比例中项问题。求给定长度AB与AC的比例中项。若AB=AC，那么他们本身就是比例中项，否则，可设ABAC.将AB置于AC上,以AC为直径画圆,过B点作AC的垂线交圆于D,连接AD,AD即为所求比例中项.AD FHBCEG1x ABDACDaABADADAC即： 接着,我们依次作出E、F、G、H、.使得ABADACADACAFAFAEAEAH232341xxxxxxx即：因为AD=x时

35、,AF=x3,AF=AD+DF,故当DF=a时,我们得到X3=x+a结论:从几何得到了一个代数方程.另一方面,若a是已知数,那么AD=x作为方程的根可以在几何上表示出来(尺规作图).反过来,笛卡儿对几何问题应用了代数方法:研究几何轨迹问题.解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示,同时又用代数的研究方法来研究几何.这种方法显示了其强大的生命力:代数是纯演算的和推理的,它只需要逻辑的和技巧的,而不需要面对千变万化的几何曲线的表面现象得到其本质性的东西.即几何曲线(曲面)的分类.222222222112xyabxyabypx标准方程椭圆：双曲线：抛物线：2220axbxycydxeyf一般方程

36、：通过代数方法(平移和旋转)我们可以把一般方程化为标准方程.而且还有三个不变量.它们是二次曲线的本质三类:椭圆、双曲线和抛物线。 难以想象,没有代数的参与,在众多曲线中我们能看到这些本质性的东西.解析几何出现后不久，微积分也被发现了。可以说，微积分不仅是数学的伟大发现，也为近代科学开辟了光明的道路；微积分不仅是17世纪的伟大发现，而且是世界人类文明史上最为光辉灿烂的发现。微积分的来源是科学发展对数学要求的必然：速度、距离、重心；切线、长度、面积、体积；极值问题等等。微积分的创立是以发现微分与积分互为逆运算为标志的，即我们所说的微积分学基本定理：()()()() ,()()()xad fxfxd

37、 xFxfxftd tFxFa微分形式：积分形式：若微积分的伟大意义在于：1、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数学内部的辨证统一的深刻哲理。2、推动了自然科学、工程技术、社会科学的发展。有了微积分，它就成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文学、化学等学科都得到了无限的推动力。近代的生物学、地理学、经济学、社会科学等都离不开数学。3、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产生了前所未有的作用：工业革命、人造卫星、新星的发现、经济规律、金融运作等等。4、对人类文化产生了革命性的影响。只要研究变化规律就要用到微积分

38、，在人文、社会科学领域也是如此。哲学（马克思、恩格斯）、经济学、考古学、社会学、心理学、语言学、法学.它们直接影响着人们的世界观和文化结构。一个遗憾的事：几乎所有的大学生不知道非欧几何，甚至数学类专业的本科生也是如此。今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和改变世界的非欧几何。欧氏几何在公元前300年就已产生，起始特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的科学和成熟的科学。欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的集合原本中，在其之后的2200年后，希尔伯特在几何基础上加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体

39、系的完备性工作。然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理，即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个方面研究平行公理。1、试图给出新的平行线定义以绕开这个困难；2、试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它；（等价或包含）3、试图用其他公里推出它。第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。在用反证法研究第三个问题时，试图推出矛盾，但是没有。实际上，反证法就是假设与第五公理不成立。第五公理是说：过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行。19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时，假设其反面之一：“过已知直线外一点，可作多于

40、一条的直线与已知直线平行”，得到了一系列定理，并且认为他得到了一门新的几何学。这是过去2000年以来的重大突破。罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的几何学之后，得到了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上，罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在他去世几十年后的事了. 在罗氏几何产生后的1854年，德国数学家黎曼把欧氏第五公理改为：“过已知直线外一点，没有与其平行之直线”，得到的一种新的几何学黎曼几何，为非欧几何的另一翼。绝对几何欧氏几何罗氏几何黎曼几何联系公理迭合公理顺序公理连续公理 非欧几何的产生具有三个重大意义:1、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理

41、体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。 2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代 建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论的汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare庞加莱 ,Minko

42、uski闵柯夫斯基 , Hilbert希尔伯特等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。非欧几何的模型。复变函数理论。 | 1z 非欧平面:|z|=1,无穷远非欧直线非欧距离、非欧角、非欧圆、非欧三角形.，非欧三角形内角和小于180度；不存在非欧矩形。7、数学与人的发展 数学作为一门课程进入学校在公元前2400年时就开始了。柏拉图规定，不懂几何学不得进入他的哲学学校。这说明那时就把数学学习与教育和做人联系起来了。 现在全世界最普遍开设的教育课程就是数学，开设的时间是所有课程中最长的！ 人类是如何达成这一共识？又是如何确立了数学如此重要地位的呢？

43、中国数学历史悠久，也曾达到过很中国数学历史悠久，也曾达到过很高的水平，但中国的古代数学偏向于应用高的水平，但中国的古代数学偏向于应用与使用。与使用。 与中国古代数学形成鲜明对照的是与中国古代数学形成鲜明对照的是古希腊数学所具有的强烈的理性色彩。古古希腊数学所具有的强烈的理性色彩。古希腊数学更接近于世界观，接近哲学，接希腊数学更接近于世界观，接近哲学，接近人生，因而也更接近人文学。所以数学近人生，因而也更接近人文学。所以数学作为人类的思想产品，获得了极高的地位。作为人类的思想产品，获得了极高的地位。数学对人的发展的影响 近代中国的教育观念中，还承继着老祖近代中国的教育观念中，还承继着老祖宗的某些

44、传统。过分强调感性、实用性和目的宗的某些传统。过分强调感性、实用性和目的性。数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓性。数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓“有没有用有没有用”的的“用用”，其含义更多的是对某，其含义更多的是对某个学科专业的个学科专业的实用性实用性，而不包含对，而不包含对人的发展的人的发展的作用作用。 实际上，数学与其他学科的相互促进，实际上，数学与其他学科的相互促进，使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经超出了人们的想象。超出了人们的想象。实用主义实用主义降低了数学的作降低了数学的作用，由于过分的强调，而使数学的人文作用处用，由于过分的强

45、调，而使数学的人文作用处于一个几乎被忽略的地位。于一个几乎被忽略的地位。 世界观的形成是后天的。它与人的成长世界观的形成是后天的。它与人的成长过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。其共性表现为：方法。其共性表现为：符合逻辑的、辨证统一符合逻辑的、辨证统一的和纯理性的的和纯理性的。 数学家也不例外，他们在从事数学研究数学家也不例外，他们在从事数学研究的同时，必定通过数学来看世界。反过来，他的同时，必定通过数学来看世界。反过来，他们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一格

46、拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认为直认为世界是数的体现，世界是按数学公式运世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可分密不可分。不少数学家都是哲学家。不少数学家都是哲学家。 20 20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实正是惟一真正的客观现实.是我们所

47、能达到的惟一是我们所能达到的惟一真理真理。” 实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数学。学。 数学对世界观起到了作用数学对世界观起到了作用。 1 1、数学影响人们的逻辑思维、数学影响人们的逻辑思维 数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物中。中。

48、 事物与事物的联系多少靠什么来判断事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。 个性个性“抽抽”的越多，就越在的越多，就越在内涵内涵的共同处的共同处考虑，就越能发现事物间的考虑，就越能发现事物间的共性共性。内涵越少，。内涵越少，外延越大。外延越大。这是基本的逻辑结论这是基本的逻辑结论. .例如：例如：速度、切线速度、切线导数导数边际、变化率边际、变化率.例如

49、例如：黄金分割：黄金分割0.618: 0.618: 广泛存在于人体、植物、广泛存在于人体、植物、动物繁殖、建筑、艺术、音乐动物繁殖、建筑、艺术、音乐. 问题是问题是0.6180.618是不是世界和谐的标志呢是不是世界和谐的标志呢? ? 人们发现了优选法. 0 0.382 0.618 1 实验点 原则:去劣存优 第一步:若在0.382点优,则在0,0.618继续实验;否则,在0.382,1上继续实验.共性:区间长度为0.618. 第二步:在第一步的区间上用0.6180.618和(1-0.618)0.618作实验点,继续选择原则. 共性区间长度为0.6182. 如此继续下去,得到一个”区间套”:1

50、12200,0.6180.,.nnnnnnna ba ba bbaa bxx就是最优点。 那么,为什么非得选择0.618呢.实际上,我们可以从任何两点出发也能得到x0. 如果xn是第n次黄金分割实验后的点, 而xn是任何其他优选方法第n次实验后的点,那么|xn-x0|N时,有|意-A|0,0是变的是变的. .但但是我们要说明数列以是我们要说明数列以A A为极限为极限, ,只需要对每个只需要对每个00验验证证”存在存在.”.”这段话是对的就可以这段话是对的就可以, ,而而”每个每个”又又意味着意味着00在验证的过程中是在验证的过程中是不变不变的的. . 如代数中的“恒等变换”，恒等意味着不变，变

51、换意味着变化。这就是辩证法!其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。3 3、数学的纯理性是辩证唯物主义认识世界和、数学的纯理性是辩证唯物主义认识世界和预知世界的强大思想。预知世界的强大思想。 唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人民解决思想问题，认为解决实践基础就要求人民解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。思想认识问题就解决了一

52、切。 数学科学的事实与发展排除了这两种极端。数学科学的事实与发展排除了这两种极端。经典数学：数与形（物质世界）近代数学：物质世界（工业、经济、社会.）理性思维：公理化体系（欧氏几何）产生了新几何；解析几何；各数学分支的建立。走向高度思维。 高度思维在某个时候又走到现实生活中来，更是唯物主义的体现。符合黑格尔所说被列宁所赞赏的“自己运动”的意义。海王星的发现是由数学发现的。这是数学理性的一海王星的发现是由数学发现的。这是数学理性的一大胜利。大胜利。18711871年英国科学家发现了天王星，发现它的运行有年英国科学家发现了天王星，发现它的运行有些失常，与计算结果不符。问题的出现产生两种猜些失常，与

53、计算结果不符。问题的出现产生两种猜测：一是牛顿的万有引力定律有问题；一是还有其测：一是牛顿的万有引力定律有问题；一是还有其他因素在发挥作用（其它星的作用产生了他因素在发挥作用（其它星的作用产生了“摄摄动动”）。）。18421842年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假设经过年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假设经过由运动轨道为由运动轨道为“圆圆”到到“椭圆椭圆”的理性思考，进行的理性思考，进行了大量的复杂的数学计算，于了大量的复杂的数学计算，于18451845年年1010月月2121日将研日将研究结果寄给格林威治天文台究结果寄给格林威治天文台台长，艾里被不屑一顾。艾里又寄给了巴黎天文台的加勒，告诉他

54、在计算得到的位置观察。加勒当天（1846、9、23）果然发现了这颗新星海王星。 但水星的发现是在有了相对论之后才成功的。因为万有引力定律是近似的，越靠近太阳，其误差就越大。数学的纯理性显示了计算的重要性，但容易偏向于理性主义方面，而忽视了认识的本源；而数学的理论结果无法在实际中看到时，就容易偏向于依赖直感的直接反映论方面，而忽略了理论的能动作用。8、数学与思维发展的关系 人类的思维是后天形成的，思维受到各种因素的影响，并表现出多面性。但符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。 数学与数学教育如此受重视，不完全是因为其广泛的用途，也不能完全从应用的角度来看待数学。在

55、前面我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外，实际上数学对人的其他发展，尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值，数学是为人的更完美发展提供了良好训练。数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！ 哲学、诗歌不要求每人都会 数学每人必须会 1、归纳与完全归纳 思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。 当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错