第5章刚体的转动

1、5-1 一刚体以每分钟一刚体以每分钟60转绕转绕z轴做匀速转动（轴做匀速转动（ 沿沿z轴正方向）。轴正方向）。设某时刻刚体上一点设某时刻刚体上一点p的位置矢量为的位置矢量为 ，其单位为，其单位为“10-2m”，若以，若以“10-2ms-1”为速度单位，则该时刻为速度单位，则该时刻p点的速度为点的速度为（ B ）。）。（A）（D）（C）（B）kjir543kji0 .1576 .1252 .94ji8 .181 .25ji8 .181 .25k4 .31解：解：k2依题意，依题意，（Rad/s）ijkjikr86)543(2则则p点的速度为：点的速度为：5-2有一半径为有一半径为R的水平转台，可

2、绕通过其中心的竖直固定光滑轴的水平转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度，开始时转台以匀角速度 转动，此时有一转动，此时有一质量为质量为m的人站在转台中心。随后人沿半径向外跑去，当人到达的人站在转台中心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为（转台边缘时，转台的角速度为（ A ）。）。（A）（D）（C）（B）0002mRJJ02)(RmJJ02mRJ解：解：人和转台这一系统在转动过程中角动量守恒（请自己分析）。人和转台这一系统在转动过程中角动量守恒（请自己分析）。系统初态（即人处在转台中心的那一刻系统的状态）的角动量为：系

3、统初态（即人处在转台中心的那一刻系统的状态）的角动量为：00)(00人转台JJL)0,(00人转台JJJ000JJ转台系统末态（即人处在转台边缘的那一刻系统的状态）的角动量为：系统末态（即人处在转台边缘的那一刻系统的状态）的角动量为：ttttJJL)(人转台),(20mRJJJJtt人转台转台tmRJ)(2由由tmRJJ)(20tLL 002mRJJt5-3如图所示，如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A滑轮挂滑轮挂一质量为一质量为M的物体，的物体，B滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且，而且F=Mg。设。设A、B两滑两滑轮的角加速度分别为轮的角加速度分别为 和

4、和 ，不计滑轮轴的摩擦，则有（，不计滑轮轴的摩擦，则有（ C ）。）。（A）（B）（C）（D）ABFMABBABABA开始时开始时 ，以后，以后BABA解：解：对滑轮对滑轮A，设绳中张力为，设绳中张力为T，则有：，则有：AJTRMaTMgARa对滑轮对滑轮B，绳中张力，绳中张力T等于拉力等于拉力F，则有：，则有：BJMgRFR2MRJMgRAJMgRB显然，显然，BA注意：力矩从一开始就注意：力矩从一开始就作用在滑轮上，故从作用在滑轮上，故从一开始二滑轮就有角一开始二滑轮就有角加速度，而且二者不加速度，而且二者不相等，换句话说，从相等，换句话说，从一开始就没有一开始就没有BA开始时，两滑轮的角

5、速度开始时，两滑轮的角速度可以相等可以相等。5-4 一飞轮的转动惯量为一飞轮的转动惯量为J，在，在t=0 时角速度为时角速度为 ，此后飞轮经历，此后飞轮经历制动过程，阻力矩制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度 的平方成正比，比例系数的平方成正比，比例系数k0。当。当 时，飞轮的角加速度时，飞轮的角加速度 = ；从开始制；从开始制动到动到 时，所经过的时间时，所经过的时间t= .03/03/0JkM2Jk2Jk9/20Jkdtd2dkJdt2Jk9/203/03/2000dkJdtt02kJt)/(20kJ解：解： 依题意，有依题意，有由由5-5 一个滑轮，半径为一个滑轮，半径为10c

6、m，转动惯量为，转动惯量为1.010-2kgm2，有一，有一变力变力F=0.50t + 0.30t2 (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮所受的力矩为所受的力矩为 Nm，如果滑轮最初处于静止状，如果滑轮最初处于静止状态，则在态，则在3.0 s后的角速度为后的角速度为 49.5 rad/s.M=0.05t + 0.03t2FrMFr203. 005. 0ttrFMJMdtdttJM22100 . 103. 005. 0dtttd)35(23020)35(dtttd5 .49解：解：5-6一个圆柱体，质量为一个圆柱体，质量为M，半径为，半径为R，可绕固定的通过

7、其中心轴，可绕固定的通过其中心轴线的光滑轴转动，原来处于静止。现在有一质量为线的光滑轴转动，原来处于静止。现在有一质量为m、速度为、速度为v的子弹，沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。子弹嵌入圆柱体后的的子弹，沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。子弹嵌入圆柱体后的瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度为瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度为 。（已知。（已知圆柱体绕固定轴的转动惯量圆柱体绕固定轴的转动惯量 ）221MRJ 解：解：将子弹和圆柱体视为一个系统。子弹嵌入圆柱体为一微小过程，将子弹和圆柱体视为一个系统。子弹嵌入圆柱体为一微小过程，此过程的初态为子弹和圆柱体刚接触的瞬间，末态为子弹此过程的初态为子弹和圆

8、柱体刚接触的瞬间，末态为子弹完全进入圆柱体且二者无相对运动的瞬间。完全进入圆柱体且二者无相对运动的瞬间。上述微小过程中，系统的角动量守恒（请自己分析）上述微小过程中，系统的角动量守恒（请自己分析）系统初态角动量系统初态角动量RmLLL000圆柱体子弹系统末态角动量系统末态角动量)(2JmRLLLttt圆柱体子弹tLL 0又又RMmm)2(2221MRJ RMmm)2(25-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.9410-46 kgm2， 氧分子质量为氧分子质量为5.3010-26 kg. 若氧气中有一个氧分子具有若氧气中有一个氧分子

9、具有500 m/s的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3. 则这个分子转动角速度大小为则这个分子转动角速度大小为 （rad/s）.6.751012解：解：转轴转轴氧原子氧原子氧原子氧原子R依题意，氧分子的转动动能为依题意，氧分子的转动动能为2223121323221平动氧分子平动氧分子平动转动mmEJEkkJm322平动氧分子5-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以 角速度旋转的转轴角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/4

10、，则收臂后的转动动能是收臂前的则收臂后的转动动能是收臂前的 倍。倍。0 404初态的转动动能初态的转动动能末态的转动动能末态的转动动能20021J)21(4)4)(41(21212002002JJJ解：人和两个哑铃为一系统，此系统在转动过程中角动量守恒解：人和两个哑铃为一系统，此系统在转动过程中角动量守恒此过程的初态为：人手执两个哑铃，两臂平伸（此刻，哑此过程的初态为：人手执两个哑铃，两臂平伸（此刻，哑铃离人的中轴最远）此刻，系统的角速度为铃离人的中轴最远）此刻，系统的角速度为 ，设初态系，设初态系统的转动惯量为统的转动惯量为J0，则系统的角动量为，则系统的角动量为0 此过程的末态为：两臂收回

11、（此刻，哑铃离人的中轴最近）此过程的末态为：两臂收回（此刻，哑铃离人的中轴最近）设此刻系统的角速度为设此刻系统的角速度为 , 依题意，此刻，系统的转动惯量依题意，此刻，系统的转动惯量为为J=1/4 J0，则系统的角动量为，则系统的角动量为由由 有有000JL 041JLttLL 0解：解：5-9 如图所示，滑块如图所示，滑块 A、重物、重物 B 和滑轮和滑轮 C 的质量分别为的质量分别为 mA = 50 kg，mB = 200 kg 和和 mC = 15 kg，滑轮半径为，滑轮半径为 R = 0.10 m， A与桌面之间与桌面之间,滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮滑轮与轴承间均无摩

12、擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动求滑块间无相对滑动求滑块 A 的加速度及滑轮两边绳中的张力的加速度及滑轮两边绳中的张力 220RmJC 2cBABmmmgma aMTAA )(agmTBB 解得解得ABCaMTAA 2)(2 RmJRTTCAB amTgmBBB Ra = 381 N= 7.61 m/s2= 440 N 5-10 如图所示，一半径为如图所示，一半径为 R 质量为质量为 m 的均匀圆盘，可绕水平固的均匀圆盘，可绕水平固定光滑轴转动，转动惯量为定光滑轴转动，转动惯量为 ，现以一轻绳绕在轮边缘，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为绳的下端挂一质量为 m 的物体，求圆盘从静止

13、开始转动后，它转的物体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系。过的角度和时间的关系。解：解：得得 JTR maTmg Ra 221mRJ 00dd ttTamROm 221mRJ Rgdtd32tRgdtd32ttd00td3R2g23tRg解：解：5-11 以力以力 F 将一块粗糙平面紧压在轮上将一块粗糙平面紧压在轮上, 平面与轮之间的滑动摩平面与轮之间的滑动摩擦系数为擦系数为 , 轮的初角速度为轮的初角速度为 , 问问: 转过多少角度时轮即停止转转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为动？已知轮的半径为 R，质量为，质量为 m，可视为匀质圆盘，转动惯量，可视为匀质圆盘，转动惯

14、量为为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力；轴的质量忽略不计；压力 F 均匀分布在轮面上均匀分布在轮面上 0 粗糙平面粗糙平面轮轮轴轴rrRFFd d2)(2rrRFFfd d d)(22rrRFfrMdd d22)(2rrRFMMddR022)(232 FR2020JM以轮心为中心，以轮心为中心，r 为半径，取宽为为半径，取宽为 dr 的的细环细环,细环上摩擦力细环上摩擦力df 对轴的力矩对轴的力矩总摩擦力矩总摩擦力矩由动能定理由动能定理 细环上压力细环上压力FmR 8320 5-12 已知滑轮对中心轴的转动惯量为已知滑轮对中心轴的转动惯量为 J，半，半径为径为 R，物体的质量为，物

15、体的质量为 m ,弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为 k，斜面的倾角为，斜面的倾角为 ， 物体与斜面间光滑，系物体与斜面间光滑，系统从静止释放统从静止释放, 且释放时绳子无伸长且释放时绳子无伸长 (如图所如图所示示)，求物体下滑，求物体下滑 x 距离时的速率。距离时的速率。 仅保守力作功，仅保守力作功， 机械能守恒机械能守恒sin212121222mgxmJkx解：解：Rmmx k零势点零势点R而而RJmRkxmgx22sin2IO5-13 质量为质量为 M，半径为，半径为 R 的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴O在在竖直平面内自由转动，如图所示竖直平面内自由转动，如图

16、所示, 圆盘相对于圆盘相对于O的转动惯量为的转动惯量为 3mR2/2 , 开始时开始时, 圆盘静止在竖直位置上圆盘静止在竖直位置上, 当它转动到水平位置时当它转动到水平位置时, 求：求： 圆盘的角加速度；圆盘的角加速度； 圆盘的角速度；圆盘的角速度； 圆盘中心点的加圆盘中心点的加速度速度.解：解： 由转动定律由转动定律221 JmgR Rg34 AJM RgA32 yxOA 机械能守恒机械能守恒mgR AmR 223 222321 mR RaA tg32 RRg 322n Ra g34 2n2taaa g532 a与与 x 负向夹角负向夹角OyxOA a j jnt1tanaa j j211t

17、an 56.265-14 质量分别为质量分别为 m 和和 2m，半径分别为，半径分别为 r 和和 2r 的两个均匀圆盘的两个均匀圆盘,同同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为转动，对转轴的转动惯量为 9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为绳子下端都挂一质量为 m 的重物的重物, 如图所示。求盘的角加速度的如图所示。求盘的角加速度的大小大小.解法一：隔离法解法一：隔离法 221292mrJrTrTrmmaTmg211 rmmamgT 22 29)2(22

18、22mrmrrmmgrrmg 解法二：整体法解法二：整体法rg192 2219mrmgrrg192 mmr2r2mmT1a1 T2a2 JM 5-15 质量为质量为 m，长为，长为 L 的匀质木棒可绕的匀质木棒可绕 O 轴自由转动轴自由转动,转动惯量转动惯量为为 ，开始时木棒铅直悬挂，现在有一只质量为，开始时木棒铅直悬挂，现在有一只质量为m 的小猴的小猴以水平速度以水平速度 0 0 抓住棒的一端抓住棒的一端 (如图如图)，求：，求： 小猴与棒开始摆动的小猴与棒开始摆动的角速度；角速度； 小猴与棒摆到最大高度时小猴与棒摆到最大高度时, 棒与铅直方向的夹角棒与铅直方向的夹角.)31(220mLmL

19、mL 机械能守恒机械能守恒解：解：gL41cos 201 角动量守恒角动量守恒L043gL4cos120 )cos1 ()cos1 ()31(21 21 2 2 2 mgLgLmLmLm )cos1 ( LCLmmC O3/2mLJ 作为近似，视小猴为质点作为近似，视小猴为质点 解：解：0sin2 lmgM 5-16 如图所示如图所示, 一质量一质量 m、长、长 l 的匀质细杆的匀质细杆, 以以 O 点为轴点为轴, 在与在与竖直方向成竖直方向成 角处从静止自由下摆，角处从静止自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为 m 的静止物块的静止物块( (可视为质点

20、可视为质点) ) 发生弹性碰撞，发生弹性碰撞，已知杆对已知杆对 O 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 .求：求： 棒开始转动时的角加速度棒开始转动时的角加速度; 及棒中央点及棒中央点 C 的速的速率率 .32lmJM m0 COCm 棒转到竖直位置碰撞前的角速度棒转到竖直位置碰撞前的角速度1 1C 2 碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度和物块的线速和物块的线速率率 .2 JM 由转动定律由转动定律lg2sin30 )srad(2解得解得0 21021cos12 Jlmg 0 角转到竖直位置的过程，机械能守恒角转到竖直位置的过程，机械能守恒 棒从棒从 212061cos12 lmlmg 011cos1

21、3212 gllC 02cos1321 gl 02cos1321 lg （逆时针反转）（逆时针反转） lg01cos13 解得解得 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴角动量守恒角动量守恒222123131 mlmlml 222222122131213121 mmlml 机械能守恒机械能守恒联立联立 式得式得 5-17 如图所示单摆和直杆等长如图所示单摆和直杆等长 l , 等质量等质量 m, 悬挂于同一悬挂于同一点，摆锤拉到高度点，摆锤拉到高度 h0（h0 l ） 放开放开, 与静止的直与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕杆作弹性碰撞，已知直杆绕O轴的转动惯量轴的转动惯量 . 求直杆下端求直杆下端可上升的最大高度可上升的最大高度 h.解：解：碰前摆锤速率碰前摆锤速率002gh 角动量守恒角动量守恒 Jmlml 0式中式中32mlJ 机械能守恒机械能守恒2220212121 Jmm 解得：解得：)(20 l 203 又由机械能守恒又由机械能守恒C221mghJ 0C232hhh )(40hh hh 0hCh0llmmO32mlJ *5-18 一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为铅垂平面内自由转动（转动惯量为 ），开始时杆静止），开始时杆静止于水平位置一质量与杆相同的昆虫以