组合数学讲义

1、1Combinatorics(组合数学组合数学)2组合数学的主要研究对象组合数学的主要研究对象研究离散的对象，分析其结构及其数学关系（大体而言）。研究离散的对象，分析其结构及其数学关系（大体而言）。研究（具体而言）：按照一定的要求研究（具体而言）：按照一定的要求/限制，安排一些物体及限制，安排一些物体及 与之相关的数学问题。与之相关的数学问题。主要分四类：主要分四类：1. 存在性存在性问题：给定一个要求，确定满足条件的安排是否存在问题：给定一个要求，确定满足条件的安排是否存在2. 计数计数问题：满足要求的安排显然存在或已经证明存在，问题：满足要求的安排显然存在或已经证明存在， 要求出这些安排究

2、竟有多少种（组合数学的最主要内容）。要求出这些安排究竟有多少种（组合数学的最主要内容）。3. 构造构造/设计设计问题：将满足要求的部分或全部安排具体构造出来。问题：将满足要求的部分或全部安排具体构造出来。4. 最优化最优化问题：给出一个最优化标准，求出最优的安排。问题：给出一个最优化标准，求出最优的安排。随着研究的不断深入，内容不断增多，有些成熟的部分已分离随着研究的不断深入，内容不断增多，有些成熟的部分已分离 为单独的领域。为单独的领域。Eg：图论、运筹学、最优化理论，等等。：图论、运筹学、最优化理论，等等。3各类问题举例各类问题举例存在性存在性问题：给定一个要求，确定满足条件的安排是否存在

3、。问题：给定一个要求，确定满足条件的安排是否存在。Eg：有：有n个人、个人、n项工作，每人只能干项工作，每人只能干n项工作中的几项，问：项工作中的几项，问： 能否找到一个安排，使每个人干一项自己能干的工作？能否找到一个安排，使每个人干一项自己能干的工作？ （如授课、分布式计算机系统、等等）（如授课、分布式计算机系统、等等）构造构造/设计设计问题：将满足要求的部分或全部安排具体构造出来。问题：将满足要求的部分或全部安排具体构造出来。Eg1：上述问题如果有解，能否找出一个解乃至所有解？：上述问题如果有解，能否找出一个解乃至所有解？Eg2：幻方问题：给定自然数：幻方问题：给定自然数1，2， n将其排

4、成将其排成n阶方阵，阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上各数字之和都相等。要求每行、每列和每条对角线上各数字之和都相等。 这样的这样的n阶方阵称为阶方阵称为n阶幻方。阶幻方。 每一行（或列、或对角线）之和称为幻和。每一行（或列、或对角线）之和称为幻和。4幻方问题幻方问题神 农 幻 方4923578162200BC 1 15 14 412 6 7 9 8 10 11 513 3 2 16 15世纪 阶 幻 方组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者年美国旅行者1号、号、2号宇宙飞船号宇宙飞船 带上了幻方以作为人类智慧的信号。带上了幻方以作为

5、人类智慧的信号。5各类问题举例各类问题举例计数计数问题：满足要求的安排显然存在或已经证明存在，问题：满足要求的安排显然存在或已经证明存在， 需要求出这些安排究竟有多少种。需要求出这些安排究竟有多少种。Eg1：玩：玩“梭哈梭哈”：52张牌中任取张牌中任取5张，有多少种不同的结果？张，有多少种不同的结果？ 国外的组合学最初就是从游戏、甚至是赌博发展起来的。国外的组合学最初就是从游戏、甚至是赌博发展起来的。Eg2：男生：男生10名，女生名，女生4名，排成一列，名，排成一列， 头和尾为男生，女生不相邻。有多少种方案？头和尾为男生，女生不相邻。有多少种方案？6各类问题举例各类问题举例最优化最优化问题：给

6、出一个最优化标准，需求出最优的安排。问题：给出一个最优化标准，需求出最优的安排。Eg1：在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人：在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？Eg2： “中国邮递员问题中国邮递员问题”：一个邮递员从邮局出发，要走完他：一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择路径，才能使走的路最少？所管辖的街道，他应该怎样选择路径，才能使走的路最

7、少？Eg3：一个通讯网络怎样布局最节省？：一个通讯网络怎样布局最节省？ 这个问题直接关系到巨大的经济利益。这个问题直接关系到巨大的经济利益。Eg4：用于金融分析，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。：用于金融分析，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。7思考题思考题给了给了n个数据元素，问这个数据元素，问这n个数据元素依次进出栈的情况有多少种？个数据元素依次进出栈的情况有多少种？Eg: 1个数据元素：进出。个数据元素：进出。 2个数据元素：进进出出，进出进出。个数据元素：进进出出，进出进出。3个数据元素：进进进出出出，进进出出进出，进进出进出出，个数据元素：进进进出出出，进进出出进出，进进出进出

8、出，进出进进出出，进出进出进出。进出进进出出，进出进出进出。4个数据元素：个数据元素：进进进进出出出出进进进进出出出出进进出出进进出出进进出出进进出出进进进出进出出出进进进出进出出出进进出出进出进出进进出出进出进出进进进出出进出出进进进出出进出出进出进进进出出出进出进进进出出出进进进出出出进出进进进出出出进出进出进进出进出出进出进进出进出出进进出进进出出出进进出进进出出出进出进进出出进出进出进进出出进出进进出进出进出出进进出进出进出出进出进出进进出出进出进出进进出出进进出进出出进出进进出进出出进出进出进出进出进出进出进出进出进出（需满足：自左向右，（需满足：自左向右，“进进”的个数不少于的个数

9、不少于“出出”的个数）的个数）8组合数学与离散数学组合数学与离散数学 由于组合数学研究的是离散的对象，由于组合数学研究的是离散的对象， 故从概念上讲组合数学是离散数学的一部分。故从概念上讲组合数学是离散数学的一部分。 讨论一下两门课讨论一下两门课/ /教材的相同点与不同点。教材的相同点与不同点。 相同点：研究的都是离散的对象，都涉及部分图论的内容。相同点：研究的都是离散的对象，都涉及部分图论的内容。 不同点：不同点： 组合数学组合数学偏重计数、构造、最优化及某种安排的存在性研究，偏重计数、构造、最优化及某种安排的存在性研究， 涉及的图论内容通常也与计数、构造、最优化、存在性有关涉及的图论内容通

10、常也与计数、构造、最优化、存在性有关 离散数学离散数学偏重基础理论，包括数理逻辑、集合论、代数系统，偏重基础理论，包括数理逻辑、集合论、代数系统， 涉及的图论内容通常与树形结构有关。涉及的图论内容通常与树形结构有关。9组合数学与计算机科学组合数学与计算机科学 在算法分析、编码理论、程序设计自动化、人工智能等计算在算法分析、编码理论、程序设计自动化、人工智能等计算机科学领域都有应用。机科学领域都有应用。 Eg：分析出一个程序中最主要操作的运算次数。：分析出一个程序中最主要操作的运算次数。 Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，教授曾提出要向中国领导人呼吁， 组合数学是计算机

11、软件产业组合数学是计算机软件产业的基础的基础， 中国最终一定能成为一个软件大国，中国最终一定能成为一个软件大国， 但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。 吴文俊院士指出，吴文俊院士指出， 信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革， 而组合数学则将显示出它的重要作用。而组合数学则将显示出它的重要作用。10组合数学的起源（中国）组合数学的起源（中国） 河图者，河图者，伏羲氏伏羲氏王天王天下下，龙马出河，遂取之其文以画八卦。，龙马出河，遂取之其文以画八卦。 洛书者，洛书者，禹治洪水禹治洪水，

12、神龟负文而列于背，有数至九，遂因而第，神龟负文而列于背，有数至九，遂因而第之，以成九筹。之，以成九筹。汉孔安国汉孔安国尚书传尚书传 宋代朱熹将其列于宋代朱熹将其列于周易本义周易本义卷首，传为五代道士陈抟所作卷首，传为五代道士陈抟所作 11河图河图一六居北方为水；二七居南方为火；三八居东方为木；四九居西一六居北方为水；二七居南方为火；三八居东方为木；四九居西方为金；五十居中央为土（按中国座北朝南的传统）方为金；五十居中央为土（按中国座北朝南的传统）河图所表示的数据口诀是：一六共宗，二七同道，三八为朋，河图所表示的数据口诀是：一六共宗，二七同道，三八为朋，四九为友，五十同途四九为友，五十同途/ /

13、共守。共守。 12宋代雷思齐的宋代雷思齐的河图河图13一种异化的河图一种异化的河图14河图传说之一河图传说之一 相传在相传在伏羲氏伏羲氏时，伏羲氏教民时，伏羲氏教民“结绳为网以渔结绳为网以渔”，养蓄家畜，促，养蓄家畜，促进了生产的发展，改善了人们的生存生活条件。因此，祥瑞迭兴，进了生产的发展，改善了人们的生存生活条件。因此，祥瑞迭兴，天授神物。有一种天授神物。有一种龙背马身的神兽龙背马身的神兽，生有双翼，高八尺五寸，身，生有双翼，高八尺五寸，身批龙鳞，凌波踏水，如履平地，批龙鳞，凌波踏水，如履平地，背负图点，由黄河进入图河背负图点，由黄河进入图河（今（今洛阳市孟津县，白鹤、送庄乡境内），游弋于

14、图河之中。人们称洛阳市孟津县，白鹤、送庄乡境内），游弋于图河之中。人们称之为龙马。这就是后人常说的之为龙马。这就是后人常说的“龙马负图龙马负图”。伏羲氏见后，依照。伏羲氏见后，依照龙马背上的图点，画出了图样。接着，又有神龟负书从洛水出现。龙马背上的图点，画出了图样。接着，又有神龟负书从洛水出现。伏羲氏得到这种天赐的用符号表示的图书，遂据以画成了八卦。伏羲氏得到这种天赐的用符号表示的图书，遂据以画成了八卦。这就是这就是易易* *系辞上篇系辞上篇记载的，记载的，“河出图，洛出书，圣人则河出图，洛出书，圣人则之之”。即伏羲氏。即伏羲氏“作八卦，以通神明之德，以类万物之情作八卦，以通神明之德，以类万物

15、之情”。故。故后人在伏羲氏龙马负图处修建了负图寺。以纪念伏羲氏开拓文明后人在伏羲氏龙马负图处修建了负图寺。以纪念伏羲氏开拓文明的功绩。的功绩。 15河图传说之二河图传说之二 据传在据传在黄帝黄帝时，黄帝体察民情，亲自劳动，受到人民的爱戴。同时，黄帝体察民情，亲自劳动，受到人民的爱戴。同时也感动了天神，于是风调雨顺，五谷丰登，人民安居乐业。一时也感动了天神，于是风调雨顺，五谷丰登，人民安居乐业。一天，天神告诉黄帝说，洛水里有龙图龟书，你如果得到它，将会天，天神告诉黄帝说，洛水里有龙图龟书，你如果得到它，将会把天下治理的更好，于是黄帝便带领众头领，巡游于洛水之上。把天下治理的更好，于是黄帝便带领众

16、头领，巡游于洛水之上。一日，时值大雾，隐约看见一条大鱼被困于河滩上，黄帝非常同一日，时值大雾，隐约看见一条大鱼被困于河滩上，黄帝非常同情这条大鱼的遭遇，但又想不出什么好的解决方法，便命人杀五情这条大鱼的遭遇，但又想不出什么好的解决方法，便命人杀五牲、祭天帝，并亲自跪下向天帝求助。天帝感动，连下大雨七天牲、祭天帝，并亲自跪下向天帝求助。天帝感动，连下大雨七天七夜，致使洛水暴涨，大鱼得以解救。大鱼走后，黄帝在洛水岸七夜，致使洛水暴涨，大鱼得以解救。大鱼走后，黄帝在洛水岸边得到了河图洛书，即边得到了河图洛书，即河图视萌篇河图视萌篇，上面用象形文字记载着，上面用象形文字记载着人类所需的各种知识。这就是

17、传说的人类所需的各种知识。这就是传说的“洛书鱼献洛书鱼献”。据传，得书。据传，得书的地点在洛阳汉魏故城南，旧伊洛河汇流处。的地点在洛阳汉魏故城南，旧伊洛河汇流处。 16河图传说之三河图传说之三 相传相传唐尧唐尧时，尧带领众酋长东游于洛水。在太阳偏西时，偶然把时，尧带领众酋长东游于洛水。在太阳偏西时，偶然把玉璧沉入洛水，忽见洛水上光芒四起，有灵龟出而复隐。于是，玉璧沉入洛水，忽见洛水上光芒四起，有灵龟出而复隐。于是，尧便在洛水边修了一个祭坛，选择吉日良辰郑重其事的将璧玉沉尧便在洛水边修了一个祭坛，选择吉日良辰郑重其事的将璧玉沉入河底。稍倾，河底便光芒四射，接着又飞起一团云雾，在云雾入河底。稍倾，

18、河底便光芒四射，接着又飞起一团云雾，在云雾中有喷气吐水之声。一阵大风过后，云开雾散，风平浪静，水上中有喷气吐水之声。一阵大风过后，云开雾散，风平浪静，水上漂过一个大龟壳，广袤九尺，绿色赤文。壳上平坦处文理清晰，漂过一个大龟壳，广袤九尺，绿色赤文。壳上平坦处文理清晰，上有列星之分、七政之度，并记录着各代帝王兴亡之数。此后，上有列星之分、七政之度，并记录着各代帝王兴亡之数。此后，易理文字便在人间传开。这就是传说的易理文字便在人间传开。这就是传说的“灵龟灵龟”。 17河图传说之四、五河图传说之四、五传说之四：传说之四： 传说传说虞舜虞舜时，舜习尧礼，沉璧于洛水，水中有赤光忽起，时，舜习尧礼，沉璧于洛

19、水，水中有赤光忽起， 有龟负图书而出。接着一卷甲黄龙，舒图书于云畔，有龟负图书而出。接着一卷甲黄龙，舒图书于云畔， 将赤文篆字以授舜。这就是传说的将赤文篆字以授舜。这就是传说的“黄龙负书黄龙负书”。 传说之五：传说之五： 传说传说禹禹时，禹治水来到洛河，见神龟负文，列于背，时，禹治水来到洛河，见神龟负文，列于背， 有数自一至九，禹遂因而第之，以成九畴。有数自一至九，禹遂因而第之，以成九畴。 册府元龟册府元龟* *帝王部帝王部也说也说“夏禹即天子位，雒出龟书，夏禹即天子位，雒出龟书， 六十五字，是为洪范，此所谓雒出书者也六十五字，是为洪范，此所谓雒出书者也”。这是说，。这是说， 大禹因治水有功，

20、有德于天下，故万民称颂，上天赐瑞。大禹因治水有功，有德于天下，故万民称颂，上天赐瑞。 洛河出神龟，龟长洛河出神龟，龟长1.21.2尺，龟背上有尺，龟背上有6565个赤文篆字。有的说，个赤文篆字。有的说，此即此即尚书尚书里的里的洪范洪范篇，是治理国家的九种大法。篇，是治理国家的九种大法。18河图之数河图之数 1，天地之数天地之数：河图共有：河图共有10个数，个数，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中。其中1，3，5，7，9，为阳，为阳，2、4、6、8、10、为阴。阳数、为阴。阳数相加为相加为25，阴数相加得，阴数相加得30，阴阳相加共为，阴阳相加共为55数。所以古人说：数。所以古人说：

21、天地之数五十有五天地之数五十有五，即天地之数为，即天地之数为55，以成变化而行鬼神也以成变化而行鬼神也。即万物之数皆由天地之数化生而已。即万物之数皆由天地之数化生而已。 2，万物生存之数万物生存之数：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。所以一为水之生数，二为火之生数，三为木之生数，四为金之。所以一为水之生数，二为火之生数，三为木之生数，四为金之生数，五为土之生数。六为水之成数，七为火之成数，八为木之生数，五为土之生数。六为水之成数，七为火

22、之成数，八为木之成数，九为金之成数，十为土之成数。万物有生数，当生之时之成数，九为金之成数，十为土之成数。万物有生数，当生之时方能生；万物有成数，能成之时方能成。所以，万物生存皆有其方能生；万物有成数，能成之时方能成。所以，万物生存皆有其数也。数也。 19河图之数河图之数 3，五行之数五行之数：五行之数即五行之生数，就是水一、火二、木三、：五行之数即五行之生数，就是水一、火二、木三、金四、土五，也叫小衍之数。一、三、五、为阳数，其和为九，金四、土五，也叫小衍之数。一、三、五、为阳数，其和为九，故九为阳极之数。二、四为阴数，其和为六，故六为阴之极数。故九为阳极之数。二、四为阴数，其和为六，故六为

23、阴之极数。阴阳之数合而为阴阳之数合而为15数，故化为洛书则纵横皆数，故化为洛书则纵横皆15数，乃阴阳五行之数，乃阴阳五行之数也。数也。4，大衍之数大衍之数：大衍之数：大衍之数50即五行乘土之成数即五行乘土之成数10；同时也是天地；同时也是天地之数的用数。天地之数之数的用数。天地之数55，减去小衍之数，减去小衍之数5得大衍之数得大衍之数50，其中，其中小衍为天地之体数，大衍为天地之用数。所谓小衍为天地之体数，大衍为天地之用数。所谓大衍之数大衍之数50其用其用49，就是用大衍之数预测的占筮之法：以一为体，四十九为用，就是用大衍之数预测的占筮之法：以一为体，四十九为用，故其用四十又九。故其用四十又九

24、。 20河图之数河图之数 5，天干交合之数天干交合之数：河图之数十，乃十天干之数也。交合之数为：河图之数十，乃十天干之数也。交合之数为：一、六共宗，二、七同道，三、八为朋，四、九为友，五、十同一、六共宗，二、七同道，三、八为朋，四、九为友，五、十同德。正是万物生存之数。所以甲己合为一、六共宗，乙庚合为二、德。正是万物生存之数。所以甲己合为一、六共宗，乙庚合为二、七同道，丙辛合为三、八为朋，丁壬合为四、九为友，戊癸合为七同道，丙辛合为三、八为朋，丁壬合为四、九为友，戊癸合为五、十同德。十天干经交合之后，化为天干交合之五行，将河图五、十同德。十天干经交合之后，化为天干交合之五行，将河图五行之体化为

25、天干五行之用。五行之体化为天干五行之用。 6，六甲纳音之数六甲纳音之数：天地之数：天地之数55加上五行之数加上五行之数5，合化为，合化为60甲子五甲子五行纳音之数。十天干之阴阳五行与万物相交，同气相求，同声相行纳音之数。十天干之阴阳五行与万物相交，同气相求，同声相应各发出应各发出12种声音，无声无音不计，按河图北、东、南、西、中种声音，无声无音不计，按河图北、东、南、西、中成象五位五行共成象五位五行共60纳音。乃天地五行声音之数也。纳音。乃天地五行声音之数也。 21河图之理河图之理 1，左旋之理左旋之理：坐北朝南，左东右西，水生木、木生火、火生土、：坐北朝南，左东右西，水生木、木生火、火生土、

26、土生金、金生水，为五行左旋相生。中心不动，一、三、五、七、土生金、金生水，为五行左旋相生。中心不动，一、三、五、七、九、为阳数左旋；二、四、六、八、十、为阴数左旋；皆为顺时九、为阳数左旋；二、四、六、八、十、为阴数左旋；皆为顺时针旋转，为五行万物相生之运行。我们知道，银河系等各星系俯针旋转，为五行万物相生之运行。我们知道，银河系等各星系俯视皆右旋，仰视皆左旋。所以，视皆右旋，仰视皆左旋。所以，生气上转，如羊角而升也生气上转，如羊角而升也。故。故顺天而行是左旋，旋天而行是右旋。所以顺生逆死，左旋主生顺天而行是左旋，旋天而行是右旋。所以顺生逆死，左旋主生也。也。 2，象形之理象形之理：河图本是星图

27、，其用为地理，故在天为象，在地：河图本是星图，其用为地理，故在天为象，在地成形也。在天为象乃三垣二十八宿，在地成形则青龙、白虎、朱成形也。在天为象乃三垣二十八宿，在地成形则青龙、白虎、朱雀、玄武、明堂。天之象为风为气，地之形为龙为水，故为风水。雀、玄武、明堂。天之象为风为气，地之形为龙为水，故为风水。乃天星之运，地形之气也。所以四象四形乃纳天地五行之气也。乃天星之运，地形之气也。所以四象四形乃纳天地五行之气也。 22河图之理河图之理 3，五行之理五行之理：河图定五行先天之位，东木西金，南火北水，中间：河图定五行先天之位，东木西金，南火北水，中间土。五行左旋而生，中土自旋。故河图五行相生，乃万物

28、相生之土。五行左旋而生，中土自旋。故河图五行相生，乃万物相生之理也。土为德为中，故五行运动先天有好生之德也。理也。土为德为中，故五行运动先天有好生之德也。 4，阴阳之理阴阳之理：土为中为阴，四象在外为阳，此内外阴阳之理；：土为中为阴，四象在外为阳，此内外阴阳之理；木火相生为阳，金水相生为阴，乃阴阳水火既济之理；五行中各木火相生为阳，金水相生为阴，乃阴阳水火既济之理；五行中各有阴阳相交，生生不息，乃阴阳互根同源之理；中土为静，外四有阴阳相交，生生不息，乃阴阳互根同源之理；中土为静，外四象为动，乃阴阳动静之理。若将河图方形化为园形，木火为阳，象为动，乃阴阳动静之理。若将河图方形化为园形，木火为阳，

29、金水为阴，阴土阳土各为黑白鱼眼，就是太极图了。此时水为太金水为阴，阴土阳土各为黑白鱼眼，就是太极图了。此时水为太阴，火为太阳，木为少阳，金为少阴，乃太极四象也。故河图乃阴，火为太阳，木为少阳，金为少阴，乃太极四象也。故河图乃阴阳之用，易象之源也。易卜乃阴阳三才之显也。阴阳之用，易象之源也。易卜乃阴阳三才之显也。 23河图之理河图之理 5，先天之理先天之理：什么叫先天？人以天为天，天以人为天，人被天制：什么叫先天？人以天为天，天以人为天，人被天制之时，人是天之属，人同一于天，无所谓人，此时之天为先天；之时，人是天之属，人同一于天，无所谓人，此时之天为先天；人能识天之时，且能逆天而行，人就是天，乃

30、天之天，故为后天。人能识天之时，且能逆天而行，人就是天，乃天之天，故为后天。先天之理，五行万物相生相制，以生发为主。后天之理，五行万先天之理，五行万物相生相制，以生发为主。后天之理，五行万物相克相制，以灭亡为主。河图之理，土在中间生合万物，左旋物相克相制，以灭亡为主。河图之理，土在中间生合万物，左旋动而相生，由于土在中间，相对克受阻，故先天之理，左行螺旋动而相生，由于土在中间，相对克受阻，故先天之理，左行螺旋而生也。又，河图之理为方为静，故河图主静也。而生也。又，河图之理为方为静，故河图主静也。 河图之象、之数、之理、河图之象、之数、之理、至简至易，又深遂无穷至简至易，又深遂无穷。暂且论之。暂

31、且论之。 。 24洛书洛书结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为膝，五居其室。结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为膝，五居其室。纵横皆为十五。五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数。纵横皆为十五。五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数。25洛书传说之一洛书传说之一伏羲说伏羲说。辞海辞海在解释在解释“河图洛书河图洛书”一词时说：一词时说：“传说伏羲氏时有龙马从黄河出现，背负传说伏羲氏时有龙马从黄河出现，背负河图河图；有神龟从洛水出现，背负有神龟从洛水出现，背负洛书洛书。伏羲根据这种伏羲根据这种图图、书书画成八卦，就是后来画成八卦，就是后来周易周易的来的来源。源。”（见上海辞书出版社（见上海辞书出版社1

32、9791979年版年版辞海辞海缩印本）。缩印本）。 26洛书传说之二洛书传说之二黄帝、仓颉说黄帝、仓颉说。史记音义史记音义云：云：“黄帝东巡河过洛，修坛沉璧，受龙图于河，黄帝东巡河过洛，修坛沉璧，受龙图于河， 龟书于洛。龟书于洛。”水经注水经注洛水条洛水条引引地记地记说：说：“洛水东入于中提山间，洛水东入于中提山间， 东流汇于伊是也。昔黄帝之时，天大雾三日，帝游洛水之上，东流汇于伊是也。昔黄帝之时，天大雾三日，帝游洛水之上， 见大鱼，煞五牲以醮之；天乃甚雨，七日七夜，鱼流始得图书见大鱼，煞五牲以醮之；天乃甚雨，七日七夜，鱼流始得图书”南朝梁文学家沈约南朝梁文学家沈约宋书宋书说：说：“黄帝坐于玄

33、沪、洛水之上，有凤凰衔图置帝前。黄帝坐于玄沪、洛水之上，有凤凰衔图置帝前。”罗苹注罗苹注河图玉版河图玉版云：云：“仓颉为帝南巡，登阳虚之山，仓颉为帝南巡，登阳虚之山，临于玄沪洛之水，灵龟负书，丹甲青文以授之。临于玄沪洛之水，灵龟负书，丹甲青文以授之。” ” 27洛书传说之三洛书传说之三大禹说大禹说。辞海辞海在解释在解释“河图洛书河图洛书”一词时又说：一词时又说：“一说禹治洪水时，上帝赐给他以一说禹治洪水时，上帝赐给他以洪范九畴洪范九畴（尚书尚书洪洪范范）。）。刘歆认为刘歆认为洪范洪范即洛书。即洛书。”后汉书后汉书五行志五行志载：载：“禹治洪水，得赐禹治洪水，得赐洛书洛书，法而陈之，法而陈之，洪

34、范洪范是也。是也。”又又汉孔安国传汉孔安国传载：载：“天与禹洛出书。神龟负文而出，天与禹洛出书。神龟负文而出，列于背，有数至于九。禹遂因而第之，以成九类常道。列于背，有数至于九。禹遂因而第之，以成九类常道。” 28洛书与河图洛书与河图总体而言，洛书与河图起源于天文历法。总体而言，洛书与河图起源于天文历法。 “河出图、洛出书，圣人则之河出图、洛出书，圣人则之” 周易周易系辞上系辞上 有将河图解释为右下形式：有将河图解释为右下形式： 河图（龙马背）河图（龙马背） 洛书（神龟背）洛书（神龟背） 7 4 9 2 2 3 5 7 10 10 8 1 6 8 3 5 4 9（九宫格、三阶幻方）（九宫格、三

35、阶幻方） 10 10（外国人均承认这是有关组合学（外国人均承认这是有关组合学 1 最早的例子。）最早的例子。） 6 （一种组态）（一种组态）“河不出图，洛不出书，吾已矣夫河不出图，洛不出书，吾已矣夫”史记史记孔子世家孔子世家29洛书和原始河图的造型洛书和原始河图的造型30洛书中排列的一些巧合之处洛书中排列的一些巧合之处 以左列的以左列的438与右列的与右列的276为例。为例。 把数递变为两位数相加时，左右两列数字之和依然相等。即把数递变为两位数相加时，左右两列数字之和依然相等。即 43+38+84=27+76+62。从下向上递变依然成立。即。从下向上递变依然成立。即 83+34+48=67+7

36、2+26。递变为三位数相加依然相等，即。递变为三位数相加依然相等，即 438+384+843=276+762+627。从下向上递数依然成立，即。从下向上递数依然成立，即 834+348+483=672+726+267。如此递变下去，。如此递变下去， 四位、五位、六位数，四位、五位、六位数， 乃至乃至100位、位、1000位数等依然成立。位数等依然成立。 不论是一位、两位、三位数的平方和相加依然可以左右相等。不论是一位、两位、三位数的平方和相加依然可以左右相等。 如一位数的平方和如一位数的平方和4+3+8=2+7+6，两位数的平方和，两位数的平方和 83+34+48=67+72+26，。三位数的

37、平方和，。三位数的平方和 438+384+843=276+762+627，。等都可以成立。，。等都可以成立。 按九宫图计算其行列式，可以得到一个周天数按九宫图计算其行列式，可以得到一个周天数360。 31有关河图洛书的一家之说有关河图洛书的一家之说河图洛书是中华文化，阴阳五行术数之源。最早记录在河图洛书是中华文化，阴阳五行术数之源。最早记录在尚书尚书之中，之中，其次在其次在易传易传之中，诸子百家多有记述。太极、八卦、周易、六甲、九星、之中，诸子百家多有记述。太极、八卦、周易、六甲、九星、风水、等等皆可追源至此。风水、等等皆可追源至此。19871987年河南濮阳西水坡出土的形意墓，年河南濮阳西水

38、坡出土的形意墓，距今约距今约65006500多年多年。墓中用贝壳摆绘的青龙、白虎图像栩栩如生，。墓中用贝壳摆绘的青龙、白虎图像栩栩如生，与近代几无差别。与近代几无差别。河图四象河图四象、2828宿俱全。其布置形意，上合天星，下合地理，宿俱全。其布置形意，上合天星，下合地理，且埋葬时已知必被发掘。同年出土的安徽含山龟腹玉片，则为且埋葬时已知必被发掘。同年出土的安徽含山龟腹玉片，则为洛书图像洛书图像，距今约距今约50005000多年多年，可知那时人们已精通天地物理，河图、洛书之数了。，可知那时人们已精通天地物理，河图、洛书之数了。据专家考证，形意墓中之星象图可上合二万五千年前。据专家考证，形意墓中

39、之星象图可上合二万五千年前。 此外有说，此外有说，“河图洛书河图洛书”的的“河河”并不是指黄河，而是指生活在黄河流域洛阳并不是指黄河，而是指生活在黄河流域洛阳一带一带的一个氏族部落有河氏；的一个氏族部落有河氏；“洛洛”也不指洛河，而是指活动于洛河流域的原始部也不指洛河，而是指活动于洛河流域的原始部落的有洛氏。关于落的有洛氏。关于“河图洛书河图洛书”有许多推断与臆测，文献很多。有许多推断与臆测，文献很多。32有关河图洛书的一家之说有关河图洛书的一家之说河洛之辞，河洛之辞，最早见于最早见于尚书尚书顾命顾命，又见于，又见于论语论语子罕子罕。尚书尚书顾命顾命：“大玉，夷玉，天球，河图在东序。大玉，夷玉

40、，天球，河图在东序。”管子管子小臣小臣：“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄， 今三祥未见有者。今三祥未见有者。”周易周易系辞上系辞上：“是故天生神物，圣人则之；天地变化，圣人故之；天垂是故天生神物，圣人则之；天地变化，圣人故之；天垂象见吉凶，圣人象之；河出图，洛出书，圣人则之。象见吉凶，圣人象之；河出图，洛出书，圣人则之。”认为认为八卦乃据河洛推演出来八卦乃据河洛推演出来。汉人多宗此说，以河洛解释八卦来源。汉人多宗此说，以河洛解释八卦来源。 33有关河图洛书的一家之说有关河图洛书的一家之说 （1）河洛所指，后世理解不一。西汉刘歆以河

41、图为八卦，以）河洛所指，后世理解不一。西汉刘歆以河图为八卦，以尚书尚书洪范洪范为洛为洛书。汉代纬书有书。汉代纬书有河图河图九篇，九篇，洛书洛书六篇。以九六附会河洛之数。宋初陈抟六篇。以九六附会河洛之数。宋初陈抟创创“龙图易龙图易”。吸收汉唐九宫说与五行生成数，提出一个图式，名龙图，即河图。吸收汉唐九宫说与五行生成数，提出一个图式，名龙图，即河图。西蜀隐者则以陈抟之先天太极图为河图。刘牧将陈抟龙图发展为河图、洛书两种西蜀隐者则以陈抟之先天太极图为河图。刘牧将陈抟龙图发展为河图、洛书两种图式，将九宫图称为河图，五行生成图称为洛书。南宋朱震于图式，将九宫图称为河图，五行生成图称为洛书。南宋朱震于周易

42、挂图周易挂图中载中载其图。南宋蔡元定认为刘牧将河图与洛书颠倒了，将九宫图称为洛书，五行生成其图。南宋蔡元定认为刘牧将河图与洛书颠倒了，将九宫图称为洛书，五行生成图称为河图。朱熹图称为河图。朱熹周易本义周易本义卷首载其图。后世所称一般以蔡说为准。南宋薛卷首载其图。后世所称一般以蔡说为准。南宋薛季宣以九数河图、十数洛书为周王朝的地图、地理志图籍。清黄宗羲季宣以九数河图、十数洛书为周王朝的地图、地理志图籍。清黄宗羲易学象数易学象数论论、胡渭、胡渭易图明辨易图明辨亦认为河图洛书为四方所上图经一类。今人高亨认为河亦认为河图洛书为四方所上图经一类。今人高亨认为河图洛书可能是古代地理书，另有人认为河图为上古

43、气候图，洛书为上古方位图，图洛书可能是古代地理书，另有人认为河图为上古气候图，洛书为上古方位图，或以为河图为天河之图。众说不一，尚在继续探求中。或以为河图为天河之图。众说不一，尚在继续探求中。34有关河图洛书的一家之说有关河图洛书的一家之说 （2）河图，洛书的关系。一般认为河图为体，洛书为用；河图主常，洛书主变；）河图，洛书的关系。一般认为河图为体，洛书为用；河图主常，洛书主变；河图重合，洛书重分；方圆相藏，阴阳相抱，相互为用，不可分割。汉代刘歆认河图重合，洛书重分；方圆相藏，阴阳相抱，相互为用，不可分割。汉代刘歆认为：为：“河图洛书相为经纬。河图洛书相为经纬。”（汉书汉书五行志五行志注）南宋

44、朱熹、蔡元定：注）南宋朱熹、蔡元定：“河河图主全，敌极于十；洛书主变，故极于九。图主全，敌极于十；洛书主变，故极于九。”“”“河图以五生数统五成数而同处于河图以五生数统五成数而同处于方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，盖主于阳以统阴而肇其变，数之用也。盖主于阳以统阴而肇其变，数之用也。”并认为河图象天圆，其数为三，为奇；并认为河图象天圆，其数为三，为奇；洛书象地方，其数为二，为偶。（洛书象地方，其数为二，为偶。（易学启蒙易学启蒙）蔡沉：）蔡沉：“河图体圆而用方，圣河图体圆而用方，圣人以之而画

45、卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。人以之而画卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。”并认为河图主象、洛书主并认为河图主象、洛书主数；河图主偶、洛书主奇；河图主静、洛书主动。（数；河图主偶、洛书主奇；河图主静、洛书主动。（洪范皇极洪范皇极内篇内篇）35有关河图洛书的一家之说有关河图洛书的一家之说 清万年淳以图之方圆论河洛关系，认为：清万年淳以图之方圆论河洛关系，认为：“河图外方而内圆河图外方而内圆”，“中十点作圆中十点作圆布布”，“外四圈分布四方，为方形，十包五在内，仍然圆中藏方，方中藏圆，阴外四圈分布四方，为方形，十包五在内，仍然圆中藏方，方中藏圆，阴中有阳，阳中有阴之妙也。而十五居中，即洛书

46、纵横皆十五之数，是又河图包裹中有阳，阳中有阴之妙也。而十五居中，即洛书纵横皆十五之数，是又河图包裹洛书之象。河图点皆平铺，无两折，洛书亦然。洛书之象。河图点皆平铺，无两折，洛书亦然。”“”“洛书外圆而内方，圆者黑白洛书外圆而内方，圆者黑白共四十数，圆布精其外，包裹河图之象。共四十数，圆布精其外，包裹河图之象。”“”“河图已具洛书之体，洛书实有运用河图已具洛书之体，洛书实有运用河图之妙，因将图书奇偶方圆交互表之以图。河图之妙，因将图书奇偶方圆交互表之以图。”（易拇易拇）近代杭辛斋认为：）近代杭辛斋认为：“河图为体而中有用，洛书为用而中有体。河图为体而中有用，洛书为用而中有体。”“”“有以图书配八

47、卦者，多拘执而不有以图书配八卦者，多拘执而不能悉当，其实河图为体、洛书为用，河图即先天，洛书即后天。能悉当，其实河图为体、洛书为用，河图即先天，洛书即后天。”“”“故图与书，故图与书，相互表里，不能分割。相互表里，不能分割。”（易楔易楔）还有人认为河图重）还有人认为河图重“合合”，具有奇偶相配、，具有奇偶相配、阴阳互抱、生成相依的特点；洛书重阴阳互抱、生成相依的特点；洛书重“分分”，具有奇偶分离，生成异位的特点，具有奇偶分离，生成异位的特点，两者一分一合，体现对立统一、盛衰动静的辩证关系。两者一分一合，体现对立统一、盛衰动静的辩证关系。 36组合数学的起源（中国）组合数学的起源（中国） 北宋数

48、学家贾宪北宋数学家贾宪 （约（约11世纪）世纪） 著有著有黄帝九章细草黄帝九章细草、算法斅（音算法斅（音“笑笑”）古集）古集即即“古算法导引古算法导引”，都已失，都已失传。传。 南宋数学家杨辉著南宋数学家杨辉著详解九章算法详解九章算法（1261年）中年）中 曾引贾宪的曾引贾宪的“开方作法本源开方作法本源”图（即指数为正整数的二项图（即指数为正整数的二项式展开系数表，现称式展开系数表，现称“杨辉三角形杨辉三角形”） 和和“增乘开方法增乘开方法”（求高次幂的正根法）。（求高次幂的正根法）。 前者比帕斯卡三角形早前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳（年，后者比霍纳（William Geoge H

49、orner，17861837）的方法（）的方法（1819年）年） 早早770年。年。37组合数学的起源（中国）组合数学的起源（中国） 明朱世杰得出了组合等式明朱世杰得出了组合等式 清李善兰则证明了对一切正整数清李善兰则证明了对一切正整数P P，上述恒等式成立。，上述恒等式成立。 总体来说，中国人古代尊崇经学总体来说，中国人古代尊崇经学/ /儒学，鄙视儒学，鄙视“技技”与与“术术”。 在此氛围之下，鲜有人从事在此氛围之下，鲜有人从事“技技”与与“术术”的研究；的研究； 且归纳方面不够彻底（如且归纳方面不够彻底（如“勾三股四弦五勾三股四弦五”等），等）， 因此虽然最早涉足组合学，但未能获得世界公认

50、的、因此虽然最早涉足组合学，但未能获得世界公认的、 非常有影响的成果。非常有影响的成果。 近现代在国际上有些影响的组合数学家：华罗庚、许宝禄、近现代在国际上有些影响的组合数学家：华罗庚、许宝禄、吴文俊、柯召、管梅谷、陆家羲。吴文俊、柯召、管梅谷、陆家羲。 nrpnpprpp11161),()(38组合数学的起源（外国）组合数学的起源（外国）阿基米德手稿阿基米德手稿上图是用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本上图是用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本, 最近科学家借助现代最近科学家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基米德的这篇论文科技手段初步破译了古希腊数学家阿基米德的这篇论文, 结论是

51、这篇被称结论是这篇被称作作Stomachion的论文解决的是组合数学问题。的论文解决的是组合数学问题。在论文中阿基米德是在计算把在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少种不同的拼法。现在称该问题为种不同的拼法。现在称该问题为tiling问题问题。当今数学家借助计算机得出。当今数学家借助计算机得出的答案是的答案是17152种拼法种拼法，这在当时是相当困难的。，这在当时是相当困难的。 39Periodic Tilings Non-Periodic TilingsPenrose Tilings Symmetric Tilings Symmet