小学数学思想方法

1、 品品小学数学思想方法小学数学思想方法 这些是课堂教学的本源和精髓这些是课堂教学的本源和精髓 真正的教育是将在学校所学的知真正的教育是将在学校所学的知识全忘掉识全忘掉, ,所剩下的。所剩下的。 陶行知陶行知 在学生的脑力劳动中，摆在第在学生的脑力劳动中，摆在第一位的并不是背书，而是让学生本一位的并不是背书，而是让学生本人进行思考。背书会使人变傻。人进行思考。背书会使人变傻。 苏霍姆林斯基苏霍姆林斯基 数学思想是数学学科发生、发数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓，的基础，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富。内涵十

2、分丰富。 数学思想和方法是数学知识在数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。的过程中。 高考考试大纲的说明高考考试大纲的说明不懂得数学思想方法的数学教不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。师不是一个称职的教师。 徐利治徐利治 数学思想和数学方法既有区别又有密切数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而

3、人们选学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的要深入到数学的“灵魂深处灵魂深处”。 一、符号化思想一、符号化思想二、化归思想二、化归思想三、模型思想三、模型思想四、数形结合思想四、数形结合思想五、推理思想五、推理思想六、方程和函数思想六、方程和函数思想七、几何变换思想七、几何变换

4、思想八、分类讨论思想八、分类讨论思想九、统计思想九、统计思想 十、分析法和综合法十、分析法和综合法十一、概率思想十一、概率思想十二、反证法十二、反证法十三、集合思想十三、集合思想十四、极限思想十四、极限思想十五、假设法十五、假设法十六、运筹思想十六、运筹思想 一、符号化思想一、符号化思想1 1、符号化思想的应用。、符号化思想的应用。第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。如：律，并用符号表示。如：a+b=b+a 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。 第三，会进行符号间的转换。第三，会进

5、行符号间的转换。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。示的问题。 用符号表示变化规律。用符号表示变化规律。 数列的变化规律数列的变化规律:1,2,3,5,8,:1,2,3,5,8, 图形的变化规律。图形的变化规律。一、符号化思想一、符号化思想1 1、符号化思想的应用。、符号化思想的应用。2 2、符号化思想的教学。、符号化思想的教学。 “垂直与平行垂直与平行” ab或者或者ba ab或者或者ba 二、化归思想二、化归思想 化归（转化）思想从小学到中学，数学知识呈化归（转化）思想从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，

6、人们在现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之学问题。化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一。一。1 1、化归思想的具体应用。、化归思想的具体应用。 二、化归思想二、化归思想2 2、教学中的化归策略。、教学中的化归策略。 （1 1）下图是平行四边形停车位，它的）下图是平行四边形停车位，它

7、的面积是（面积是（ ) )。7.57.54 47.57.56 66 64 4 王老师在教学时，用木条制成一个王老师在教学时，用木条制成一个长方形框教具，木条长长方形框教具，木条长1818厘米，宽厘米，宽1515厘米。它的周长和面积各是多少？厘米。它的周长和面积各是多少？如果把它拉成平行四边形，周长和如果把它拉成平行四边形，周长和面积会怎样？面积会怎样？ 高高底底下底下底上底上底高高平行四边形的面积平行四边形的面积 底底 高高高高底底三角形的面积三角形的面积 底底 高高高高上底上底梯形的面积梯形的面积 （上底（上底 下底）下底）高高123 图1图2案例案例1 1： 214181161解决问题中的

8、化归策略。解决问题中的化归策略。（1 1）化抽象问题为直观问题。）化抽象问题为直观问题。1 1 解决问题中的化归策略。解决问题中的化归策略。（2 2）化繁为简的策略。）化繁为简的策略。四年级（下册）第四年级（下册）第117-118117-118页例页例1 1植树问植树问题题。例例1 1：同学们要在全长：同学们要在全长100100米的小路一边植树，米的小路一边植树，每隔每隔5 5米种一棵树（两端要栽）。一共需要多米种一棵树（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？少棵树苗？ 解决问题中的化归策略。解决问题中的化归策略。（2 2）化繁为简的策略。）化繁为简的策略。全长全长间隔长度间隔长度研究方法（线段图）

9、研究方法（线段图）间隔段数间隔段数棵数棵数5 5米米5 5米米1 12 21010米米5 5米米2 23 31515米米5 5米米3 34 4发现：发现：棵数棵数= =间隔数间隔数+1 +1 间隔数间隔数= =棵数棵数1 1 解决问题中的化归策略。解决问题中的化归策略。（2 2）化繁为简的策略。）化繁为简的策略。全长全长间隔长度间隔长度研究方法（线段图）研究方法（线段图）间隔段数间隔段数棵数棵数5 5米米5 5米米1 12 21010米米5 5米米2 23 31515米米5 5米米3 34 4发现：发现：棵数棵数= =间隔数间隔数+1 +1 间隔数间隔数= =棵数棵数1 1 解决问题中的化归策

10、略。解决问题中的化归策略。（2 2）化繁为简的策略。）化繁为简的策略。把把186186拆分成拆分成9393和和93, 9393, 93和和9393的乘积最大，乘的乘积最大，乘积为积为86498649。 案例案例2 2：把：把186186拆分成两个自然数的和，怎拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？最大？187187呢？呢？ （2 2）化繁为简的策略。）化繁为简的策略。案例案例3 3：你能快速口算：你能快速口算85858585，95959595，105105105105吗？吗？个位数是个位数是5 5的相等的两个数的乘积分为左的相等的

11、两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中右两部分：左边为因数中5 5以外的数字乘以外的数字乘比它大比它大1 1的数，右边为的数，右边为2525（5 5乘乘5 5的积）。的积）。所以所以8585858572257225，9595959590259025，10510510510511025 11025 解决问题中的化归策略。解决问题中的化归策略。（3 3）化实际问题为特殊的数学问题。）化实际问题为特殊的数学问题。假设都是上山，那么总路程是假设都是上山，那么总路程是1818（6 63 3）千米，）千米，比实际路程少算了比实际路程少算了2 2千米，所以，上山时间是千米，所以，上山时间是4 4小小时。上

12、山和下山的路程分别是时。上山和下山的路程分别是1212千米和千米和8 8千米。千米。案例案例1 1：某旅行团队翻越一座山。上午：某旅行团队翻越一座山。上午9 9时时上山，每小时行上山，每小时行3 3千米，到达山顶时休息千米，到达山顶时休息1 1小时。下山时，每小时行小时。下山时，每小时行4 4千米，下午千米，下午4 4时时到达山底。全程共行了到达山底。全程共行了2020千米。上山和下千米。上山和下山的路程各是多少千米？山的路程各是多少千米？ 案例案例2 2：李阿姨买了：李阿姨买了2 2千克苹果和千克苹果和3 3千克香蕉用了千克香蕉用了1111元，王阿姨买了同样价格的元，王阿姨买了同样价格的1

13、1千克苹果和千克苹果和2 2千克千克香蕉，用了香蕉，用了6.56.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱元。每千克苹果和香蕉各多少钱? ?解决问题中的化归策略。解决问题中的化归策略。（3 3）化实际问题为特殊的数学问题。）化实际问题为特殊的数学问题。直接分析：直接分析：1 1千克苹果和千克苹果和2 2千克香蕉千克香蕉6.56.5元，那么可元，那么可得出得出2 2千克苹果和千克苹果和4 4千克香蕉千克香蕉1313元；题中已知元；题中已知2 2千克千克苹果和苹果和3 3千克香蕉千克香蕉1111元。用元。用1313减去减去1111得得2 2，所以香，所以香蕉的单价是每千克蕉的单价是每千克2 2元。再通过计算

14、得苹果的单价元。再通过计算得苹果的单价是每千克是每千克2.52.5元。元。 变式：变式： 1 1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 2倍少倍少3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克。销售苹果多少千克？千克。销售苹果多少千克？ 2 2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 多多3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克。销售苹果多少千克？千克。销售苹果多少千克？ 3 3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 2倍，销售的梨是倍，销售的梨是香

15、蕉的香蕉的3 3倍。这三种水果一共销售了倍。这三种水果一共销售了180180千克。销售香蕉多千克。销售香蕉多少千克？少千克？ 4 4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 2倍，销售的梨是倍，销售的梨是苹果的苹果的2 2倍。这三种水果一共销售了倍。这三种水果一共销售了210210千克。销售香蕉多千克。销售香蕉多少千克？少千克？（4 4）化未知问题为已知问题。）化未知问题为已知问题。21案例案例1 1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 2倍多倍多3030千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180180千克。销售香蕉多少千

16、克？千克。销售香蕉多少千克？期末测试体现转化数学思想的题目：期末测试体现转化数学思想的题目：1 1、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过程中，这一过程体现了（程中，这一过程体现了（ ）数学思想。这）数学思想。这一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠定基础。定基础。2、“转化转化”是一种常见的解决问题的方法。是一种常见的解决问题的方法。如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形（成一个近似的长方形，这两个图形（ ）。）。 A、面积相等，周长也相等、面积相等，

17、周长也相等 B、面积相等，周长不相等、面积相等，周长不相等 C、面积不相等，周长也不相等、面积不相等，周长也不相等3、在小数除法中，如：在小数除法中，如： 要把这两个小数变成整数要把这两个小数变成整数 才能进行计算，把小数变成整数这才能进行计算，把小数变成整数这一过程运用了（一过程运用了（ ）的思想方法。）的思想方法。 5 .2925 . 6292565三、模型思想三、模型思想1 1、模型思想的具体应用。、模型思想的具体应用。2 2、模型思想的教学。、模型思想的教学。 2 2第一，学习的过程可以经历类似于数学家建第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。模的再创造过程。 长方体的认

18、识长方体的认识 量一量；量一量； 比一比；比一比； 找一找；找一找； 折一折。折一折。小棒根数小棒根数摆几个摆几个剩几根小棒剩几根小棒列式列式 8 8 8 84 42 2 9 9 9 94 4221 1010 10104 4222 1111 11114 4223 1212 12124 43 3 1313 13134 4331 二年级下册二年级下册余数与除数的关系余数与除数的关系结论：余数都比除数小。结论：余数都比除数小。 第三，应用已有的数学知识分析数第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。模型，进而解决各种问题。第二，

19、对于大多数人来说，在现实第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模分析，利用已有的数学知识构建模型。型。 案例案例1 1：小明的家距离学校：小明的家距离学校600600米，每天上学从家步行米，每天上学从家步行1010分钟到学校。今天早晨出门分钟到学校。今天早晨出门2 2分钟后发现忘记带文具分钟后发现忘记带文具盒，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，盒，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西他从回家再

20、到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）的时间忽略不计）5 5米跳绳的根数米跳绳的根数1 12 23 34 42 2米跳绳的根数米跳绳的根数7 75 52 20 0剩余米数剩余米数1 10 01 10 0案例案例2 2 ：有一根：有一根2020米长的绳子，要剪成米长的绳子，要剪成2 2米和米和5 5米长米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。） 案例案例3 3：一瓶矿泉水满瓶水为：一瓶矿泉水满瓶水为500500毫升，小毫升，小林喝了一些，剩余的水

21、都在圆柱形的部分，林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分，高度是高度是1616厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度是来，无水的部分高度是4 4厘米。小林喝了多厘米。小林喝了多少水？少水？ 设小林喝的水为设小林喝的水为v v毫升，列式为：毫升，列式为：v v：5005004 4：(16+4)(16+4)v v100100。四、数形结合思想四、数形结合思想 “数缺形时少直觉，形少数时难入微。数缺形时少直觉，形少数时难入微。” 华罗庚华罗庚 数形结合思想的核心应是代数与几何的对立数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用统一和

22、完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。几何方法解决代数问题是最佳的。 四、数形结合思想四、数形结合思想1 1、数形结合思想的具体应用。、数形结合思想的具体应用。数形结合思想主要体现数形结合思想主要体现 ：一是利用一是利用“形形”作为各种直观工具帮助学生理解作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题和掌握知识、解决问题 。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透 。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思

23、想的体现想的体现 。四是用代数四是用代数( (算术算术) )方法解决几何问题。方法解决几何问题。 四、数形结合思想四、数形结合思想1 1、数形结合思想的具、数形结合思想的具体应用。体应用。 （1 1）数的表示和运算。）数的表示和运算。 数和运算的实物化、数和运算的实物化、图形化和操作化，便于图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。人们直观理解数和计算。 摆小棒、画图形等。摆小棒、画图形等。 （）解决问题中的形。（）解决问题中的形。画线段图表示数量关系。画线段图表示数量关系。案例：五上列方程解决问题案例：五上列方程解决问题上海浦东中银大厦的总高度为上海浦东中银大厦的总高度为258258米，比上

24、海国际米，比上海国际饭店的饭店的3 3倍还高倍还高2424米，上海国际饭店高多少米？米，上海国际饭店高多少米？设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。上海国际饭店浦东中银大厦 利用画图来直观利用画图来直观呈现各种信息，呈现各种信息，有利于学生分析有利于学生分析数量关系。数量关系。 利用画图来直利用画图来直观呈现各种信观呈现各种信息，有利于学息，有利于学生理解算式。生理解算式。 解决问题的直观策略。解决问题的直观策略。 利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。 （3）统计中的图形。）统计中的图形。各种统计图表。各种统计图表。 （4）空间与图形中的数。）空间与图形中的数。

25、图形的周长、面积图形的周长、面积 和体积公式。和体积公式。 图形中边之间的关系。图形中边之间的关系。 图形变换中的数图形变换中的数。 坐标与变换坐标与变换 （一）创设情境，提出问题（一）创设情境，提出问题买回买回200200本书。本书。有有2 2个书架个书架, ,方法一：方法一： 先算：平均每个书架放多少本？先算：平均每个书架放多少本？2002=100（本）（本）再算：平均每层放多少本？再算：平均每层放多少本？1005=20（本）（本）200本本2、数形结合思想的教学。、数形结合思想的教学。方法二：方法二：先算：两个书架一共用几层？先算：两个书架一共用几层？5 52=102=10（层）（层）再

26、算：平均每层放多少本？再算：平均每层放多少本？20020010=2010=20（本）（本）200200本本方法三：方法三：先算：两个书架先算：两个书架1层放多少本书层放多少本书?2005=40（本）（本） 再算：平均每层放几本书？再算：平均每层放几本书？402=20（本）（本）200本本方法二：180（32）30（人）方法一：方法一：1801802 23 33030（人）（人）四、数形结合思想四、数形结合思想2 2、数形结合思想的教学。、数形结合思想的教学。第一，如何正确理解数形结合思想。第一，如何正确理解数形结合思想。 218116141案例案例1 1： 1 第二，适当拓展数形结合思想的应用

27、。第二，适当拓展数形结合思想的应用。案例案例2 2：把两个形状和大小：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？一包，怎样包装最省包装纸？ 假设长方体的长、宽、高分别为假设长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c，并且，并且abc(abc(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论小并不影响用代数方法计算的过程和结论) )。根据。根据已知条件可知，已知条件可知，abacbcabacbc，所以把最大的两个侧，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：面贴在一起包装

28、最省包装纸。列成公式为：4(ab+bc+ac)4(ab+bc+ac)2ab2ab。 五、推理思想五、推理思想对称性关系推理对称性关系推理反对称性关系推理反对称性关系推理类比推理类比推理演绎推理演绎推理合情推理合情推理三段论三段论 选言推理选言推理关系推理关系推理如：一切奇数都不能被如：一切奇数都不能被2 2整除，整除，(2(2) )是奇数，是奇数，(2(2) )不能被不能被2 2整除。整除。一个三角形不是锐角三角形和一个三角形不是锐角三角形和直角三角形，它是钝角三角形。直角三角形，它是钝角三角形。传递性关系推理传递性关系推理1 1米米100100厘米，所以厘米，所以100100厘米厘米1 1米

29、米a a大于大于b b，所以，所以b b不大于不大于a a。abab，bcbc，所以，所以acac。归纳推理归纳推理推理推理1 1、推理思想的具体应用。、推理思想的具体应用。锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经知道了知道了29292626，26262323，所以，所以29292323的推的推理方法，理方法，自然地可以把这种推理方法迁移自然地可以把这种推理方法迁移至此。至此。二年级上册第二年级上册第8080页例页例4

30、4中的中的9 9的乘的乘法口诀，这是归法口诀，这是归纳推理。纳推理。 有一箱苹果，有一箱苹果，3 3个个3 3个地数多个地数多1 1个，个，4 4个个4 4个地数多个地数多1 1个，个，5 5个个5 5个地数多个地数多1 1个。问这个。问这箱苹果至少有多少个？箱苹果至少有多少个？ 有一箱苹果有一箱苹果,3,3个个3 3个地数少个地数少1 1个，个，4 4个个4 4个个地数少地数少2 2个，个，5 5个个5 5个地数少个地数少3 3个。问这箱个。问这箱苹果至少有多少个？苹果至少有多少个？ 2 2、推理思想的教学。、推理思想的教学。推理思想在小学数学教学中要注意把握以下几点：推理思想在小学数学教学

31、中要注意把握以下几点：第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。思维方式，要贯穿于数学教学的始终。 第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。 第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。机地结合。 第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。 学习学习“8的乘法口诀的乘法口诀”时，便可联系时，便可联系“6、7的的乘法口诀乘法口诀”提出问题：提出问题：8的乘法口诀有几句？怎样的乘法口诀有几

32、句？怎样推导出推导出8的乘法口诀？前后各句口诀之间有什么规的乘法口诀？前后各句口诀之间有什么规律？律？ （1 1）类比思想。）类比思想。 在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的基本性质相类比，可以导出运算定律；与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。一样能够进行化简和运算。 期末测试中体现数学活动经验（类比思想）期末测试中体现数学活动经验（类比思想）的题目：

33、的题目：学生在计算学生在计算16168 82424时，总结出了加法计时，总结出了加法计算法则，它在学习（算法则，它在学习（ ）时又一次使用）时又一次使用了，这种方法能保证学生计算准确。了，这种方法能保证学生计算准确。这种数这种数学活动经验要注意积累呦！学活动经验要注意积累呦！ （1 1）类比思想。）类比思想。 2 2、如下图，在探究圆的周长时，小朋友们、如下图，在探究圆的周长时，小朋友们用到了用到了“化曲为直化曲为直”的直观学习方法，这的直观学习方法，这种学习方法在学习（种学习方法在学习（ ）时又一次）时又一次使用了。这种数学活动经验要注意积累呦！使用了。这种数学活动经验要注意积累呦！ 案例案

34、例1 1：计算并观察下面的算式，你能发：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？现什么规律？1 1111 13 34 422（1 13 35 5）9 933（1 13 35 57 7）1 13 35 57 79999 前前n n个奇数相加的和等于个奇数相加的和等于n n的平方。的平方。 案例案例2 2：观察下面的一组算式，你能发现：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？什么规律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=12146+64=110, 38+83=121设任意一个两位数是

35、设任意一个两位数是ab(a和和b是是19的自然数的自然数)，那么，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b) （2 2）归纳思想。）归纳思想。 案例案例3 3：如下图，两条直线相交形成：如下图，两条直线相交形成4 4个个角，你能说明角，你能说明2=42=4吗？吗？(3)(3)三段论。三段论。 六、方程和函数思想六、方程和函数思想1 1、方程和函数思想的具体应用。、方程和函数思想的具体应用。2、方程和函数思想的教学。、方程和函数思想的教学。 练习：练习：9 91 1 9 92 2 9 93 3 9 94 4 9 95 5 9 96 6

36、9 97 7 9 98 8 9 99 9 六、方程和函数思想六、方程和函数思想案例案例1 1：妈妈买了：妈妈买了3 3千克香蕉和千克香蕉和2 2千克苹果，千克苹果，一共花了一共花了1616元。苹果的价格是香蕉的元。苹果的价格是香蕉的2 2倍倍多多1 1元，苹果和香蕉的单价各是多少？元，苹果和香蕉的单价各是多少？列方程：列方程：32(21)16解方程，解方程，2 所以，苹果的单价是所以，苹果的单价是5元，香蕉的单元，香蕉的单价是价是2元元 案例案例2 2：小明家的果园供游人采摘桃，每千：小明家的果园供游人采摘桃，每千克克1010元。请写出销售桃的总价元。请写出销售桃的总价( (总收入总收入)y)

37、y元元与数量与数量( (千克数千克数) ) 之间的关系式。如果某之间的关系式。如果某天的销量是天的销量是5050千克，这天的总收入是多少？千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是如果上个月的总收入是1200012000元，上个月的元，上个月的销量是多少？销量是多少？ 列关系式：列关系式：y10。某天的销量是。某天的销量是50千克，总收入是千克，总收入是500元。上个月的总收元。上个月的总收入是入是12000元，销量是元，销量是1200千克。千克。 案例案例3 3：有一批捐赠的图书分给一个班的：有一批捐赠的图书分给一个班的学生，如果每人分学生，如果每人分3 3本，则还缺本，则还缺1515本

38、；如本；如果每人分果每人分2 2本，则剩余本，则剩余2525本。这个班有多本。这个班有多少学生？少学生？设：这个班有学生设：这个班有学生人人 列方程：列方程：315225 40 七、几何变换思想七、几何变换思想几何变换几何变换合同变换合同变换相似变换相似变换平移变换平移变换轴对称变换轴对称变换旋转变换旋转变换按一定比例放大或缩小按一定比例放大或缩小2 2、几何变换思想的教学。、几何变换思想的教学。(1)(1)平移变换。平移变换。小学阶段：直观认识平移现象。小学阶段：直观认识平移现象。物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变。物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变。 (2)(2)旋

39、转变换。旋转变换。设计图案设计图案 (3)(3)对称变换。对称变换。如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。(4)(4)相似变换。相似变换。 形状不变，大小改变形状不变，大小改变（图形的放大、缩小）（图形的放大、缩小） 1、小学数学中几何变换思想的应用如下表。、小学数学中几何变换思想的应用如下表

40、。思想方法思想方法知识点知识点应用举例应用举例轴对称轴对称画简单的轴对称图形画简单的轴对称图形认识轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形认识轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形平移变换平移变换认识平移，把简单图认识平移，把简单图形平移形平移判断生活中物体的运动哪些是平移现象判断生活中物体的运动哪些是平移现象画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形旋转变换旋转变换感知旋转现象感知旋转现象判断生活中物体的运动哪些是旋转现象判断生活中物体的运动哪些是旋转现象把简单图形旋转把简单图形旋转9090画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转画出一个简单

41、图形顺时针或逆时针旋转9090后的图形后的图形合同变换合同变换图形的性质、面积的图形的性质、面积的计算计算平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想渗透了几何变换思想图案的欣赏和设计图案的欣赏和设计判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案相似变换相似变换把简单图形放大或把简单图形放大或缩小缩小画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照

42、一定的比例放大或缩小后的图形比例放大或缩小后的图形2 2、几何变换思想的教学。、几何变换思想的教学。第一，对一些概念的准确把握。第一，对一些概念的准确把握。案例案例2 2：一架直升飞机在按一定速度飞行时：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？螺旋桨的转动是旋转吗？案例案例1 1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？案例案例3 3：下面

43、的图形是轴对称图形吗？：下面的图形是轴对称图形吗？图(1)图(2)案例案例4: 人教版教材人教版教材, 求三角形和梯形的面积。求三角形和梯形的面积。把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转180度，再平移。度，再平移。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。案例案例5 5：小明家的院子里有一块长：小明家的院子里有一块长3030米、宽米、宽2020米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而且宽都是且宽都是1 1米的小

44、路。这块地实际种菜的面米的小路。这块地实际种菜的面积是多少？积是多少？种菜的面积就转化为求长种菜的面积就转化为求长2929米、宽米、宽1919米的长方米的长方形的面积，用长乘宽就可求出面积。形的面积，用长乘宽就可求出面积。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。阴影的面积为：阴影的面积为：2=(cm)。 41第三，对教学要求和解题方法的准确把握。第三，对教学要求和解题方法的准确把握。1 1、直观判断题、直观判断题 如：在方格纸上原图形中的点如：在方格纸上原图形中的点(2(2，3)3)，经，经过平移后它的对应点为过平移后它的对应点为A(8A(8，1010）

45、。那么）。那么原图形可以通过先向右平移原图形可以通过先向右平移6 6格，再向上平格，再向上平移移7 7格；或者先向上平移格；或者先向上平移7 7格，再向右平移格，再向右平移6 6格，得到平移后的图形。格，得到平移后的图形。2 2、作图题、作图题 八、分类讨论思想八、分类讨论思想1 1、分类讨论思想的具体应用。、分类讨论思想的具体应用。思想方法思想方法知识点知识点应用举例应用举例分类讨论分类讨论思想思想分类分类一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想数的认识数的认识数可以分为正数、负数数可以分为正数、负数有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）

46、有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）整数的性质整数的性质整数可以分为奇数和偶数整数可以分为奇数和偶数正整数可以分为正整数可以分为1 1、素数和合数、素数和合数图形的认识图形的认识平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形六边形三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形形三角形按边可以分为；不等边三角形、等腰三角形，其中等三角形按边可以分为；不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三腰三角形又可以分为等边三角形和腰与

47、底边不相等的等腰三角形角形四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形对边都不平行的四边形统计统计数据的分类整理和描述数据的分类整理和描述排列组合排列组合分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础概率概率排列组合是概率计算的基础排列组合是概率计算的基础植树问题植树问题先确定是几排树，再确定每排树的情况先确定是几排树，再确定每排树的情况两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽抽屉原理抽屉原理构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类构建抽屉实际上

48、是应用分类标准，把所有元素进行分类 2 2的倍数的特征：的倍数的特征：（1 1）从生活情境）从生活情境“双号双号”引入。引入。（2 2）观察）观察2 2的倍数的个位的倍数的个位数，总结出数，总结出2 2的倍数的特征。的倍数的特征。（3 3）介绍奇数和偶数的概）介绍奇数和偶数的概念。念。（4 4）可让学生随意找一些）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严数进行验证，但不要求严格的证明。格的证明。 质数和合数的概念：质数和合数的概念：（1 1）根据）根据2020以内各数的以内各数的因数个数把数分成三类：因数个数把数分成三类：1 1、质数、合数。、质数、合数。（2 2）可任出一个数，让）可任出一个

49、数，让学生根据概念判断其为学生根据概念判断其为质数还是合数。质数还是合数。 三角形按角分类三角形按角分类任意找一些三角形任意找一些三角形引导学生自己分类引导学生自己分类启发学生想怎样用集合圈启发学生想怎样用集合圈表示几种三角形之间的关系表示几种三角形之间的关系 三角形按边分类三角形按边分类思路同前思路同前也可以同时进行分类也可以同时进行分类更加开放更加开放等腰三角形的特征等腰三角形的特征分为三类：十位是分为三类：十位是1 1的有的有1212、1313，十位是，十位是2 2的的有有2121、2323，十位是，十位是3 3的有的有3131、3232。只有只有1 1枚硬币的：枚硬币的：1 1角、角、

50、5 5角、角、1 1元元只有只有2 2枚硬币的：枚硬币的：6 6角、角、1 1元元1 1角、角、1 1元元5 5角、角、只有只有3 3枚硬币的：枚硬币的：1 1元元6 6角角2 2、分类讨论思想的教学。、分类讨论思想的教学。第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想。思想。 第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想。思想和集合思想。第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想。想。第四，在统计与概率知识的教学中，渗

51、透分类的思想。第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。类而分类。 第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。条件下的不适用性。 案例案例1 1：下图中共有多少个长方形？：下图中共有多少个长方形？ 单一的长方形：单一的长方形：3 33 39 9；由两个单一长方形组成的长方形：横数由两个单一长方形组成的长方形：横数2 23 36 6，竖数，竖数2 23 36 6，6+6=126+6=12；由三个单一长方形组成的长方

52、形：横数由三个单一长方形组成的长方形：横数1 13 33 3，竖数，竖数1 13 33 3，3+3=63+3=6；由四个单一长方形组成的长方形：由四个单一长方形组成的长方形：4 4；由六个单一长方形组成的长方形：由六个单一长方形组成的长方形：4 4；由九个单一长方形组成的长方形：由九个单一长方形组成的长方形：1 1。共计共计 9+12+6+4+4+1=369+12+6+4+4+1=36（个）。（个）。 案例案例2:2:下面四张卡片上分别写有数字下面四张卡片上分别写有数字0 0、1 1、2 2、3 3，可，可以利用它们组成多少不同的四位数？以利用它们组成多少不同的四位数？分析：把所有能组成的四位

53、数分成三类，再依此分析：把所有能组成的四位数分成三类，再依此按从小到大的顺序排列如下。按从小到大的顺序排列如下。 （1 1）1023 1032 1203 1230 1302 1320 1023 1032 1203 1230 1302 1320 （2 2）2013 2031 2103 2130 2301 23102013 2031 2103 2130 2301 2310（3 3）3012 3021 3102 3120 3201 32103012 3021 3102 3120 3201 3210 方法是：可以按只有一种、二种、三种硬币的方法进方法是：可以按只有一种、二种、三种硬币的方法进行分类组合

54、。行分类组合。只有一种硬币：只有一种硬币：1010个个1 1分，分，5 5个个2 2分分, 2, 2个个5 5分分,3,3种换法种换法; ;只有两种硬币只有两种硬币:8:8个个1 1分和分和1 1个个2 2分分, 6, 6个个1 1分和分和2 2个个2 2分分, , 4 4个个1 1分和分和3 3个个2 2分分, 2, 2个个1 1分和分和4 4个个2 2分分, , 5 5个个1 1分和分和1 1个个5 5分分, 5, 5种换法种换法; ;只有三种硬币只有三种硬币:1:1个个1 1分、分、2 2个个2 2分和分和1 1个个5 5分，分， 3 3个个1 1分、分、1 1个个2 2分和分和1 1个

55、个5 5分，分，2 2种换法。种换法。共计共计1010种换法。种换法。案例案例3:3:把把1 1张一角的人民币换成零钱，现有足够的张一角的人民币换成零钱，现有足够的1 1、2 2、5 5分币。有多少种换法？分币。有多少种换法？ 还可以按照币种的范围分类讨论。 期末测试体现分类数学思想的题目：如下图，期末测试体现分类数学思想的题目：如下图，有一些扣子要分，笑笑、亮亮分别是这样分有一些扣子要分，笑笑、亮亮分别是这样分的，这一过程体现了（的，这一过程体现了（ ）数学思想。）数学思想。这一思想为继续学习数学奠定基础。这一思想为继续学习数学奠定基础。笑笑 亮亮 2 2、统计思想的教学。、统计思想的教学。

56、第一，注重过程性目标的教学。第一，注重过程性目标的教学。 第二，认识统计对决策的作用，能从统计的第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。角度思考与数据有关的问题。 第三，能对给定数据的来源、收集和描述的第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。方法，以及分析的结论进行合理的质疑。 第四，对有关概念应正确理解，应注重知识第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。如：让学生找出下面一组数据的众数：如：让学生找出下面一组数据的众数：75 84 84 89 89 92 92

57、96 98。 平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的数量，代表一般水平。的数量，代表一般水平。平均数平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。较普遍；缺点是易受极端值的影响。 中位数中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。映全体

58、数据的情况，可靠性较差。众数众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。众数可能不唯一，全体数据的情况，可靠性较差。众数可能不唯一，甚至有时没有。甚至有时没有。 2 2、统计思想的教学。、统计思想的教学。案例案例1 1：一家公司：一家公司20082008年和年和20092009年职工年工资情况如下表。年职工年工资情况如下表。职务职务总经理总经理副总经理副总经理部门经理部门经理部门副经理部门副经理普通员工普通员工人数人数1 12 28 810

59、1079792008年工资万元年工资万元8 87 75 54 42 22009年工资万元年工资万元10108.58.56 64.84.82.32.3（1 1）这家公司）这家公司20082008年和年和20092009年职工平均工资各是多少？年职工平均工资各是多少？（2 2）这家公司对外宣称，）这家公司对外宣称，20092009年职工平均工资比年职工平均工资比20082008年增长年增长17%17%以上，这种说法有不妥之处吗？以上，这种说法有不妥之处吗？(1)2008(1)2008和和20092009年职工平均工资分别为：年职工平均工资分别为：(8+2(8+27+87+85 510104 479

60、792)2)100=2.6(100=2.6(万元万元) )(10(102 28.58.58 86 610104.84.879792.3)=3.047(2.3)=3.047(万元万元) )(2)(3.047-2.6)(2)(3.047-2.6)2.617.2%,(2.3-2)2.617.2%,(2.3-2)2=15%2=15%。 案例案例2 2：有关部门对一个社区的：有关部门对一个社区的100100个居民月度人均用个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：水量进行了调查统计，数据如下表：用水量吨用水量吨2 23 34 45 56 6人数人人数人8 82424404022226 6(1)(1