[经济学]金融数学ppt课件

1、期权概述期权概述 第六章 期权定价实际金融期权的买卖战略金融期权的买卖战略 延续型期权定价模型延续型期权定价模型 离散型期权定价模型离散型期权定价模型 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 金融工具的根本类型金融工具的根本类型衍生金融工具：远期、期货、期权等衍生金融工具：远期、期货、期权等原生金融工具：股票、利率、外汇等原生金融工具：股票、利率、外汇等 套期保值者套期保值者hedger：利用金融工具来转移或减少现货市场的价钱：利用金融工具来转移或减少现货市场的价钱风险的投资者；风险的投资者； 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 套利者套利者arbitrageur：利用同一资产在不同市场或

2、不同资产在同一市：利用同一资产在不同市场或不同资产在同一市 上存在的价钱差别，经过低买高卖而获取无风险收益的投资者。上存在的价钱差别，经过低买高卖而获取无风险收益的投资者。投资者的三种类型投资者的三种类型 投机者投机者speculator：甘愿用资金去冒险，不断地买进卖出衍生证券：甘愿用资金去冒险，不断地买进卖出衍生证券期权、期货，希望从市场价钱的经常变化中获取利润的投资者。期权、期货，希望从市场价钱的经常变化中获取利润的投资者。 留意：投机与套利是有差别的，投机是基于对未来价钱程度的预测，以牟取留意：投机与套利是有差别的，投机是基于对未来价钱程度的预测，以牟取利润，这是有风险的。套利是利用不

3、同市场在价钱联络上的差别的现实，以套取利润，这是有风险的。套利是利用不同市场在价钱联络上的差别的现实，以套取利润，这是无风险的。利润，这是无风险的。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权的开展背景期权的开展背景 期权概述期权概述 1、1973年前，场外买卖直接年前，场外买卖直接(柜台柜台)买卖，费用很高，无二级市场，买卖，费用很高，无二级市场，买卖不活泼；买卖不活泼； 2、1973年年4月月26日日 芝加哥期权买卖所芝加哥期权买卖所Chicago Board Option Exchange, CBOE正式挂牌，期权买卖规范化阶段。正式挂牌，期权买卖规范化阶段。 3、20世纪，世纪，

4、70年代和年代和80年代，金融市场、商品市场动摇猛烈，人们开年代，金融市场、商品市场动摇猛烈，人们开场运用期权进展套期保值以及进展投机活动。场运用期权进展套期保值以及进展投机活动。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l期权的根本概念期权的根本概念u期权的定义期权的定义 期权option是给予持有者在规定的时间，以规定的价钱购买或出卖某项标的资产的权益的一种法律合同。 看涨期权看涨期权call option：又称买入期权、敲入期权，它是给予期权的持有：又称买入期权、敲入期权，它是给予期权的持有 者在规定的时间以规定的价钱购买某项标的资产的权益的一种法律合同。者在规定的时间以规定的价钱购买某

5、项标的资产的权益的一种法律合同。 看跌期权put option：卖出又称期权、敲出期权，它是给予期权的持有 者在规定的时间以规定的价钱出卖某项标的资产的权益的一种法律合同。注：注： 1期权是权益与义务不对称的合约。期权是权益与义务不对称的合约。 2期权与期货的区别：前者只享有权益，后者既享用权益，又期权与期货的区别：前者只享有权益，后者既享用权益，又要履行义务。要履行义务。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权的要素期权的要素 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权购买者和出卖者的权益与义务 期权出卖者，接受期权费后，只需义务而没有权益。期权出卖者，接受期权费后，只需义务

6、而没有权益。 期权的购买者付出期权费后，只需权益而没有义务；期权的购买者付出期权费后，只需权益而没有义务； 看涨期权的购买者付出期权费，获得购买标的资产的权益，但他并看涨期权的购买者付出期权费，获得购买标的资产的权益，但他并没有到期必需购买的义务，即他有购买或者不购买的选择权。没有到期必需购买的义务，即他有购买或者不购买的选择权。 假设期权的购买者行使其权益，出卖者必需向买入期权的持有者提供相应的资产，或者是接受卖出期权持有者手中的资产。 看跌期权的购买者，有出卖或者不出卖标的资产的权益。看跌期权的购买者，有出卖或者不出卖标的资产的权益。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权的价值

7、期权的价值 p期权的内在价值期权的内在价值*0TTTSXPXSSX指期权按协定价钱被执行时，期权所具有的价值。指期权按协定价钱被执行时，期权所具有的价值。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 按照到期日期权施权价与标的资产市场价之间的关系期权有三种类型：按照到期日期权施权价与标的资产市场价之间的关系期权有三种类型： 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p期权的时间价值期权的时间价值 一切期权的出卖方都无一例外地要求买方支付的期权费高于期权的一切期权的出卖方都无一例外地要求买方支付的期权费高于期权的内在价值。内在价值。 期权的权益与义务的非对称性，使得期权卖出方具有亏损的无限性和期权的权

8、益与义务的非对称性，使得期权卖出方具有亏损的无限性和赢利的有限性特征。赢利的有限性特征。 在协定价钱既定的条件下，时间价值的大小与期权有效期限的长短成正比；时间价值期权费内在价值时间价值期权费内在价值 这种景象被称作这种景象被称作“时间价值衰减时间价值衰减(time value decay)。正是由于这种特点，。正是由于这种特点，期权有时被叫作递耗资产期权有时被叫作递耗资产(wasting assets)。 期权距的时间越长金融资产市场价钱发生变化的能够性越大期权的时间期权距的时间越长金融资产市场价钱发生变化的能够性越大期权的时间价值就越大；反之，当期权越临近到期日时，时间价值就越小。价值就越

9、大；反之，当期权越临近到期日时，时间价值就越小。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权的分类期权的分类1、按照买卖资产的不同分为：看涨期权和看跌期权。、按照买卖资产的不同分为：看涨期权和看跌期权。 2、按照有效期性质规定的不同分为：欧式期权、美式期权与帽式期权。、按照有效期性质规定的不同分为：欧式期权、美式期权与帽式期权。 欧式期权欧式期权European-style只需在到期日当天或在到期日以前某一规定只需在到期日当天或在到期日以前某一规定的时间可以行使权益；的时间可以行使权益； 美式期权美式期权American-style从它一开场购买直到到期日以前任何时辰都从它一开场购买直到

10、到期日以前任何时辰都可以行使权益，美国的期权买卖普通都是美式期权；可以行使权益，美国的期权买卖普通都是美式期权； 帽式期权Cap-style只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权益， 但假设在到期日之前期权价值已到达了规定的上限cap，那么期权被自动执行。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 期权的分类续期权的分类续 3、按照标的资产的性质分：金融期权和实物期权等。、按照标的资产的性质分：金融期权和实物期权等。 4、按照期权施权价与标的资产市场价之间的关系分：实值期权、平值期权、按照期权施权价与标的资产市场价之间的关系分：实值期权、平值期权 和虚值期权。和虚值期权。 5、按照期权施

11、权价的不同有：平均价钱期权亚式期权、回想期权、按照期权施权价的不同有：平均价钱期权亚式期权、回想期权、棘轮期权等等。棘轮期权等等。金融期权：标的资产为金融产品的期权。金融期权：标的资产为金融产品的期权。 如：股票期权、远期期权、期货期权如：股票期权、远期期权、期货期权实物期权：标的资产为实物资产的期权。实物期权：标的资产为实物资产的期权。 如：工程投资、企业并购等等如：工程投资、企业并购等等 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 u 看涨期权和看跌期权平价公式看涨期权和看跌期权平价公式 对于具有一样的标的资产、施权价、到期日的看涨期权和看跌期权之间存在着一种价钱依赖关系 ：(1)tCXrPS

12、该式被称为看涨期权和看跌期权平价公式该式被称为看涨期权和看跌期权平价公式call and put option。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 不论施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为零，那么该组合为无风险组合。不论施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为零，那么该组合为无风险组合。 在市场平衡形状下，不存在无风险套利，于是该组合期初的价值也必然为零，即在市场平衡形状下，不存在无风险套利，于是该组合期初的价值也必然为零，即 ：化简即为看涨期权和看跌期权平价公式。化简即为看涨期权和看跌期权平价公式。 对于具有一样的标的资产、施权价、到期日的看涨期权和看跌期权价钱必需符合平价公式，否

13、那么就会出现无风险套利时机，而在市场上不会也不应该存在这样的时机。(1)0tPSCXr 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 14(1)34040(10.05)2.35tPCXrS存在无风险套利时机：存在无风险套利时机：看涨期权和看跌期权价钱不符合平价公式！看涨期权和看跌期权价钱不符合平价公式！ 出卖一单位看涨期权出卖一单位看涨期权3，购买一单位看跌期权，购买一单位看跌期权-2，买入一单，买入一单位标的资产位标的资产-40，并按，并按5的利率借入现金的利率借入现金39.35。 该组合在到期日的价值恒等于零，即为无风险组合。而此时投资着的现金流为该组合在到期日的价值恒等于零，即为无风险组合。而

14、此时投资着的现金流为0.35。于是投资者这要构造该投资组合，就可以无风险获利。于是投资者这要构造该投资组合，就可以无风险获利0.35元。元。当前的现金流为：当前的现金流为：324039.350.35， 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 金融期权的买卖战略金融期权的买卖战略 l 根本操作战略根本操作战略 p 买入看涨期权买入看涨期权 ()max(,0)TTSSXC 实际上讲，看涨期权买入者的收益可以到达无穷大标的资产价钱趋于无穷大时，而其损失最大为期权费。 购入看涨期权的根本用途为投机获利和资产保值。购入看涨期权的根本用途为投机获利和资产保值。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 例如

15、，投资者在6月1日时预期规范普尔500指数将在未来3个月内上升，于是，他以2000美圆的期权费买进一张9月15日到期、执行价钱为340元的欧式看涨期权，其标的资产是9月份到期的规范普尔500指数期货合约。投机获利投机获利 在到期日那天，假设规范普尔在到期日那天，假设规范普尔500指数升至指数升至350元。期货价钱也升至元。期货价钱也升至350元，元，那么该期权有实值，期权购买者将执行该期权。在执行期权时，该投资者可以那么该期权有实值，期权购买者将执行该期权。在执行期权时，该投资者可以协定价钱协定价钱340元买进一张即将到期的规范普尔指数期货合约，并立刻以市场元买进一张即将到期的规范普尔指数期货

16、合约，并立刻以市场价钱价钱350元将此期货合约卖出。这样，他可获毛利为元将此期货合约卖出。这样，他可获毛利为(350340)5005000美圆，扣除美圆，扣除2000美圆的期权费，他还可获净利美圆的期权费，他还可获净利3000美圆。美圆。 假设到期日规范普尔假设到期日规范普尔500指数升至指数升至340元，此时购买者选择不执行期权，元，此时购买者选择不执行期权，净损失为期权费净损失为期权费2000元。元。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 在买进看涨期权时，盈亏平衡点的价钱是执行价钱加上期权费。如以在买进看涨期权时，盈亏平衡点的价钱是执行价钱加上期权费。如以BP表示盈亏平衡点的价钱表示盈

17、亏平衡点的价钱,那么那么BPX十十C 3402000500344 投机获利续投机获利续 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 比如，某个投资者预期股票价钱将下降，卖空一部分股票以图盈利，但又比如，某个投资者预期股票价钱将下降，卖空一部分股票以图盈利，但又怕万一股票价钱上涨较多呵斥损失过大，就可以购进相应股票的看涨期权，假怕万一股票价钱上涨较多呵斥损失过大，就可以购进相应股票的看涨期权，假设股价上涨，可以执行看涨期权，收进股票以补足卖空的股票。设股价上涨，可以执行看涨期权，收进股票以补足卖空的股票。套期保值套期保值 就投资收益率而言，转让期权的收益率往往比执行期权所获得的收益率更高。就投资收益

18、率而言，转让期权的收益率往往比执行期权所获得的收益率更高。尤其是在期权合约临近到期，而投资者一时又难以筹措履约所需的资金时，转尤其是在期权合约临近到期，而投资者一时又难以筹措履约所需的资金时，转让期权合约不失为让期权合约不失为个可取的战略。个可取的战略。 普通地说，当标的资产的市场价钱上涨时，其看涨期权的期权费亦将上涨。普通地说，当标的资产的市场价钱上涨时，其看涨期权的期权费亦将上涨。因此，在标的资产的市场价钱上涨后，买进看涨期权的投资者既可经过履约而因此，在标的资产的市场价钱上涨后，买进看涨期权的投资者既可经过履约而获利，也可经过转让期权合约而获利。获利，也可经过转让期权合约而获利。 第六章

19、第六章 期权定价实际期权定价实际 p 出卖看涨期权出卖看涨期权 ()max(,0)TTSSXC 假设投资者以为股票价钱要下跌，可以出卖看涨期权来赚取期权费，如下图，最大的盈利为期权费，而亏损那么有能够趋于无穷大。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 如一投资者在某年3月初预期长期国债期货的价钱将有小幅下跌，于是，他卖出一份6月份到期、协定价钱为86的长期国债期货期权合约，收取期权费2000美圆。如今，假定有三种不同的情况： 1到到6月份时，长期国债期货的市场价钱为月份时，长期国债期货的市场价钱为86或更低，那么该看涨期权的或更低，那么该看涨期权的出卖者将获利出卖者将获利2000美圆。这是由

20、于在市场价钱没有上涨或者反而下跌的情况下美圆。这是由于在市场价钱没有上涨或者反而下跌的情况下，看涨期权的购买考将放弃他所拥有的权益；，看涨期权的购买考将放弃他所拥有的权益； 2到到6月份时，长期国债期货的市场价钱上涨为月份时，长期国债期货的市场价钱上涨为87，看涨期权的购买者要，看涨期权的购买者要求履约，那么看涨期权的出卖者将获利求履约，那么看涨期权的出卖者将获利1000美圆美圆2000(8786) 1000； 3在期权合约到期日前，长期国债期货的市场价钱出现较大幅度的上升，在期权合约到期日前，长期国债期货的市场价钱出现较大幅度的上升，如升至如升至93，而与此同时，该看涨期权的期权费涨至，而与

21、此同时，该看涨期权的期权费涨至6000美圆，那么该投资者应以美圆，那么该投资者应以6000美圆的期权费买进一张同样的期权合约。美圆的期权费买进一张同样的期权合约。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 这样做，他虽仍难免损失4，000美圆，但至少可挽回一部分损失。 即，卖出看涨期权的这种无限损失的能够性通常只是一种纯实际的结果而在 现实中它极少转化为现实性。 在图中，在图中，B点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价钱点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价钱(BP)也是执行价钱与期权费之和也是执行价钱与期权费之和 更重要的是，假设市场价钱还将继续上涨，那么这样做后可防止进一步的损失。更重要的是，假设市场价钱还

22、将继续上涨，那么这样做后可防止进一步的损失。 因此，虽然从实际上说卖出看涨期权将有无限损失的能够性，但是，因此，虽然从实际上说卖出看涨期权将有无限损失的能够性，但是，这种能够性毕竟极小，而且投资者现实上也完全可以采取各种防御措施，这种能够性毕竟极小，而且投资者现实上也完全可以采取各种防御措施，以限制其损失的进一步扩展。以限制其损失的进一步扩展。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 在图中，在图中，B点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价钱点为盈亏平衡点，盈亏平衡点的价钱(BP)也是执行价钱与期权费之和也是执行价钱与期权费之和 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 买入看跌期权买入看跌期权 (

23、)max(,0)TTSXSP 假设投资者预期股票价钱要下跌，可以购进相应股票的看跌期权，当股票价钱真的下跌时，便可以执行该看跌期权，在市场上以低价买进股票，然后按较高的施权价卖出，赚取价差利润。 值得留意的是，其损失最大为期权费。当然值得留意的是，其损失最大为期权费。当然，投资者也可以直接经过卖空该种股票来赚取利，投资者也可以直接经过卖空该种股票来赚取利润，这样收益将与损失成正比。对比运用期权润，这样收益将与损失成正比。对比运用期权战略，收益能够更高，但是风险也会更大。战略，收益能够更高，但是风险也会更大。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 例：某投资者在例：某投资者在1月份时预期德国马

24、克对美圆的汇率将下跌，所以，月份时预期德国马克对美圆的汇率将下跌，所以，他买进一张他买进一张3月份到期的欧洲式德国马克期权合约、协定汇率为月份到期的欧洲式德国马克期权合约、协定汇率为0.5300，期权价钱为期权价钱为0.0200。这样，投资者有如下四种能够的盈亏情况：。这样，投资者有如下四种能够的盈亏情况： 1在到期日，市场汇率为在到期日，市场汇率为0.5300或更高，那么该投资者将放弃期权或更高，那么该投资者将放弃期权，而损失期权费，而损失期权费1250美圆美圆(0.020062500)。 2在到期日那天，市场汇率跌至在到期日那天，市场汇率跌至0.5100，投资者履约，获利，投资者履约，获利

25、1250美圆美圆,正好抵补他所支付的期权费，从而既无盈利，也无亏损。正好抵补他所支付的期权费，从而既无盈利，也无亏损。 3在到期日那天，市场汇率跌至在到期日那天，市场汇率跌至0.4800，投资者履约，获毛利，投资者履约，获毛利3125美圆，美圆，扣除期权费扣除期权费1250美圆，可获净利美圆，可获净利1875美圆。美圆。 4在到期日那天，汇率跌为在到期日那天，汇率跌为0.0000，投资者履约，获毛利，投资者履约，获毛利33，125美圆，美圆，扣除他所支付的期权费，可获净利扣除他所支付的期权费，可获净利3l，875美圆。美圆。第四种情况为一极端的情况，在现实中根本不能够发生。第四种情况为一极端的

26、情况，在现实中根本不能够发生。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 对看跌期权的购买者而言，其潜在的利润也是有限的，其限制即为协定价钱对看跌期权的购买者而言，其潜在的利润也是有限的，其限制即为协定价钱与期权费的差额。与期权费的差额。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 出卖看跌期权出卖看跌期权 ()max(,0)TTSXSP 假设投资者以为股票价钱要上涨，可以出卖看跌期权来赚取期权费，如下图，最大的盈利为期权费，而最大亏损那么为期权费与执行价钱的差额。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 假设某投资者预期未来3个月内股市将比较平稳或略有上涨，所以，他卖出一份NYSE综合股价指数

27、期货合约的看跌期权。假设该投资者所卖出的是一平价期权，协定价钱为150，收取期权费2000美圆，并向经纪人交纳保证金4000美圆。在到期时，假设市场价钱为150或更高，那么期权购买者不会履约。 于是，该投资者将获利于是，该投资者将获利2000美圆，其收益率为美圆，其收益率为50(20004000l00)。 假设到期时的市场价钱低于假设到期时的市场价钱低于150，那么期权购买者将要求履约，该投资者，那么期权购买者将要求履约，该投资者的收益将被损失所冲减。的收益将被损失所冲减。 假设市场价钱低于假设市场价钱低于146(盈亏平衡点价钱盈亏平衡点价钱)，那么投资者将发生净损失。价，那么投资者将发生净损

28、失。价钱越低，损失越大。钱越低，损失越大。 假设市场价钱降为零，那么投资者将发生最大损失73000美圆(500美圆150一2，000美圆)。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 如下图的是以上例阐明的卖出看跌期权的盈亏情况。在图中，B为盈亏平衡点，与此点对应的价钱是146(150一2，000500)。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 可以用下表来概括金融期权买卖的根本战略的损益情况：可以用下表来概括金融期权买卖的根本战略的损益情况： 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 组合操作战略组合操作战略 p n 个期权的组合技巧个期权的组合技巧 n 个看涨期权情况个看涨期权情况 同时

29、以价钱C购买n个，执行日为T ，执行价为X ,到期日的资产价钱为ST 的看涨期权，那么其盈利情况如下图。1 盈亏平衡点与买入看涨期权的数量无关；盈亏平衡点与买入看涨期权的数量无关； 2n 个看涨期权时的利润函数线斜率为个看涨期权时的利润函数线斜率为 n ； 3 与买入单个看涨期权相比，组合投资具有与买入单个看涨期权相比，组合投资具有较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的 n 倍倍 。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 n 个看跌期权情况个看跌期权情况 同时以价钱P购买n个，执行日为T ，执行价为X ,到期日的资产价钱为ST 的看涨期权，那么其盈利

30、情况如下图。1 盈亏平衡点与买入看跌期权的数量无关；盈亏平衡点与买入看跌期权的数量无关； 2n 个看跌期权时的利润函数线斜率为个看跌期权时的利润函数线斜率为 n ； 3 与买入单个看跌期权相比，组合投资具有与买入单个看跌期权相比，组合投资具有较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的较多的获利，较多的损失，且均为单个期权的 n 倍倍 。 该组合可以有效的维护投资者不因股票价钱大幅下跌而蒙受艰苦的损失。该组合可以有效的维护投资者不因股票价钱大幅下跌而蒙受艰苦的损失。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l股票与期权的组合技巧股票与期权的组合技巧 p买入股票同时买入看跌期权买入股票同时买入看跌期

31、权protective put 买入或曾经拥有一支股票的同时买入一个以该股票为标的资产，施权价为X的看跌期权，以保证这一组合的价值不低于X-P-S0。该组合的收益函数为： 0()max(,0)TTTSSSXSP00()()TTTSSPSXXSPSX 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 买入股票同时出卖看涨期权买入股票同时出卖看涨期权covered call 当股票价钱升至X时，股票会随着期权的执行而售出。虽然这样会丧失股票价钱进一步上涨的利润，但是投资者毕竟得到了期权费做补偿，并确保股票按照预先设定的价钱售出。 采用这样战略的缘由能够为：投资者预备按照施权价X出卖手中的股票，假好像时出

32、卖以该股票为标的资产的看涨期权，投资者可以得到一笔期权费。0()max(,0)TTTSSSCSX00()()TTTXSCSXSSCSX 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 对敲期权买卖战略对敲期权买卖战略 p 同价对敲同价对敲 ( straddles ) 多头同价对敲 ( long straddles )：同时购入标的资产、施权价、到期日完全一样的看涨期权和看跌期权的买卖战略。到期日的资产价钱假设为到期日的资产价钱假设为ST , 那么该买卖头寸的相应利润函数为：那么该买卖头寸的相应利润函数为：()max(,0)max(,0)TTTSSXCXSP 作用：两头受害；套利者估计资产价在到期日

33、会大幅度偏离执行价，作用：两头受害；套利者估计资产价在到期日会大幅度偏离执行价，但确定不了是大幅上升还是大幅下降的趋势。但确定不了是大幅上升还是大幅下降的趋势。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 空头同价对敲 (short straddles )：同时出卖标的资产、施权价、到期日完全一样的看涨期权和看跌期权的买卖战略。 到期日的资产价钱假设为到期日的资产价钱假设为ST , 那么该买卖头寸的相应利润函数为：那么该买卖头寸的相应利润函数为： 作用：中间受害；套利者估计资产价在到期日不会大幅度偏离执行价，但确定不了是小幅上升还是小幅下降的趋势。()max(,0)max(,0)TTTSCSXPX

34、S 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 异价对敲异价对敲 (strangles) ()max(,0)max(,0)TTcpTSSXCXSP 作用：类似多头同价对敲，两头受害；套利者估计资产价在到期日会大幅度偏离执行价，但确定不了是大幅上升还是大幅下降的趋势； 此时由于Xp较小，看跌价p也较小，需求的投资金为c + p , 较同价对敲的投资金低。不过在较宽的区域内无法盈利。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 ()max(,0)max(,0)TTcpTSCSXPXS 作用：类似空头同价对敲，中间受害；套利者估计资产价在到期日不会大幅度偏离执行价，但确定不了是小幅上升还是小幅下降趋势；

35、 由于Xp 较小，看跌价p也较小，需求的投资金为 c + p , 较同价对敲的投资金低。不过在较窄的区域内盈利。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 价差期权买卖战略价差期权买卖战略 spreads strategies 称到期日一样但执行价不同的期权为一个垂直系列期权；称执行价一样但到期日不同的期权为一个程度系列期权； 在期权买卖行情表上，各类不同到期日的期权均以横向陈列，各种不同执行价的期权均以纵向陈列；p 垂直价差期权买卖战略垂直价差期权买卖战略 ( price spread ) 同时购入一个期权和卖出一个一样类型的期权，到期日同时购入一个期权和卖出一个一样类型的期权，到期日T一

36、样，但执行价一样，但执行价X不一样。不一样。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 按照期权类型和执行价钱的不同，可以将垂直价差期权细分为：按照期权类型和执行价钱的不同，可以将垂直价差期权细分为： 方法：购入一个低价位看涨期权，同时再卖出一个高价位看涨期方法：购入一个低价位看涨期权，同时再卖出一个高价位看涨期权权 ，它们的执行价分别为，它们的执行价分别为 Xl 和和 Xh ，其中，其中 Xl ch(1 ) 牛市看涨价差牛市看涨价差 ( bull call spread ) hlccTSlclXhchlhlXXcchX 作用：投资者估计资产价在到期日会上升作用：投资者估计资产价在到期日会上升,

37、但又怕能够因下但又怕能够因下降而亏损过大时，降而亏损过大时， 可用此投资战略。可用此投资战略。lclonghcshort 方法：购入一个低价位看跌期权，同时再卖出一个高价位看跌期方法：购入一个低价位看跌期权，同时再卖出一个高价位看跌期权权 ，它们的执行价分别为，它们的执行价分别为 Xl 和和 Xh ，其中，其中 Xl Xh ; 它们的价它们的价格分别为格分别为 pl 和和 ph ，到期日，到期日 T 均一样均一样 .到期日的资产价钱假设为到期日的资产价钱假设为 ST , 那么该买卖头寸的相应利润函数为：那么该买卖头寸的相应利润函数为：()max(,0)max(,0)TlTlhhTSXSppXS

38、一个盈亏平衡点：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大亏损值：;lhhlppXX最大盈余值：最大盈余值：hlpp() ;hhlXpphllhTlThlhlThhlThppXXSXSppXXSXppSX当当当应有：应有： pl Xl ; 它们的价钱它们的价钱分分别为别为 cl 和和 ch ，到期日，到期日 T 均一样均一样 .到期日的资产价钱假设为到期日的资产价钱假设为 ST , 那么该买卖头寸的相应利润函数为：那么该买卖头寸的相应利润函数为：()max(,0)max(,0)TThhlTlSSXccSX一个盈亏平衡点：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大亏损值：();hlhlccXX最大盈余值：最大盈余值

39、：()lhcc() ;lhlXcc(),()(),lhTlTlhllThlhlhThccSXSccXXSXccXXSX 当当当应有：应有： cl ch(3 ) 熊市看涨价差熊市看涨价差 ( bear call spread ) ()lhccTShclXlc()lhlhXXcchX 作用：投资者估计资产价在到期日会下跌作用：投资者估计资产价在到期日会下跌,但又怕能够因上升而亏但又怕能够因上升而亏 损过大时，损过大时， 可用此投资战略。可用此投资战略。hclonglcshort( 4 ) 熊市看跌价差熊市看跌价差 ( bear put spread ) 方法：购入一个高价位看跌期权，同时再卖出一个

40、低价位看跌期方法：购入一个高价位看跌期权，同时再卖出一个低价位看跌期权权 ，它们的执行价分别为，它们的执行价分别为 Xh 和和 Xl ，其中，其中 Xh Xl ; 它们的价钱它们的价钱分分别为别为 pl 和和 ph ，到期日，到期日 T 均一样均一样 .到期日的资产价钱假设为到期日的资产价钱假设为 ST , 那么该买卖头寸的相应利润函数为：那么该买卖头寸的相应利润函数为：()max(,0)max(,0)ThThllTSXSppXS一个盈亏平衡点：一个盈亏平衡点：最大亏损值：最大亏损值：();lhhlppXX最大盈余值：最大盈余值：hlpp() ;hhlXpp(),(),lhhlTlTlhhlT

41、hlhThppXXSXSppXXSXppSX 当当当应有：应有： pl ph()hlppTSlplXhp()hlhlXXpphX 作用：投资者估计资产价在到期日会下跌作用：投资者估计资产价在到期日会下跌,但又怕能够因上升而亏但又怕能够因上升而亏 损过大时，损过大时， 可用此投资战略。可用此投资战略。hplonglpshort同时购入和卖出一样类型的期权，执行价同时购入和卖出一样类型的期权，执行价X一样，但到期日一样，但到期日T不一样不一样 .p 程度差期权买卖战略程度差期权买卖战略 ( calendar spread , time spread )p 期权价值影响要素的定性分析 第六章第六章

42、期权定价实际期权定价实际 延续型期权定价模型延续型期权定价模型l 期权价值的初步分析期权价值的初步分析 影响期权以股票期权为例价值的要素主要有以下几个：影响期权以股票期权为例价值的要素主要有以下几个： 1、股票价钱S 2、执行价钱X期权的价值随着股票价值的动摇变化范围的增大而升高。期权的价值随着股票价值的动摇变化范围的增大而升高。 股票的市场价钱越高，看涨期权的价值越高，看跌期权的价值低。股票的市场价钱越高，看涨期权的价值越高，看跌期权的价值低。执行价钱越高看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高。执行价钱越高看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 4、

43、与到期日的时间间隔、与到期日的时间间隔T-t 间隔期权到期日的时间越长，期权的价值越高。间隔期权到期日的时间越长，期权的价值越高。 5、利率的大小、利率的大小r 利率越高，看涨期权价值越高；利率越高，看跌期权价值越低。利率越高，看涨期权价值越高；利率越高，看跌期权价值越低。6、现金股利、现金股利D 标的股票的价钱因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值标的股票的价钱因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值上升。下降，卖出期权的价值上升。 注：股票期权的价值不遭到标的股票分割拆股和股票股利的影响。注：股票期权的价值不遭到标的股票分割拆股和股票股利的影响。 第六章第六章 期

44、权定价实际期权定价实际 2、看跌期权的价值变动范围、看跌期权的价值变动范围max0,XSPX与此同时，股票价钱必需大于零，故看跌期权的上限为施权价与此同时，股票价钱必需大于零，故看跌期权的上限为施权价X。 1、看涨期权的价值变动范围、看涨期权的价值变动范围max0,SXCS另一方面，施权价必需大于零，故看涨期权的上限为股票的市价另一方面，施权价必需大于零，故看涨期权的上限为股票的市价S。 p 股票期权价值的变动范围股票期权价值的变动范围 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l 随机微积分初步随机微积分初步p 维纳过程维纳过程 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 维纳过程有如下根本的性质

45、： 显然显然 ()()( )0tttEwEttE2()()()( )tttDwDttDt 于是于是 从而从而 1,(0,1)tttttwwwtiidN011NNTTtittwwwwt11()()()0NNTttttEwEttE211()()()()NNTttttDwDttDt NT 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 ttdwdtcov(,0tsdw dw）(0,)()0()tttdwNdtE dwD dwdt 在金融数学分析中经常用到的是以下的普通的维纳过程在金融数学分析中经常用到的是以下的普通的维纳过程(Generalized Wiener process)：( , )( , )dxa

46、 x t dtb x t dw 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 伊藤引理伊藤引理Itos Lemma 日本数学家伊藤于日本数学家伊藤于1951年发现了伊藤引理：年发现了伊藤引理： 22222221122GGGGGGxtxx ttxtxx tt 由于由于xa tbt 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 22()xbtot 322()x ta tbtot 222200lim()lim()0ttD btbtD 所以所以222btbt 两边平方得两边平方得222222xata tbtbt 于是于是而而 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 22222221122GGGGGGxtxx

47、ttxtxx tt 整理可得整理可得2221()2GGGGGtatbtbtottxxx 2221()2GGGGdGabdtbdwtxxx2221=()()()2GGGa tbttbtototxtx 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 2221 ( )( )( )2dVd VdVdVa SbSdtb S dwdSdSdS21 ( )( )( )( )( )( )2a S V SbS VS dtb S V S dw21 ( )( )( )( )( )( )2dVa S V SbSVS dtb S V S dw 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 21 ( )( )( )( )( )( )2

48、dVa S V SbSVS dtb S V S dw2221111()2uSSdtSdwSSS21()2udtdw 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 l Black-Scholes期权定价模型期权定价模型 p 根本假设条件根本假设条件 Black和Scholes思索的是无现金股利的股票的欧式看涨期权的定价模型，且模型是基于如下根本假设之上： 1无风险利率无风险利率 r 是一个常数；是一个常数； 2没有买卖本钱和税收，买卖是延续进展的，股票可以分成恣意小的部分，股票不支付股利； 3期权为欧式期权；期权为欧式期权； 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 4市场对卖空没有任何限制；市场对卖空

49、没有任何限制； 5投资者可以自在借贷资金，且两者的利率相等，均为无风险利率；投资者可以自在借贷资金，且两者的利率相等，均为无风险利率；6市场上不存在无风险套利时机；市场上不存在无风险套利时机；7标的股票价钱标的股票价钱S的变化服从几何布朗运动的变化服从几何布朗运动:dSuSdtSdw 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p Black-Scholes微分方程微分方程 假设标的股票价钱变动满足如下的几何布朗运动：假设标的股票价钱变动满足如下的几何布朗运动：dSuSdtSdw相应的离散方式，可以近似表示为：相应的离散方式，可以近似表示为： SuS tS w 22221()2VVVVdVuSSd

50、tSdwtSSS相应的离散方式，可以近似表示为：相应的离散方式，可以近似表示为：22221()2VVVVVuSStSwtSSS 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 思索一个由1单位期权多头和份标的股票的空头构成的投资组合，并经过选择适当的值，使得该组合在t,t+t时间段内的报答率是无风险的,这样的投资组合构成方式称为对冲。 显然在显然在t时辰，该投资组合的收益可以表示为：时辰，该投资组合的收益可以表示为：VS 于是，在于是，在t,t+t时间段内，该投资组合的收益为：时间段内，该投资组合的收益为：()VS 22221()()2VVVVuSStSwuS tS wtSSS 22221()()()

51、2VVVVtuStStSwtSSS 22221()()2VVVSSttS 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 22221()2ttVVrtSttS 22221()()2VVVVSrtStStS 整理即可得整理即可得 222212VVVrSSrVtSS 该式即为著名的该式即为著名的B-S微分方程。微分方程。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 BS微分方程的意义在于：微分方程的意义在于： 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p Black-Scholes期权定价公式 1、Black-Scholes欧式看涨期权定价公式欧式看涨期权定价公式222212CCCrSSrCtSS(0, )0C

52、t ( , )C S tS （ ）另外，在到期日，期权的价值应满足另外，在到期日，期权的价值应满足(, )max(,0)TTV S TSX 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 综合起来，欧式看涨期权定价即为如下带边境条件的微分方程组的解：综合起来，欧式看涨期权定价即为如下带边境条件的微分方程组的解：222212(, )max(,0)(0, )0( , )TTCCCrSSrCtSSf STSXCtC S tS （ ） 该方程组即为物理学中的热传导方程。该方程组即为物理学中的热传导方程。 求解方程组过程略，可以得到著名的求解方程组过程略，可以得到著名的Black-Scholes欧式看涨期权定价

53、公式欧式看涨期权定价公式:()12( , )()()r T tC S tSN dXeN d11()( )dN df x dx2121ln()(2),tSXrdddTtTt 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 2、Black-Scholes欧式看跌期权定价公式欧式看跌期权定价公式 运用看涨期权和看跌期权的平价公式，得到运用看涨期权和看跌期权的平价公式，得到()( , )( , )r T tP S tC S tXeS()21( , )()()r T tP S tXeNdSNd即即222212(, )max(,0)(0, )( , )0TTPPPrSSrPtSSf STXSPtXP S tS（

54、） 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 21ln()(2)()0.65tSXrTtdTt210.4262ddTt 进而得到期权的价钱为进而得到期权的价钱为()12( , )()()7.62r T tC S tSN dXeN d 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 3股票期权价值影响要素的定量分析股票期权价值影响要素的定量分析1股票当前价钱的影响：股票当前价钱的影响： 因此，在其它条件不变的情况下，股价越高，看涨期权价钱越高，看跌期权因此，在其它条件不变的情况下，股价越高，看涨期权价钱越高，看跌期权价钱越低。价钱越低。 2施权价的影响：施权价的影响： 因此，在其它条件不变的情况下，施权价

55、越高，看涨期权价钱越低，看跌期权因此，在其它条件不变的情况下，施权价越高，看涨期权价钱越低，看跌期权价钱越高。价钱越高。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 对于欧式看涨期权而言，价钱会随着到期日的临近而下降，但是对于欧式看跌期权而言，并不存在确定的关系。因此，在其它条件不变的情况下，股票价钱的动摇率越高，期权的价值越高。因此，在其它条件不变的情况下，股票价钱的动摇率越高，期权的价值越高。21()0r T tPXeTtN dr 因此，在其它条件不变的情况下，利率越高，看涨期权价钱越高，看跌期权因此，在其它条件不变的情况下，利率越高，看涨期权价钱越高，看跌期权价钱越低。价钱越低。()121(

56、)1()2r T tSN dPrXeN dtT符号不定！符号不定！ ()12()()02r T tSN dCrXeN dtTt 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 综合前述的定性分析与定量分析，欧式期权各要素对其价值的影响，可用下表来概括。综合前述的定性分析与定量分析，欧式期权各要素对其价值的影响，可用下表来概括。 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 离散型期权定价模型离散型期权定价模型 Black-Scholes期权定价模型给出了欧式期权的准确解，但是对于美式期权而言，BS定价模型演化为一个“自在边境问题，很难得到期权价值的解析解。 人们通常假定期权标的资产运动过程为离散的方式，进而

57、用数值解法来得到期权的价值。在众多的离散型期权定价模型中二叉树期权定价模型又是运用的最为广泛的。 l 二叉树期权定价模型 p 单期二叉树期权定价公式单期二叉树期权定价公式 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 假设标的股票和期权的价钱变化过程如下图：假设标的股票和期权的价钱变化过程如下图： 利用对冲技巧，给出期权的定价。思索一个由1单位期权多头和份标的股票的空头构成的投资组合，并经过选择适当的值，使得该组合t,t+t时间段内的报答率是无风险的。在期初投资组合的价值为在期初投资组合的价值为 000CS 由于投资组合是无风险的，因此在不思索复利的情形下，该期末投资组合的价值应为：由于投资组合是无

58、风险的，因此在不思索复利的情形下，该期末投资组合的价值应为：0(1) r TTTCS 又由于该投资组合是无风险的，因此在期末应有：又由于该投资组合是无风险的，因此在期末应有： 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 另外另外 0()TTudCCud S 00TTTTuuddudTTTCSCSCuSCdS 0000() (1)TTudCuSCdSCSr整理得到整理得到00(1)(1)TuSruCCr从而从而 01(1)(1)(1)TTudrdurCCCrudud该式即为单期的二叉树期权价值的计算公式。该式即为单期的二叉树期权价值的计算公式。于是于是 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 定义一

59、个新的概率测度定义一个新的概率测度probability measureQ，(1)uuTTrdppprob SSud(1)ddTTurpprob SSud由于由于dru，易见，易见0,1,1dudupppp于是于是 01(1)(1)TTudCC pCpr或者或者 在整个模型的构建过程中，风险资产的报答率与无风险证券率一样都等于无风险利率，因此把具有这个性质的金融市场称为风险中性世界risk-neutral world。 在这个世界里，一切投资者对风险不要求补偿，一切证券的预期收益率都是无风险利率。相应的把上述定义的概率测度Q称为风险中性测度，在风险中性测度意义下给出的期权定价称为风险中性价钱。 01()(1)QTCECr 第六章第六章 期权定价实际期权定价实际 p 多期二叉树期权定价公式多期二