第三章基于数学模型的控制系统故障诊断

1、基于数学模型故障诊断的基本思想基本思想是，设计系统的检测滤波器，然后根据滤波器的输出与真实系统的输出比较，产生残差产生残差，再对其残差进行分析、处理，以实现系统的故障诊断。 基本原理控制系统及其检测滤波器如下图所示。检测滤波器包括一个正常工作条件下的系统动态模型，模型的输入和真实系统的输入相同。系统传感器输出与模型输出之间的差值信号经增益矩阵D反馈到模型输入。图 控制系统及其检测滤波器上图中所示的系统可表示为：)()()(tButAxtx)()(tCxty故障滤波器的方程为：)( )()()( )( tytyDtButxAtx)( )( txCty定义：状态误差（即残差）)( )()(txtx

2、te测量误差（即输出残差）)( )()(tytyt则状态误差方程)( )()(txtxte)( )()()( )()(tytyDtButxAtButAx)()(teDCA输出误差方程)()( )()(tCetytyt下面分别考虑执行器故障、传感器故障和对象参数变化的诊断问题。1、执行器故障假设第j个执行器发生故障，则故障数学模型可表示为)()()(tnetuturjd式中，ud(t)为正常状态下，期望的控制输入；n(t)为任意的标量时间函数；erj为在第j个坐标方向上的单位r维矢量，即0.010.0rje第j个元素此时状态方程为)()()(tButAxtx)()()(tnetuBtAxrjd)

3、()()(tnbtButAxjd式中，bj为矩阵B的第j列矢量，可称为事件矢量。状态误差方程和输出误差方程分别为)()()()(tnbteDCAtej)()(tCet )( )()()( )( tytyDtButxAtxd)( )()(txtxte)( )()(tytyt2、传感器故障假设第j个传感器发生故障，则故障数学模型可表示为)()()(tnetCxtymj式中， n(t)为任意的标量时间函数； emj为在第j个坐标方向上的单位m1维矢量，对应第j个传感器故障0.010.0mje第j个元素此时，状态误差方程为输出误差方程为)( )()(txtxte)( )()()( )()(tytyDt

4、ButxAtButAx)()()(tnDeteDCAmj)()()(tndteDCAj式中， dj为矩阵D的第j列矢量。)( )()()( )()(txCtnetCxtytytmj)()(tnetCemj)()()(tnetCxtymj3、对象参数的变化假设系统特性A、B发生变化A、 B，则系统动态方程为)()()()()(tuBBtxAAtx则状态误差方程为)()()()()( )()(tuBBtxAAtxtxte)( )()()( tytyDtButxA)()()()(tButAxteDCA输出误差方程为)()( )()(tCetytyt对于对象参数的变化，考虑一种简单的特殊情况，设矩阵A

5、中某元素aij发生变化aij，则nijijetxatButAxtx)()()()(式中， eni = 0 0 1 0 0T此时状态误差方程为输出误差方程为)()( )()(tCetytytnijijetxatButAxtxtxte)()()()( )()()( )()()( tytyDtButxAnijijetxateDCA)()()(一类称为输入型故障模型输入型故障模型，包括执行器故障与对象参数变化，它们的状态误差方程和输出误差方程可写为：)()()()(tfnteDCAte)()(tCet 式中， f为事件矢量（或故障矢量）。对于上述讨论的三种情况：执行器故障、传感器故障和对象参数的变化，

6、它们的状态误差方程和输出误差方程可以划分为两类。输入型故障模型的解为ttDCAtDCAdfneeete0)()()()0()(ttDCAtDCAdfneeCet0)()()()0()(式中，第一项为瞬态解，第二项为稳态解。若系统稳定，则稳态解为ttDCAtsdfnCete0)()(lim)(ttDCAtdfnCet0)()(lim)(故障检测滤波器的设计，通过选择增益矩阵D，使稳态输出误差矢量方向保持与Cf的方向一致。这里需要指出，由于故障滤波器的设计限制，输出误差应具有方向性，某个部件的故障对应一定方向的输出误差。另一类称为输出型故障模型输出型故障模型，即传感器故障模型，其状态误差方程和输出

7、误差方程为：)()()()(tndteDCAtej)()()(tnetCetmj输出型故障模型的解为tjtDCAtDCAdndeeete0)()()()0()()()()0()(0)()(tnedndCeeCetmjtjtDCAtDCA其稳态状态误差和稳态输出误差分别为tjtDCAtsdndete0)()(lim)(tmjjtDCAttnedndCet0)()()(lim)(传感器故障的稳态输出误差方向处在由（Cdj, emj）所构成的二维平面上，而不是某个固定的方向。从前面的讨论，对执行器故障、传感器故障、对象参数变化等可归为两类：输入型故障和输出型故障。它们的输出误差方程都是类似的。假如出

8、现的故障是阶跃故障，那么输出误差的变化曲线就如下图所示。从输出误差曲线的变化，就可以检测到故障是否发生，通过对曲线的分析，还可以知道故障发生的时间、故障的类型以及故障的位置。图 输出误差的变化曲线 t0-故障时间 检测滤波器的设计采用故障矢量f分析状态误差方程，无论是输入型故障或输出型故障，都具有相同的形式。)()()()(tfnteDCAte式中，f = bj （执行器故障）； f = -dj （传感器故障）； f = eni （对象参数变化aij）。故障矢量的维数为n1。（1）故障的可检测性可由滤波器增益矩阵D满足以下两个条件来保证：（1）Ces（t）在输出空间保持固定方向；（2）（A -

9、DC）的所有特征值能够任意配置。当配置（ADC）的所有特征值都处于s平面的左半平面内时，式（1）表示的系统是稳定的，当时间t趋向无穷大时，式（1）的初始条件瞬态解将趋向于零。（ADC）的配置应使误差达到稳态值的时间和动态过程得到控制。若f是可检测的，则可通过检查输出误差的方向来确定发生故障的部件。 )()()()(tfnteDCAte（1）统一形式的状态误差方程下面仅讨论完全可观测系统的故障滤波器设计。完全可观测系统是指在任意时间t，系统状态矢量x(t)可由测量矢量y(t)唯一地确定。)()(tCxty由于式中，。nmmnRCRtyRtx;)(;)(11当给定y(t)时，使x(t)有唯一解的充

10、要条件是rankC=n。为满足可检测条件（2）(（A -DC）的所有特征值能够任意配置）的所有特征值能够任意配置)，选择 。IDCA)(式中， 为正的标量常值，I为单位矩阵。设m代表系统的传感器数目，或矩阵C的行数。若m=n，则C为nn的方阵。若rankC=n，则C1存在，D的唯一解为1)(CIAD若mn，且rankC=n，则D的解为TTCCCIAD1)(（1）对于执行器故障对于执行器故障，f=bj，式（1）的解为ttjtttdnbeteete00)()()()(0)(tttjttdnebtee00)()()(0)(由于 0，所以初始条件e(t0)引起的瞬态解渐趋近于零，所以 tttjsdne

11、bte0)()()(式中， 是标量时间函数。因此，当时间t足够大时，e(t)保持在状态空间的固定方向称为bj方向，这说明状态误差信号保持在状态空间某个固定方向（对某个固定方向（对应应bj），表示是第j个执行器故障。tttdne0)()(严格来说，由于状态变量x(t)不能直接获取，所以e(t)也不是直接可取信号。而输出误差信号 ，没有必要求解于x(t)，可以直接获取。从这个意义上说，应采用(t)来检测故障。)( )()(tytyttttjttdneCbteCetCet00)()()()()(0)(tttjsdneCbt0)()()(所以，s(t)在m维的输出空间中保持一个固定方向Cbj。当输出误

12、差信号保持在某个固定方向（对应某个固定方向（对应Cbj），表示是第j个执行器故障。（2）对于传感器故障对于传感器故障，f=-dj，式（1）的解为tttjttdnedteete00)()()()(0)(稳态时的状态误差为tttjsdnedte0)()()(同样，状态误差信号e(t)不能直接获取，宜采用输出误差信号(t)来检测故障。)()()()(00)(0)(tnedneCdteCetmjtttjtt)()()(0)(tnedneCdtmjtttjs所以，输出误差s(t)处于输出空间中，由两个m维矢量Cdj和emj构成的平面内。即，若输出误差s(t)处于Cdj和emj构成的平面内，说明系统的第j

13、个传感器发生故障。tttdne0)()(式中， 和n(t)都是标量。 卡尔曼滤波器及其在故障诊断中的应用1、卡尔曼滤波器的由来卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。 卡尔曼滤波器是一个“optimal recursi

14、ve data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。 它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合，故障诊断以及军事方面的雷达系统、导弹追踪等。 它以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。 2、引子在介绍卡尔曼滤波器基本算法之前，通过一个简单的例子来了解它的基本思想。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度

15、（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确，测量值与实际值有偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 现在对于某一分钟我们有两个关于该房间的温度值：一个是根据经验的预测值预测值（系统的预测值系统的预测值）；另一个是温度计的值温度计的值（测量值测量值）。下面我们要用这两个值结合它们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 首先

16、要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为我们认为温度是恒定的，所以k时刻的温度预测值跟k-1时刻是一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，自己预测值的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，从温度计那里得到k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差（covariance）来判断。因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我

17、们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的协方差比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。 在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻最优值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差递归，从而估算出最优的温度值。它运行的速

18、度很快，而且只保留了上一时刻的协方差。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。它可以随不同的时刻而改变它自己的值。3、卡尔曼滤波器算法 引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k) 系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，它们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分

19、别表示过程和测量的噪声。它们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，它们的方差 分别是Q，R（这里我们假设它们不随系统状态变化而变化）。 下面我们基于系统模型结合它们的协方差来估算系统的最优化输出（类似上面估计温度的例子）。 首先利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，由上一状态而预测出现在的状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)上式中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，系统

20、的结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的方差还没更新。我们用P表示方差：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)上式中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的方差，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统系统的预测预测。 由式（1），（2）已经得到现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态k的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其

21、中Kg为卡尔曼增益卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到现在为止，由式（3），（4）已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要使卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的方差：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I 为1的矩阵（单位矩阵），对于单模型测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。 以上式（1）（5）即为卡尔曼滤波器的5个基本公式，即基本算法原理

22、。 图 卡尔曼滤波的两个计算回路和两个更新过程 为了更好地在计算机中实现，我们由如下框图的形式表示出卡尔曼滤波器的基本算法。以前面预测房间温度为例，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：应用举例：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6)式子（2）可以改成：因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) (10)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg

23、(k) (Z(k)-X(k|k-1) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，模拟20个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声。 设：卡尔曼两个零时刻的初始值，X(0|0)=1和P(0|0)=10。结果如下图所示。 0246810121416182024.424.624.82525.225.425.625.8MinutesTemperature测量值实际温度值温度估计值基本的卡尔曼滤波算法只能应用于线性系统，对于在工程领域中占大多数的非线性系统，则需要引入扩展卡尔

24、曼滤波算法（EKF）。 4、扩展卡尔曼滤波器 为了实现非线性系统的卡尔曼滤波，必须作如下基本假设：非线性微分方程的理论解一定存在，理论解与实际解之间的差能够用一个线性微分方程表示，此时理论解能够充分地对系统的实际特性给予描述。以上假设在一般的工程实践中是能够基本满足的，即满足局部线性假设条件。 )(),()()1(),1(),1()(kvkxgkykwkukxfkx)(f)(g （a）和分别表示状态变换和测量输出的线性或非线性变考虑如下形式的一般非线性系统的离散状态方程和观测方程为： 换函数，其他各个变量定义同基本卡尔曼滤波线性时变系统中定义相同。 0)1()1| 1( )1() 1()1()

25、,1(),1() 1,(kwkkxkxkxkukwkxfkk0)1()1| 1( )1() 1()1(),1(),1() 1,(kwkkxkxkwkukwkxfkk0)()1|( )()()(),()(kvkkxkxkxkvkxgkG0)()1|( )()()(),()(kvkkxkxkvkvkxgkD（i）（ii） （iii） （iv）首先需要进行线性化的Jacobian变换矩阵：)0|0()0|0( xEx)0|0( )0|0()0|0( )0|0()0|0(TxxxxEP设定系统初值为：,则扩展卡尔曼滤波方程为： )0),1(),1| 1( () 1|( kukkxfkkx) 1,()

26、1() 1,() 1,() 1| 1() 1,() 1|(TTkkkQkkkkkkPkkkkP1TTT)()()()() 1|()()() 1|()(kDkRkDkGkkPkGkGkkPkK)0),1|( ()()() 1|( )|( kkxgkykKkkxkkx) 1|()()()|(kkPkGkKIkkP5、故障检测策略 系统残差序列： ) 1() 1() 1(kykyk)1(, 1() 1(kkxkhky当系统正常运行时，残差 近似为高斯白噪声序列，其均值近似为零，协方差阵为： ）k()()1(,() 1() 1(,(2kQkkxkHkkPkkxkHT)()()(VkkEkT协方差阵V（

27、k）是时变的，随k的变化具有不同的统计特性。为此，可定义另一随机变量：)()()2/1kkVk（则 近似为一零均值高斯白噪声随机向量。由于 计算上的不便，为此 可再定义一随机变量：)k（)(2/ 1kV)()()()()(1TkkVkkkT由上式（即 ： ），可得如下残差加权平方和检测方法：)()()()()(1TkkVkkkT令： kNkjTkkNkd1)()(1)(kNkjTkkVkN11)()(1）其中：N为数据窗长度。 当系统正常运行时，d(k)的数值较小。当系统发生突变性故障时， 将不再满足白噪声特性，由此得出如下检测律： )k（10)(HHkd其中： 为一阈值。 仿真例子： 某一实

28、际非线性轮船驱动系统可由下列方程描述： ) 1k( e) 1k(x) 1k(y)k(v)k(1bu. 0)k()(1 . 0) 1(2xkaxkx其中：x为轮船的速率， 0)00()0(xxa,b分别代表轮船所受阻力和发动机的效率。其标称值分别为： 2 . 0,58. 000ba基于扩展卡尔曼滤波器算法及残差加权平方和检测策略，进行故障诊断。 图1给出了正常运行的系统的响应曲线；图2给出了当k=301（即t=30.1秒），参数a突变成2a（-0.58*2），参数b不变时系统的响应曲线。（阈值 =0.2）0100200300400500600-0.100.10.20.30.40.50.6y(k)

29、r(k)010020030040050060000.050.10.150.20.250.30.350.4d(k)图1 正常运行时系统的响应曲线010020030040050060000.10.20.30.40.50.60.7y(k)01002003004005006000123456d(k)图2 故障状态下系统的响应曲线残差经常被用作为反映系统故障的信息，残差是指由被观测数据构成的函数与这些函数的期望值之差。无故障也无噪声时，残差一般为零；故障发生后，残差则以确定性偏移量的形式出现。下面介绍几种残差产生的方法。 冗余方程的建立及残差产生的简单方法首先通过一个例子来说明冗余方程产生残差的构思。考

30、虑一个三阶离散系统的理想模型)(7 . 0)(7 . 0)(5 . 0) 1(3211kxkxkxkx)()(1 . 0)(8 . 0)(1 . 0) 1(3212kukxkxkxkx)() 1(13kxkx)()(3kxky在这个三阶离散系统的理想模型中，仅有一个状态变量是可观测的，输入u(k)已知，消去x1，x2，x3，可得冗余方程。（1）（2）（3）（4）冗余方程：) 1(17. 1)2(3 . 1)3(kykyky0)(7 . 0)(63. 0kuky（5）一种方法是：直接将其本身视为残差，即)2(17. 1) 1(3 . 1)()(1kykykykr) 3(7 . 0) 3(63.

31、0kuky这种残差，是一种移动平均方程，它是以传感器最近最近的输出的输出为基础的。如果传感器发生故障，残差r(k)只与r(k-1)、r(k-2)、r(k-3)有关，而与r(k-3)以前的值无关。根据所得的冗余方程建立残差，第二种产生残差的方法是：循环求解方程式（5）（即冗余方程），每次的计算结果与传感器的实际输出比较，即计算)2( 17. 1) 1( 3 . 1)( kykyky) 3(7 . 0) 3( 63. 0kuky残差为)( )()(2kykykr 冗余方程建立的一般方法考虑离散的、非时变的线性系统)()() 1(kBukAxkx)()(kCxky式中， A、B、C是适当维数的矩阵。

32、;)(;)(;)(lmnRkyRkuRkx设z是前向移动算子前向移动算子，即zf(k)=f(k+1)，则消去状态变量x，)()()(1kBuAzICky得冗余方程：（6）（7）上述所得的冗余方程也可表示为)()()()(kuzGkyzH式中，矩阵G(z)和H(z)与状态模型的关系是BAzICadjzG)()()det()(AzIzH（8）则由式（8），得一致方程)()()()()(kuzGkyzHke（9）)()()(1kBuAzICky)()()(1kBuAzIAzICkyAzI)()()()(kuzGkyzH(冗余方程)adjA:矩阵A的伴随矩阵（A*）detA:矩阵A的行列式（|A|）由

33、于故障和噪声的缘故，e(k)将偏离零值，若忽略噪声的影响，残差即可直接被用来分析故障。如果，u(k)和y(k)已知，由式（9）可计算出一致矢量e(k)。矩阵(H(z)-G(z)的列与系统故障有关，列的变化可以反映出故障的方向，故障的可检测性和可隔离性与矩阵(H(z)-G(z)的结构密切相关。用矢量e(k)的范数范数与规定的阈值阈值进行比较，可以实现故障检测的目的，通过比较矢量e(k)的方向和故障方向，可以实现故障定位。)()()()()(kuzGkyzHke即：一致方程 基于观测器法的残差产生考虑离散系统)()()()() 1(kCxkykBukAxkx式中，。pmnRuRyRx;用龙贝格（L

34、uenberger）观测器进行状态估计，有下列形式：)()( ) 1( kBukxAkx)( )(kxCkyG)()( )(kykxCkr（10a）（10b）定义状态估计误差)()( )(kxkxke可得残差方程：)()()()() 1(kCekrkeGCAke将其代入式（10）， 基于参数辨识法的残差产生参数辨识的基本思想是通过比较正常参数与故障参数来检测故障是否发生。)()()()() 1(kCxkykBukAxkx其参数辨识残差可由下式表示：)()(kk式中， 表示系统正常时的参数； 代表实际估计参数。对于系统：定义输出参数估计误差: )(k)(,( ),()(kkykyk输出估计误差的

35、范数，常用于检测系统的故障。阈值选取的原则阈值选取的原则，在理想情况下，应该是把所有正常工作的值包含在阈值以内，一旦冗余信号之间的差别超过给定阈值，则必然是处于非正常工作状态。但由于现实中信号固有的随机性，使得无法达到理想情况，而只能尽量达到上述准则的要求。系统实际运行中，由于各种随机因素的存在，如噪声和扰动等等，引起故障检测器的误检：漏报警漏报警和虚报警虚报警。一个好的故障监督系统，应当使这两种误检都尽可能的小，因此，在选取故障决策的阈值时，需要折衷考虑。下面介绍确定故障决策阈值的几种方法。 根据元部件的允差选取阈值 方法一：最大不一致原理最大不一致原理最大不一致原理的基本思想是：将每一通道中各单元的允差综合起来考虑，确定出最坏情况下允许的偏差，按此确定故障检测器的阈值。具体步骤：设有两冗余通道，其中每一单元均有一允差Ei（i1，2，n），每一单元的增益为Ri（ i1，2，n ），通道的逻辑连接方式如下图所示，