中学数学建模的思考

1、 中学数学建模的思考中学数学建模的思考 北京师范大学北京师范大学 梅松竹梅松竹 20112011年年1212月月2020日日一、生活与数学一、生活与数学二、数学教育二、数学教育三、中学数学建模三、中学数学建模四、综合与实践课程四、综合与实践课程五、双课堂数学建模五、双课堂数学建模六、中学数学建模的实践探索六、中学数学建模的实践探索内容提要内容提要一、生活与数学一、生活与数学数学与自然数学与自然不可不可 数学已经开始大步地从科学技术的幕后直数学已经开始大步地从科学技术的幕后直接走到前台接走到前台, , 在经济发展和社会进步的第一在经济发展和社会进步的第一线发挥它的作用线发挥它的作用. .二、数学

2、教育二、数学教育数学是理性的音乐数学是理性的音乐 数学是锻炼思想的体操数学是锻炼思想的体操数学是科学的语言数学是科学的语言 数学的教育特征数学是生活的必须数学是生活的必须数学是最后致胜的法宝数学是最后致胜的法宝3. Award in mathematical contest in modeling is a plus传统的数学教学模式传统的数学教学模式 “烧中段烧中段” + “应用题应用题”1. 什么是数学建模? 中学生可以做数学建模吗中学生可以做数学建模吗?三、中学数学建模三、中学数学建模数学建模的内容和意义 它更突出地表现了对原始问题的分它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的过程；

3、数学工具析、假设、抽象的过程；数学工具选择使用的过程；模型的求解、验选择使用的过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。迭代过程。 数学建模数学建模可以看成是可以看成是 问题解决的一问题解决的一部分，它的作用对象主要是非数学领域部分，它的作用对象主要是非数学领域（如经济、工程、生活等）需要用数学（如经济、工程、生活等）需要用数学来解决的问题。来解决的问题。 数学建模过程数学建模过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型的解答数学模型的解答现实对象的解答现实对象的解答数学模型数学模型表述表述（归纳）（归纳）求解求解（演绎）（演绎）解释解释验证验证现实

4、对象与数学模型的关系现实对象与数学模型的关系一个数学建模的典型案例一个数学建模的典型案例1736 Konigsberg Pregel Euler七桥问题在东普鲁士的小城镇哥尼斯堡在东普鲁士的小城镇哥尼斯堡,有有一条小河从市中心穿过一条小河从市中心穿过,河中有小河中有小岛岛A和和D ,河上有连接这两个岛和河河上有连接这两个岛和河的两岸的两岸B、C的桥的桥 。如图。如图1-1所示。所示。问一个人能否将每座桥既无重复也问一个人能否将每座桥既无重复也无遗漏地通过一次无遗漏地通过一次? 例：牛顿定律例：牛顿定律假设：假设：1.1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。物体为质点，忽略物体的大小和形状。2.2

5、.没有阻力、摩擦力及其他外力。没有阻力、摩擦力及其他外力。令令x(tx(t) )表示在表示在t t时刻物体的位置时刻物体的位置, , 则则22dtxdmmaF 数学模型是架于数学与实际问题之间数学模型是架于数学与实际问题之间 的桥梁的桥梁 在数学发展的进程中无时无刻不留下在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。数学模型的印记。模型举例模型举例 某学校有块矩形空地，南北向长某学校有块矩形空地，南北向长100m，东西，东西向宽向宽90m。欲建。欲建4条并排跑道，每条跑道宽为条并排跑道，每条跑道宽为1m，且内圈周长为且内圈周长为300m的操场。的操场。请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案

6、。请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。分析：分析：1.内圈的范围；内圈的范围；长长100-8=92m宽宽90-8=82m周长周长(92+82)2=348m2.半圆加直道：半圆加直道：823.14+102=277.5m3.椭圆：椭圆：a=46，b=41 ，周长周长 =273.5m3.300m框框92m58m)23(abba 因此，作为一个操场的跑道，除了要有直跑道之因此，作为一个操场的跑道，除了要有直跑道之外，还必须要有弯道，直道要与弯道相切，而且弯道外，还必须要有弯道，直道要与弯道相切，而且弯道的弧度也不能太大。的弧度也不能太大。设计原则：设计原则： 为便于跑步者使用，直跑道部分应尽可能

7、长，弯道为便于跑步者使用，直跑道部分应尽可能长，弯道最好是圆弧，弧度尽可能小，且直道与弯道相切。最好是圆弧，弧度尽可能小，且直道与弯道相切。因此，我们设计的跑道要尽可能贴近矩形土地的边缘。因此，我们设计的跑道要尽可能贴近矩形土地的边缘。 我们只要在原有的我们只要在原有的9282的矩形的四角的拐弯处的矩形的四角的拐弯处用用1/4圆周的圆弧代替直角的两边，圆周的圆弧代替直角的两边，使得这个圆角矩形的周长为使得这个圆角矩形的周长为300m就可以了。就可以了。设圆弧半径为设圆弧半径为r。按要求应有。按要求应有(922r)2 + (822r)2 + 2r = 300。得得r 28（m）也就是，在原有的也

8、就是，在原有的9282的矩形中四个角处去掉长的矩形中四个角处去掉长度为度为28m的线段的线段并且用半径为并且用半径为28m的的1/4圆弧连接起来就可以了。圆弧连接起来就可以了。例例 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40）

9、，代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （

10、%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10

11、, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平),(

12、/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1),

13、则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1, n2) 60%,了解现实问题：使我们的研究更有针对性了解现实问题：使我们的研究更有针对性教师观念教师观念-不考的要学吗？我都不会不考的要学吗？我都不会, ,怎怎么教？么教？操作生疏操作生疏-学生自己学数学、用数学、学生自己学数学、用数学、做数学做数学, ,老师起什么作用？过程环节与常规老师起什么作用？过程环节与常规教学差异大，掌控有难度。教学差异大，掌控有难度。资源匮乏资源匮乏-学什么、用什么、做什么？学什么、用什么、做什么？未知、待定的东西太多，没有确定的教科未知、待定的东西太多，没有确定的教科书和教辅。书和教辅。网络环境下的函数建模网络环境下

14、的函数建模 形式：网络平台、双课堂，选、开、做、结题形式：网络平台、双课堂，选、开、做、结题 突破点：不同程度的学生的参与，学生的自主学习、突破点：不同程度的学生的参与，学生的自主学习、合作学习；合作学习； 滚动的资源生成和利用模式滚动的资源生成和利用模式 等；等；方法：案例收集、专题研讨、经验提升、成果归纳方法：案例收集、专题研讨、经验提升、成果归纳3。后期。后期大量实践、过程反思、经验归纳、理论提升，通过文大量实践、过程反思、经验归纳、理论提升，通过文献综述、实证分析、案例解读等努力表现中学数学建献综述、实证分析、案例解读等努力表现中学数学建模这种课程形态的模这种课程形态的“特征点特征点”

15、、“特色点特色点”、和实施后的、和实施后的“变化点变化点”、“收获点收获点”。分析归纳出：分析归纳出：中学数学建模课程的内涵、性质、特征、理念；中学数学建模课程的内涵、性质、特征、理念；课程目标、实施策略、有效的教学方式、评价方式；课程目标、实施策略、有效的教学方式、评价方式；课程实施中的主要问题，在形式和内容上可能的发展；课程实施中的主要问题，在形式和内容上可能的发展； 数学建模小课题数学建模小课题 课题：课题： 为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线, , 设计一个合理的保安巡逻路线。设计一个合理的保安巡逻路线。给学生的实施建议（初中）给学生的实施建议（初

16、中）1:1:对你要研究的小区对你要研究的小区, ,进行观察进行观察, ,收集必要的数据和信收集必要的数据和信息息,(,(如平面图如平面图, ,楼的门洞的朝向楼的门洞的朝向, ,道路情况道路情况, , 小区的进小区的进出口位置等出口位置等).).2: 2: 复习必要的知识复习必要的知识, ,如一笔画方法如一笔画方法, , 最短邮路的画法等最短邮路的画法等. .3:3:画出小区的平面示意图画出小区的平面示意图, (, (最好复印一下最好复印一下, ,以避免后面以避免后面画坏时重画画坏时重画),),在图上完成邮政投递路线的设计在图上完成邮政投递路线的设计, ,使邮使邮递员走的路线最短递员走的路线最短

17、). ). 创新项目创新项目1: 1: 为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首先思考先思考”合理合理”的含义的含义实践项目实践项目1: 1: 按你设计的路线按你设计的路线, ,实际走一遍实际走一遍, , 测算出路程测算出路程. . 再让一个按投递要求随意地走一遍再让一个按投递要求随意地走一遍, , 看一看相差多少看一看相差多少? ? ( (记录数据记录数据).).保安巡更路线生成方案及流程设计保安巡更路线生成方案及流程设计 于颢于颢 陈明卿陈明卿 （北京大学附中）（北京大学附中）只有只有”做题做题“产生的问题和思考产生的问题和思考学生的个性，自主、主动性表现不

18、充分。学生的个性，自主、主动性表现不充分。与应用题教学应该有什么区别？与应用题教学应该有什么区别？过程很有价值，价值如何展现？过程很有价值，价值如何展现？建模的教育价值应该在交流中体现。生生作用大于建模的教育价值应该在交流中体现。生生作用大于师生作用，如何发挥这种作用？师生作用，如何发挥这种作用？建模的资源如何生成？建模的资源如何生成？ -如何把建模活动的数学学习功能、使它的教如何把建模活动的数学学习功能、使它的教育功能最大化？育功能最大化？给学生提供可供参考的建模题目，同时鼓励学生自主给学生提供可供参考的建模题目，同时鼓励学生自主选择小课题（有加分），结果要写成选择小课题（有加分），结果要写

19、成“研究报告研究报告（初中），建模小论文（高中）（有问题、建模、（初中），建模小论文（高中）（有问题、建模、解模、结果表述、误差分析、应用价值等），每组解模、结果表述、误差分析、应用价值等），每组同学都要报告自己的成果。同学都要报告自己的成果。“数学知识应用竞赛数学知识应用竞赛”增加了论文环节，增加了论文环节，增加增加”答辩答辩“环节，环节， 增加增加“结题结题”的环节。的环节。 “选题选题”和和“结题结题”环节：环节：进一步的思考和问题进一步的思考和问题-效果：上万篇学生的小论文，展现创造和个性，效果：上万篇学生的小论文，展现创造和个性，主动、合作、创造的价值充分表现，资源丰富。主动、合作、

20、创造的价值充分表现，资源丰富。问题是问题是-老师的选题从哪里来？老师的选题从哪里来？差异巨大，差异巨大，3成学生不会选题，找不到题，网上成学生不会选题，找不到题，网上抄别人的题，重复做别人做过的题。抄别人的题，重复做别人做过的题。建模过程的教育、教学功能没有充分的挖掘，建模过程的教育、教学功能没有充分的挖掘，评价的挑战。评价的挑战。 北京市学生优秀成果-选题的展示如何改进文章的风格如何改进文章的风格 实验 高三 陈鹏相邻摆放的商品和销售量的关系相邻摆放的商品和销售量的关系 4中北京和平街地区中老年人糖尿病调查研究北京和平街地区中老年人糖尿病调查研究 八中 高一 赵羽中 粉笔使用中的节约问题和粉

21、笔套的设计粉笔使用中的节约问题和粉笔套的设计 5中 孙靓从拼图游戏到人类基因组计划从拼图游戏到人类基因组计划-碎片拼接中有趣的数学规律碎片拼接中有趣的数学规律 北大附 高三葛鉴桥糖尿病的检测问题糖尿病的检测问题 15中 高二 亢 山页由中学生学习成绩的一次统计看中学生作业负担过重问题由中学生学习成绩的一次统计看中学生作业负担过重问题 北京煤炭工业学校 王敦杰选题与简评（选题与简评（2）8抽取式面巾纸的包装盒优化设计抽取式面巾纸的包装盒优化设计北大附中北大附中2等奖等奖9邮票尺孔中的数学问题邮票尺孔中的数学问题 昌平进校实验班昌平进校实验班2等奖等奖10给我一张纸，我就知道电视塔有多高给我一张纸

22、，我就知道电视塔有多高 潞河中学潞河中学2等奖等奖11修正带中的应用问题修正带中的应用问题实验中学实验中学2等奖等奖12啤酒瓶的包装设计啤酒瓶的包装设计四中四中3等奖等奖13学校建筑中的安全设计学校建筑中的安全设计 12中中2等奖等奖14分层次教学的数学模型分层次教学的数学模型 首师附首师附 2 等奖（数学应用的较好）等奖（数学应用的较好）15单词记忆的最佳方案单词记忆的最佳方案实验中学实验中学一等奖一等奖16考试站的最佳布点模型考试站的最佳布点模型 80中中2等奖等奖17“绿灯带绿灯带”问题问题师大附中师大附中2等奖等奖北大附中获奖数学论文简介北大附中获奖数学论文简介保安巡更路线方案及软件流

23、程设计保安巡更路线方案及软件流程设计 于于 颢颢 陈明卿陈明卿中学生的呼声中学生的呼声北大附中学生心中的名牌大学排行榜北大附中学生心中的名牌大学排行榜 杜杜 珊珊浅析足球场上队员的合理跑位问题浅析足球场上队员的合理跑位问题 张张 博博 观鸟中的数学问题观鸟中的数学问题东洞庭湖观鸟记录与思考东洞庭湖观鸟记录与思考 刘刘 熹熹室内饲养环境下大斑啄木鸟节律的研究室内饲养环境下大斑啄木鸟节律的研究 刘刘 熹熹 于于 颢颢邮票面值的设计问题邮票面值的设计问题 谭思睿谭思睿 周周 栋栋北京住宅小区分散供暖的可行性研究北京住宅小区分散供暖的可行性研究 颜颜 溪溪“脑白金脑白金”风暴怎么刮风暴怎么刮 孙昱姣孙

24、昱姣 夏愔愔夏愔愔液晶基板合理切割的研究液晶基板合理切割的研究 李逸男李逸男NBA常规赛赛程的合理安排常规赛赛程的合理安排 徐徐 展展台球桌上的数学问题台球桌上的数学问题 刘亚汀刘亚汀关于人造卫星定点着陆的探索关于人造卫星定点着陆的探索 李蔚然李蔚然 刘刘 颖颖实验观察实验观察+提出问题提出问题+改进措施：改进措施：问题：重复的选题，问题：重复的选题，5-7 % （交通、疏散、黄金分割）（交通、疏散、黄金分割） 不当的选题，不当的选题，10-15%（预测抽奖中奖，价值不当（预测抽奖中奖，价值不当 数学方法使用不当，数学方法使用不当，20-30%（精确拟合，统计结（精确拟合，统计结论当必然等）论

25、当必然等） 表述不当，表述不当，33% (不注文献，无结果的适用条件，不注文献，无结果的适用条件，无误差分析无误差分析)-选题面广，资源问题解决了，信心大增，选题面广，资源问题解决了，信心大增，-如何评价不同的作品？评价的挑战如何评价不同的作品？评价的挑战-如何进一步推进合作学习？每一个答辩的小论文加写如何进一步推进合作学习？每一个答辩的小论文加写合作经历合作经历进一步的问题和工作进一步的问题和工作好的建模成果的（小论文）的特点是什么？（改进好的建模成果的（小论文）的特点是什么？（改进评价，促进教学？）评价，促进教学？）得到好的结果，什么环节作用明显？得到好的结果，什么环节作用明显？（1）关键

26、是选题：）关键是选题：（2）选题后的交流的指导）选题后的交流的指导；新的困难和对策新的困难和对策选题是老师做还是学生做？选题是老师做还是学生做？如何帮助学生如何帮助学生”有题可选？有题可选？”谁来帮助学生判断题好不好？可不可做？谁来帮助学生判断题好不好？可不可做？过程评价如何有效的展现过程评价如何有效的展现“过程过程” - 15中经验，学生论文导读课中经验，学生论文导读课 - 北大附中经验，先学后选，问题北大附中经验，先学后选，问题“场场”的策略的策略课题组的老师在一起座谈如何帮助学生课题组的老师在一起座谈如何帮助学生选题选题-筛选经验法（青浦经验的启发）筛选经验法（青浦经验的启发） 积累自己

27、的学生们以前的工作，讲给后届学生；积累自己的学生们以前的工作，讲给后届学生； 网上看一看别人（特别是大学生）作了什么？网上看一看别人（特别是大学生）作了什么？ 学别人的小论文，再挑点毛病看一看有什么可改进的，学别人的小论文，再挑点毛病看一看有什么可改进的， 头脑风暴法头脑风暴法 问题环境法问题环境法 重视学生自己的生活经验重视学生自己的生活经验 实践：实践：- 发展出自主选题发展出自主选题+“开题开题”交流的环节交流的环节实践的探索实践的探索问题环境问题环境-邮局：交通问题邮局：交通问题加入学习环节加入学习环节+设计引发学生的问题意识和思考，帮设计引发学生的问题意识和思考，帮助学生完成助学生完

28、成“选题选题”开题报告：开题报告：-加入生生活动，老师不忙插入指导，加入生生活动，老师不忙插入指导，选定题目后怎样提高建模小论文质量？选定题目后怎样提高建模小论文质量？操作经验的筛选：操作经验的筛选： 学生间互相评议、质疑学生间互相评议、质疑 定向学习、收集专门的资料定向学习、收集专门的资料 集体效应、题目相近的小组交流（网上）集体效应、题目相近的小组交流（网上） 逼出创新点、扬长为主逼出创新点、扬长为主 后期制作下功夫、指定学生看一下专业期刊的论文模后期制作下功夫、指定学生看一下专业期刊的论文模式，对比找毛病式，对比找毛病 家长、毕业生资源的利用家长、毕业生资源的利用提供可供参考的多个资源，

29、鼓励学生在学习的基础提供可供参考的多个资源，鼓励学生在学习的基础上，自主选择小课题，同时用真实课堂上，自主选择小课题，同时用真实课堂”开题开题“：每一个课题小组对全班报告说明：学了什么，学每一个课题小组对全班报告说明：学了什么，学了什么，查了什么，要做什么，预期结果，技术了什么，查了什么，要做什么，预期结果，技术路线，优势和困难等。学生相互质疑、对话、互路线，优势和困难等。学生相互质疑、对话、互助，资源共享，大大提高了论文质量和成功率。助，资源共享，大大提高了论文质量和成功率。防止了低水平重复，网上抄袭等问题。也增加了防止了低水平重复，网上抄袭等问题。也增加了我们进行过程评价的有效观察窗口。我

30、们进行过程评价的有效观察窗口。自主自主”选题选题“和和“开题开题”的环节：的环节：进一步的问题和措施进一步的问题和措施数学建模和核心价值数学建模和核心价值-改进学生的学习方式，鼓励改进学生的学习方式，鼓励自主学习、合作学习，培养创新精神和实践能力，自主学习、合作学习，培养创新精神和实践能力，为此我们如何让学生尽可能多的为此我们如何让学生尽可能多的“动起来动起来”？如何？如何在在“过程过程”中积累经验，做好评价？中积累经验，做好评价？措施：延伸过程，制造机会，搭建平台措施：延伸过程，制造机会，搭建平台 选题选题+开题（自主、交流）做题开题（自主、交流）做题+结题（合作学习结题（合作学习+交交流流

31、+评价评价+资源生成）资源生成）给出了中学数学建模的核心操作的四个环节：给出了中学数学建模的核心操作的四个环节：选题、选题、开题、做题、结题。实践开题、做题、结题。实践说明中学数学建模的是说明中学数学建模的是可做的，也是能做好的。可做的，也是能做好的。给出了中学数学建模教学设计中的核心操作理念是：给出了中学数学建模教学设计中的核心操作理念是：问题引领、先学后做、化教为助、组间碰撞、网问题引领、先学后做、化教为助、组间碰撞、网上交互、实课解惑、资源累加、共同发展上交互、实课解惑、资源累加、共同发展。 网络平台下的网络平台下的“四环节四环节”数学建模课程数学建模课程-数学建模双课堂课程：数学建模双

32、课堂课程：建模选题环节中阅读材料的选取建模选题环节中阅读材料的选取如何适应中学生自主阅读的要求如何适应中学生自主阅读的要求开设一学期开设一学期 “数学阅读数学阅读”选修课中做的数学阅读实验，选修课中做的数学阅读实验，按先独立阅读、后交流指导，到哪里读不下去做按先独立阅读、后交流指导，到哪里读不下去做标记，收集整理统计。标记，收集整理统计。阅读实验研究的意义阅读实验研究的意义在双课堂建模的选题阅读阶段在双课堂建模的选题阅读阶段:为了利于学生阅读，为了利于学生阅读，我们进行的艰苦的我们进行的艰苦的-“资源筛查和改造资源筛查和改造”1.文章要短，不太抽象，加强几何直观。文章要短，不太抽象，加强几何直

33、观。2.选用了往届学生的文章作为资源，这样更容易克选用了往届学生的文章作为资源，这样更容易克服阅读的心理障碍，还能激发学生的服阅读的心理障碍，还能激发学生的“超越超越”动力。动力。3. 教师的再加工。教师的再加工。4.论文中论文中“中学数学建模中学数学建模”的难度把握的研究类似的难度把握的研究类似什么是好的建模小论文？什么是好的建模小论文？ 选题：最好来自学生自己的观察、来自自己的体选题：最好来自学生自己的观察、来自自己的体验、来自自己学习、生活实践。验、来自自己学习、生活实践。 建模：分析、假设合理，模型对应恰当，结果评建模：分析、假设合理，模型对应恰当，结果评价得当；价得当； 数学：应用的

34、合理到位，不过分，不造作；论文数学：应用的合理到位，不过分，不造作；论文结构合理，叙述清楚，符合建模论文的基本要求。结构合理，叙述清楚，符合建模论文的基本要求。 过程：自主学习、合作学习有收获、有成效。过程：自主学习、合作学习有收获、有成效。 特色特色：有创新点，有自己的独到的见解，有应用有创新点，有自己的独到的见解，有应用价值价值。六、中学数学建模的实践探索六、中学数学建模的实践探索w充分利用数学建模过程生成的大量生动具体的学习资源，充分利用数学建模过程生成的大量生动具体的学习资源， 为课程今后的发展蓄能。为课程今后的发展蓄能。w帮助师生探索新的帮助师生探索新的教学和学习的方式。教学和学习的

35、方式。w在数学建模活动中，在实际教学过程中探索在数学建模活动中，在实际教学过程中探索人机结合、人机结合、 人网结合人网结合的有效途径。的有效途径。w作为数学的活动课，探索作为数学的活动课，探索有效的操作模式有效的操作模式、学习模式、学习模式、 指导模式、评价模式、资源筛选扩充模式等。指导模式、评价模式、资源筛选扩充模式等。w指导学生实际完成一个指导学生实际完成一个数学建模的全过程数学建模的全过程。w借助借助网络完成过程评价网络完成过程评价、生生评价。在个性展示、重在、生生评价。在个性展示、重在 扬长、鼓励创新等方面争取有所突破。扬长、鼓励创新等方面争取有所突破。数学建模数学建模常规课程常规课程

36、运用函数知运用函数知识建模识建模运用几何知运用几何知识建模识建模运用统计知运用统计知识建模识建模寻找生活中的函数寻找生活中的函数让学生在自己让学生在自己的身边找出个真的身边找出个真实的函数实的函数学函数、用函数学函数、用函数让学生用函数让学生用函数知识解决一个具体知识解决一个具体问题。问题。1测量测量2.与包装有关的与包装有关的系列问题系列问题 1. 排行榜中的排行榜中的信息用统计方法信息用统计方法解决实际问题解决实际问题2. 用随机模拟用随机模拟的方法解决实际的方法解决实际问题问题将自己小组成果将自己小组成果用结题报告或小用结题报告或小论文的形式提交。论文的形式提交。然后进行交流、然后进行交

37、流、评价评价。初步理出初步理出解决本组解决本组提出问题提出问题的想法，的想法，或技术路或技术路线，或初线，或初步的实施步的实施方案，最方案，最后形成一后形成一个开题报个开题报告。告。全组分工合全组分工合作，按前面作，按前面设计的实施设计的实施方案真实寻方案真实寻求结果的过求结果的过程，最后形程，最后形成一系列的成一系列的成果，如表成果，如表示结果的公示结果的公式、文字报式、文字报告，软件、告，软件、照片或视频、照片或视频、实物模型等。实物模型等。学习阅读学习阅读资料包里资料包里的相关文的相关文献，梳理献，梳理知识、形知识、形成问题，成问题，在小组里在小组里交流，最交流，最后形成小后形成小组集体

38、打组集体打算做的小算做的小课题。课题。选题选题开题开题做题做题结题结题1234建模课程实施流程结束活动准备阶段辅导教师之间沟通师生沟通辅导教师与平台技术人员沟通活动实施阶段第一单元 选题第二单元 开题 论证第三单元 建模过程第四单元 结题 交流上交建模论文及总结辅导教师评价开始各实验校的课程进展的相关数据：各实验校的课程进展的相关数据：（2008年年12月月-2009年年2月月20日）日） 实验校实验校北大附中北大附中北京北京15中中北京北京19中中北京经济技术北京经济技术开发区实验中开发区实验中学学注册班数注册班数11213注册学生数注册学生数494834341网上原始学习资源数网上原始学习

39、资源数81161611学生交流帖数学生交流帖数53834840216学生学习小组个数学生学习小组个数12233811学生自主选择的课题数学生自主选择的课题数1223387 数学建模数学建模“双课堂双课堂”课程课程改变了学生的学改变了学生的学习方式，释放了习方式，释放了学生的学习潜能，学生的学习潜能，激发了学生的创激发了学生的创造。造。作作 用用 一一 学生可以按照课程计划安排学生可以按照课程计划安排自由掌握学习时间和学习内容。自由掌握学习时间和学习内容。李响说李响说: :“这不仅是一门数学课，这不仅是一门数学课，这还是一门培养我们自觉意识的这还是一门培养我们自觉意识的课程。开始有点不习惯，后来

40、我课程。开始有点不习惯，后来我就由自觉、变得自主与自励。这就由自觉、变得自主与自励。这样的学习是我以前所从未经历过样的学习是我以前所从未经历过的，它给我们以最大限度的自由，的，它给我们以最大限度的自由，让我在心情最为适合的时候去进让我在心情最为适合的时候去进行对课程的学习，在随心所欲的行对课程的学习，在随心所欲的同时也不忘还有作业的压力同时也不忘还有作业的压力”。与玩网络游戏的最大区别是：在与玩网络游戏的最大区别是：在虚拟课堂玩完后心里踏实。虚拟课堂玩完后心里踏实。 19 中学生中学生:.+课程实施过程中参与者的变化课程实施过程中参与者的变化自主学习蔚然成风自主学习蔚然成风 首先是学生学习方式

41、的变化，通过数学建模双首先是学生学习方式的变化，通过数学建模双课堂活动，学生对数学的学习有了更深一层次的认课堂活动，学生对数学的学习有了更深一层次的认识，形成了自主学习，主动探究，合作交流的模式识，形成了自主学习，主动探究，合作交流的模式. “ “纵然研究过程是艰辛的，但是我们却收获了纵然研究过程是艰辛的，但是我们却收获了金灿灿的果实金灿灿的果实. .这一过程可谓是漫长、复杂而且这一过程可谓是漫长、复杂而且单调的，庞大的数据有时常常就不知道算到哪了，单调的，庞大的数据有时常常就不知道算到哪了，就是这样，才锻炼了我们，在完成的最后一刻我感就是这样，才锻炼了我们，在完成的最后一刻我感到如释重负，而

42、且有一种强烈的自豪和成就感，我到如释重负，而且有一种强烈的自豪和成就感，我想这次活动确实锻炼了我不少。想这次活动确实锻炼了我不少。” 原本，我们以为建模活动原本，我们以为建模活动没什么意义。因为一切知没什么意义。因为一切知识、答案都在课本上得到识、答案都在课本上得到解决，要我们去验证一个解决，要我们去验证一个被无数次验证过的事情，被无数次验证过的事情，真是无聊又浪费时间。不真是无聊又浪费时间。不会有发现新事物的惊喜，会有发现新事物的惊喜，也不会有可质疑、可去思也不会有可质疑、可去思考的东西，这只是一道已考的东西，这只是一道已经知道答案的数学题罢了。经知道答案的数学题罢了。然而我们错了。在实验的

43、时候，然而我们错了。在实验的时候，我们我们（解决困难）在终于（解决困难）在终于收获了自己和同伴们的辛勤劳收获了自己和同伴们的辛勤劳动的果实时，我们才认识到数动的果实时，我们才认识到数学建模活动的精髓。课题是我学建模活动的精髓。课题是我们的目标，像一块石碑一样伫们的目标，像一块石碑一样伫立在我们可以望到的另一座山立在我们可以望到的另一座山顶。而探究学习的过程，正是顶。而探究学习的过程，正是我们在攀登。克服前进途中的我们在攀登。克服前进途中的种种困难，得到一次次的喜悦，种种困难，得到一次次的喜悦，却又陷入新的思考中，这，便却又陷入新的思考中，这，便是磨砺。磨砺之后，我们所绽是磨砺。磨砺之后，我们所

44、绽放出的光芒才会更耀眼，才会放出的光芒才会更耀眼，才会深刻理解又一自然所带给我们深刻理解又一自然所带给我们的，隐藏在平凡背后的伟大的的，隐藏在平凡背后的伟大的真理。这也是此次建模活动带真理。这也是此次建模活动带给我们的体悟。给我们的体悟。高一高一(1)班第六组谢越班第六组谢越 数学建模数学建模“双课堂双课堂”课程的实践，使我课程的实践，使我们看到通过网络可们看到通过网络可以大大提高了学生以大大提高了学生学习的参与度，互学习的参与度，互动、生成、实时的动、生成、实时的交流，生生评价成交流，生生评价成为可能。为可能。作作 用用 二二学生可以根据不同教学目学生可以根据不同教学目标提示，确定自己所能达

45、到标提示，确定自己所能达到的学习层次。的学习层次。邓杉数学考试邓杉数学考试成绩不够理想，但利用网络成绩不够理想，但利用网络查阅相关资料特别快，如函查阅相关资料特别快，如函数的知识总结他做的最好，数的知识总结他做的最好，老师给了老师给了100分。课程将数分。课程将数学内容细化，个性化，在课学内容细化，个性化，在课程提供的相关资源库中查找，程提供的相关资源库中查找，这也促进了学生的自主学习这也促进了学生的自主学习的积极性。的积极性。 学生体会学生体会+课程实施过程中参与者的变化课程实施过程中参与者的变化 主动探究成气候主动探究成气候 “成功的意义不是在胜利后欢呼雀跃，而是去感受默成功的意义不是在胜

46、利后欢呼雀跃，而是去感受默默奋斗过程中的点点滴滴默奋斗过程中的点点滴滴”“仔细研究完这十七页报告，我深知自己与前辈们的仔细研究完这十七页报告，我深知自己与前辈们的差距，作者考虑周全，思维明确，令人叹服差距，作者考虑周全，思维明确，令人叹服. .纵观全文，纵观全文，我深刻地感到科学的神奇，数学在生活中的重要性，我深刻地感到科学的神奇，数学在生活中的重要性，它使未说清的东西说清，应用数学还有更为广阔的天它使未说清的东西说清，应用数学还有更为广阔的天地，所以说基础的数学体系支撑着事件的建模、分析，地，所以说基础的数学体系支撑着事件的建模、分析，控制了结论。在体会他人之文章时，也体会到了自身控制了结论

47、。在体会他人之文章时，也体会到了自身的不足，还有很长的路要走。的不足，还有很长的路要走。” 课程实施过程中参与者的变化合作学习课程实施过程中参与者的变化合作学习有收获有收获- “感谢建模活动，让我学会很多，也收获那么多快感谢建模活动，让我学会很多，也收获那么多快乐乐”“通过这次参加数学建模活动，我不但对数学有了通过这次参加数学建模活动，我不但对数学有了新的认识，同时也因为这次活动而更加深刻的了解到新的认识，同时也因为这次活动而更加深刻的了解到团结协作的重要性。在刚刚开始时，对于团结协作的重要性。在刚刚开始时，对于“数学建模数学建模”这样一个新的名称，所感到的更多是敬畏及困惑。但这样一个新的名称

48、，所感到的更多是敬畏及困惑。但仅是在通过看同学们所找到的不同函数，就发现原来仅是在通过看同学们所找到的不同函数，就发现原来生活中其实是处处充满了数学问题的，从而开拓了思生活中其实是处处充满了数学问题的，从而开拓了思路。路。“在这次建模活动中，再没有老师手把手的教，所有的在这次建模活动中，再没有老师手把手的教，所有的实验设计和数据采集包括资料的查找主要都是依靠自实验设计和数据采集包括资料的查找主要都是依靠自己。在这个过程中还需要与同组的成员合作完成任务，己。在这个过程中还需要与同组的成员合作完成任务，使我认识到了成功光靠一个人是不够，团队的协作才使我认识到了成功光靠一个人是不够，团队的协作才是最

49、重要的。这次建模不但是对我们学习能力的一次是最重要的。这次建模不但是对我们学习能力的一次锻炼，同时也是对我们处理事务的能力的提升机会，锻炼，同时也是对我们处理事务的能力的提升机会，希望以后可以多多参加此类活动。希望以后可以多多参加此类活动。”课程实施过程中参与者的变化课程实施过程中参与者的变化 其次是老师、学生和家长对数学建模双课堂学习其次是老师、学生和家长对数学建模双课堂学习方式的有了更深层次的认识方式的有了更深层次的认识,对于这种方式给与充分对于这种方式给与充分的肯定的肯定. 1.家长认识的变化家长认识的变化-“老师您辛苦了！我们一定配合学校和老师的各项工老师您辛苦了！我们一定配合学校和老

50、师的各项工作，为孩子的成长共同努力作，为孩子的成长共同努力.” 在案例5中，齐敏同学的家长在2010年1月的态度是： “我们对于孩子参加这项活动基本还是持支持态度的，希望她能借此机会锻炼自己的团队合作能力，同时，这也是对她自己的一个挑战吧。但是担心也还是有的，毕竟，高中生活也比较紧张，我们比较担心如果她花费太多的我们比较担心如果她花费太多的时间在这项工作上，是否会给她的学习带来一定影响时间在这项工作上，是否会给她的学习带来一定影响” 可见家长在学习的初期有一定的担心，但是我们发现在作业3-4中，家长的态度有了质的变化： “我们对于孩子参加这项活动基本还是持支持态度的，希望她能借此机会锻炼自己的团队合作能力，同时，这也是对她自己的一个挑战吧。通过一段时间的观察，她基本还是可以合理分配自己的时间，我们也就放心了”。数学建模数学建模“双双课堂课堂”课程的实课程的实践，改变了我们践，改变了我们对教学资源的看对教学资源的看法，我们更关注法，我们更关注学习资源、动态学习资源、动态生成的资源的开生成的资源的开发和利用。发和利用。作作 用用 三三 借助于复利公式，借助于复利公式，1.05n 的数值如何表现指数增的数值如何表现指数