[名校联盟]江苏省南通市小海中学高二数学《双曲线几何性质》课件

1、8.4 双曲线的简单 几何性质(一)双曲线的标准方程形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、 （c，0）) 0, 0( 12222babyax1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1F2F222bac复复 习习 双曲线是否具有类似的双曲线是否具有类似的性质呢性质呢?椭椭 圆圆标准方程标准方程a,b,c的关系的关系图图 象象范范 围围对对 称称 性性顶顶 点点离离 心心 率率12222byax222bacbyax ,关于关于x轴轴,y轴和原点对称轴和原点对称长轴长为长轴长

2、为2a,短轴长为短轴长为2b)1 , 0(aceOxyF1F2.M), 0(),0 ,ba（四个四个 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质) 0, 0( 12222babyax1、范围、范围axaxaxax,12222即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称的轴和原点都是对称的。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,y)(x,y)(-x,-y)(x,-y)课堂新授课堂新授 Ryby,01223、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与

3、对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb)0 ,()0 ,(21aAaA、如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的的实轴实轴，它的长为，它的长为2a, a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的曲线的虚轴虚轴，它的长为，它的长为2b, b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）12222byax双曲线分别令双曲线方程中分别令双曲线方程中y=0,x=0, y=0,x=0, 可得可得双曲线有两个顶点双曲线有两个顶点, ,即即1A2A-aa4、 离心率：离心率：e的范围的范围：ca0e 1双曲线的焦距与双曲线的焦距与实轴实轴长的比长的比 叫做双

4、曲线的离心率叫做双曲线的离心率ace 小结小结: :由椭圆中类似的方法由椭圆中类似的方法, ,我们可以推导出我们可以推导出双曲线一些简单的几何性质双曲线一些简单的几何性质. .椭椭 圆圆标准方程标准方程a,b,c的关系的关系图象图象范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率12222byax 双双 曲曲 线线 222bacbyax ,关于关于x轴轴,y轴和原点对称轴和原点对称长轴长为长轴长为2a,短轴长为短轴长为2b)0 ,( a两个), 0(),0 ,ba四个（)1 , 0(ace12222byax222bacOxyF1F2.M小小 结结关于关于x轴轴,y轴和原点对称轴和原点对称实轴实轴长为长

5、为2a,虚轴虚轴长为长为2bRyax ,xyF1F2.Mo1eyOx.F1F2椭椭 圆圆双双 曲曲 线线xyoabF2F1.ab观察双曲线与这两条直线的位置关系观察双曲线与这两条直线的位置关系xyoxaby xabyab 过过A2,A1作作y轴的平行线轴的平行线x=a,过过B2,B1作作x轴的平行线轴的平行线y=b,四条直线围成一个矩形四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线的方程是矩形的两条对角线所在直线的方程是xaby下面我们来证明自己的猜想下面我们来证明自己的猜想1A2A1B2B(a, b)证明证明:设设M(x,y)是它上面的点，是它上面的点，N(x,Y)是直线是直线 上与上与M有相

6、同横坐标的点，则有相同横坐标的点，则xabyxabY M(x,y)N(x,Y)xyoab)(22axaxaby先取双曲线在第一象限内的部分进行证明先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可以写成这一部分的方程可以写成xaby 12222byax)(22axxabyY0MNQab1A2A1B2BM(x,y)N(x,Y)xyo22axxabMN设设 MQ是点是点M到直线到直线 的距离的距离xaby 则则MQMN当当x逐渐增大时逐渐增大时, MN逐渐减小逐渐减小,x无限增大无限增大, MN接近于接近于0, MQ也接近于也接近于0就是说就是说,双曲线在第一象限的部分从射线双曲线在第一象限的部

7、分从射线ON的的下方下方逐渐接近逐渐接近于射线于射线ON在其他象限内在其他象限内,也可以证明类似的情况也可以证明类似的情况.4、渐近线、渐近线xyo21xaby我们把直我们把直线线叫做双曲线叫做双曲线 的渐近线的渐近线12222byax利用双曲线的渐近线利用双曲线的渐近线, ,我们可以较我们可以较准确的画出双曲线的草图准确的画出双曲线的草图练习练习: :画出双曲线画出双曲线1422 yx的草图的草图1A2A1122222eacaacab双曲线的离心率越大双曲线的离心率越大,它的开口就越阔它的开口就越阔xaby渐近线方程：12222byax在方程在方程 中中,若若a=b,那么双曲线的方程为那么双

8、曲线的方程为222ayx这时这时,四条直线四条直线x=a,y=a围成正方形围成正方形渐近线的方程成为渐近线的方程成为y=x它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线等轴双曲线椭 圆标准方程a,b,c的关系图象范围对称性顶点离心率12222byax 双 曲 线 222bacbyax ,关于关于x轴轴,y轴和原点对称轴和原点对称长轴长为长轴长为2a,短轴长为短轴长为2b)0 ,( a两个), 0(),0 ,ba四个（)1 , 0(ace12222byax222bacOxyF

9、1F2.M小小 结结关于关于x轴轴,y轴和原点对称轴和原点对称实轴长为实轴长为2a,虚轴长为虚轴长为2bRyax ,xyF1F2.Mo1e渐近线渐近线无无xaby可此可知可此可知, ,实半轴长实半轴长a=4,=4,虚半轴长为虚半轴长为b=3b=3焦点的坐标是焦点的坐标是(0,-5), (0,5)渐近线方程渐近线方程xy34例题讲解例题讲解 例例 :求双曲线求双曲线的实半轴长和虚半轴长的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标焦点坐标、离心率离心率、渐近线方程渐近线方程, ,并画出它的草图并画出它的草图. .14416922xy解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程191622xy离心率离心率45ac

10、e5342222bacxyo-aab-bxbay返回返回(b,a)小小 结结xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象y xo求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点和顶点坐标焦点和顶点坐标、离心率离心率、渐近线的方程渐近线的方程: :328) 1 (22 yx课课 堂堂 练练 习习12549)2(22yx注意注意: 解题过程中的解题过程中的“化化”和和“判判”课课 堂堂