第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 用用 N 表示表示FIR滤波器单位脉冲响应滤波器单位脉冲响应h(n)的长度，其的长度，其系统函数系统函数H(z)为为 H(z)是是z1的的N1次多项式，次多项式， 有有N1个零点，在原点个零点，在原点z

2、=0处有处有一个一个N1重极点。重极点。 因此，因此，H(z)永远稳定永远稳定。 稳定稳定和和线性相位线性相位特性是特性是FIR滤波器最突出的优点。滤波器最突出的优点。 FIR滤波器设计任务：滤波器设计任务： 选择有限长度的选择有限长度的h(n)，使频率响应函数，使频率响应函数H(ej)满足技满足技术指标要求。术指标要求。10)()(NnnznhzH第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 1. 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 对于长度为对于长度为N的的h(n) ，传输函数为，传输

3、函数为10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe Hg()：幅度特性幅度特性 ()：相位特性相位特性 注注：Hg()为为的实函数，可能取负值的实函数，可能取负值 |H(ej)|总是正值。总是正值。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 线性相位线性相位FIR滤波器是指滤波器是指()是是的线性函数的线性函数，即，即 (2)式式()不具有线性相位，但以上二式都满足群时不具有线性相位，但以上二式都满足群时延（相位特性曲线的斜率）是一个常数，即延（相位特性曲线的斜率）是一个常数，即 满足满足(1)式是式是第一类线性相位第一类线性相位； 满足满

4、足(2)式是式是第二类线性相位第二类线性相位。 ( )dd ( ) 为常数00( ) 为起始相位02 是第二类线性相位特性常用的情况是第二类线性相位特性常用的情况。(2)(1)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2. 线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件满足线性相位时，对满足线性相位时，对h(n)的约束条件的约束条件。1) 第一类线性相位对第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件 第一类线性相位的相位函数：第一类线性相位的相位函数： 可得可得:1jjjg0(e)( )e( )e NnnHh nH1g0( )(cosjsin)( )(cosjsi

5、n) Nnh nnnH( ) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计由上式得到由上式得到:1010( )coscossin( )sinNnNnh nnh nn1g01g0( )cos( )cos ( )sin( )sinNnNnHh nnHh nn1g0( )(cosjsin)( )(cosjsin) Nnh nnnH两式相除得到：两式相除得到：1100( )cossin( )sincosNNnnh nnh nn即即第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 移项并用三角公式化简得到移项并用三角公式化简得到: 满足上式的一组解是：满足上式

6、的一组解是： 函数函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N 1)/2奇对称奇对称。 因为因为sin(n)关于关于n=奇对称奇对称，如果取，如果取=(N1)/2， 则要求则要求 h(n)关于关于(N1)/2偶对称偶对称。 所以要求所以要求和和h(n)满足如下条件满足如下条件: 10( )sin ()0Nnh nn1100( )cossin( )sincosNNnnh nnh nn( ) , ( )(), 12101Nh nh NnnN 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 要求单位脉冲响应为要求单位脉冲响应为h(n)、长度为、长度为N的的F

7、IR数字滤波数字滤波器具有第一类线性相位特性（严格线性相位特性），则器具有第一类线性相位特性（严格线性相位特性），则 h(n)应当关于应当关于n=(N 1)/2点偶对称点偶对称。 当当N确定时，其相位特性是一个确知的线性函数：确定时，其相位特性是一个确知的线性函数： N为奇数和偶数时，为奇数和偶数时，h(n)的对称情况如表的对称情况如表7.1.1中的中的情况情况1和情况和情况2所示。所示。( ) , ( )(), 12101Nh nh NnnN ( )(1)/ 2N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域

8、特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2) 第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第二类线性相位的相位函数第二类线性相位的相位函数 可得可得:满足上式的一组解是：满足上式的一组解是：函数函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对称奇对称。 因为因为cos(n)关于关于n=偶对称偶对称，如果取，如果取=(N1)/2， 则要求则要求 h(n)关于关于(N1)/2 奇对称奇对称。 所以要求所以要求和和h(n)满足如下条件：满足如下条件：1jjj( /2)g0(e)( )e(

9、)eNnnHh nH10( )cos ()0Nnh nn( )2 经同样的推导得经同样的推导得( ) , ( )(), 122101Nh nh NnnN 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计即：即： 如果要求单位脉冲响应为如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为、长度为N的的FIR数数字滤波器具有第二类线性相位特性，则字滤波器具有第二类线性相位特性，则 h(n)应当关于应当关于n=(N1)/2点奇对称点奇对称 当当N确定时，其相位特性是一个确知的线性函数：确定时，其相位特性是一个确知的线性函数： N为奇数和偶数时，为奇数和偶数时，h(n)的对称情况如下表的对称情况

10、如下表7.1.1中中情况情况3和情况和情况4( ) , ( )(), 122101Nh nh NnnN ( )(1)/ 22N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点即：即：线性相位线性相位FIR滤波器的滤波器的频域约束条件频域约束条件 将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)代入下式代入下式 设设h(n)为实序列，针

11、对两类线性相位以及为实序列，针对两类线性相位以及N取奇数取奇数和偶数，分四种情况讨论幅度特性和偶数，分四种情况讨论幅度特性Hg()的约束条件。的约束条件。10()( )Njj nnH eh n e 为了推导方便，引入两个参数：为了推导方便，引入两个参数： 1,2N12NM：取不大于：取不大于(N1)/2的最大整数。的最大整数。显然，仅当显然，仅当N为奇数为奇数时，时，M=(N1)/2 12N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计情况情况1： h(n)=h(Nn1)，N为奇数为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和 代入式代入式 得到得到:(

12、 ) 1()0()( )()( )Njj njjgnH eh n eH eHe 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计所以所以幅度特性幅度特性Hg()分析：分析： 因为因为 关于关于=0, , 2三点三点偶对称偶对称 所以所以 Hg() 关于关于=0, , 2三点三点偶对称偶对称 因此，因此，情况情况1： h(n)=h(Nn1)，N为奇数为奇数。 可以实现可以实现各种滤波器：各种滤波器：低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻 。1g0( )( )2 ( )cos ()MnHhh nncos ()n 对对N=13 的低通情况，的低通情况，Hg()如表如表7.1

13、.1中情况中情况1所示。所示。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.0 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计情况情况2： h(n)=h(Nn1)，N为偶数为偶数。仿照情况仿照情况1的推导方法得到的

14、推导方法得到:1jjjjg00(e)( )e =( )ee2 ( )cos( ()NMnnnHHh nh nng0( )2 ( )cos ()MnHh nn式中，式中，因为因为是偶数，所以当时是偶数，所以当时(1)/2/21/2NN cos ()cossin022NNnnn 幅度特性幅度特性Hg()分析：分析：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计因为因为 关于关于过零点过零点奇对称奇对称，关于关于=0和和2偶对称偶对称。所以所以 关于关于=奇对称奇对称，关于关于=0和和2偶对称偶对称。 因此，因此，情况情况2： h(n)=h(Nn1)，N为偶数为偶数。 不能实现

15、不能实现高通高通和和带阻带阻滤波器。滤波器。对对N=12 的低通情况，的低通情况，Hg()如表如表7.1.1中情况中情况2所示。所示。g0( )2 ( )cos ()MnHh nncos ()n ( )0,( )ggHH 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.0 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性

16、一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计情况情况3： h(n)=h(Nn1)，N为奇数。为奇数。将时域约束条件：将时域约束条件： h(n)=h(Nn1)和和代入式代入式并考虑并考虑得到得到:102Nh 10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe ( )2 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计1g0( )2 ( )sin ()MnHh nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计N是奇数，是奇数，=(N1)/2是整数。是整数。所以，所以，当当=

17、0，2时，时， 而且而且 关于关于过零点过零点奇对称奇对称。因此因此Hg()关于关于=0，2三点三点奇对称奇对称。由此可见，由此可见，情况情况3：h(n)=h(Nn1)，N为奇数。为奇数。只能实现只能实现带通带通滤波器。滤波器。对对N=13的带通滤波器举例，的带通滤波器举例，Hg()如表如表7.1.1中情况中情况3所示。所示。幅度特性幅度特性Hg()分析：分析：1g0( )2 ( )sin ()MnHh nnin)0s(n sin ()n 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.0 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器

18、幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计情况情况4： h(n)=h(Nn1)，N为偶数为偶数。用情况用情况3的推导过程可以得到的推导过程可以得到:幅度特性幅度特性Hg()分析：分析： N是偶数，是偶数，=(N1)/2=N/21/2。当当=0，2时，时， 当当=时，时， ，为峰值点。，为峰值点。而而 关于过零点关于

19、过零点=0、2奇对称奇对称，关于峰值点，关于峰值点=偶对称偶对称因此，因此，Hg()关于关于=0、2奇对称奇对称，关于，关于=偶对称偶对称。所以，所以，情况情况4不能实现不能实现低通低通和和带阻带阻滤波器。滤波器。对对N=12的高通滤波器举例，的高通滤波器举例，Hg()如表如表7.1.1中情况中情况4所示。所示。g0( )2 ( )sin ()MnHh nnin)0s(n /2sin ()( 1)n Nn sin ()n 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.0 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ej

20、H)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计注意注意: 对每一种情况表中仅画出满足幅度特性要求的一种例图对每一种情况表中仅画出满足幅度特性要求的一种例图 例如，情况例如，情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情况以画出满足情况1的幅度约束条件（的幅度约束条件（Hg()关于关于=0, ,

21、 2三点三点偶对称）的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。偶对称）的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。 所以，仅从表所以，仅从表7.1.1就认为情况就认为情况1只能设计低通滤波器是只能设计低通滤波器是错误的。错误的。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3. 线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点 将将 h(n)=h(N1n) 代入上式代入上式, 得到得到:10( )( )NnnH zh n z 110011(1)(1)100(1)1( )( )(1)()()()()NNnnnnNNNmNmmmNH zh n zh Nn zh

22、 m zzh mzzH z 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计由上式可以看出：由上式可以看出：如如 z = zi 是是H(z)的零点，其倒数的零点，其倒数也必然是其零点；也必然是其零点；又因为又因为h(n)是实序列，是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，的零点必定共轭成对，因此也是其零点。所以：因此也是其零点。所以：线性相位线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了确定其中一个，另外三个零点也就确定了, 如图如图7.1.1中中。当然，也有一些。当然，也有一些特殊情况，如图特殊情况，如图7

23、.1.1中中z1、z2和和z4情况。情况。1iz*1*)(iizz 和1*13333)、 、(zzzz11(1)100( )( ) (1)()NNnnNnnH zh n zh Nn zzH z 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布数字滤波器的零点分布第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计作作 业业第七章第七章习题与上机题习题与上机题课本第课本第235页页1、3、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤

24、波器滤波器7.2.1 窗函数法设计原理窗函数法设计原理设希望逼近的滤波器频率响应函数为设希望逼近的滤波器频率响应函数为Hd(ej)，其，其单位脉冲响应是单位脉冲响应是hd(n)。ccde )e (21)(e )()e (jjddjdjdnnnHnhnhHjdd(e)( )(z)Hh nH 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 通常以理想滤波器作为通常以理想滤波器作为Hd(ej)，其幅度特性逐段恒定，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非是无限时宽的，且是非因果序列因果序列。例如：线性相位理想低通

25、滤波器。例如：线性相位理想低通滤波器频率响应函数频率响应函数Hd(ej):单位脉冲响应单位脉冲响应hd(n)：jjcdce|(e)H 0ccjjccdcsin()( )eed()annh nn 12hd(n)是无限长非因果序列。是无限长非因果序列。hd(n)的波形如图的波形如图7.2.1（a）所示。）所示。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.1 窗函数设计法的时域波形（矩形窗，窗函数设计法的时域波形（矩形窗，N=30）第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计目标：目标：构造一个长度为构造一个长度为N的的第一类线性相位第一类

26、线性相位FIR滤波器滤波器方法：方法：将将hd(n)截取截取一段，并保证截取的一段一段，并保证截取的一段关于关于n=(N-1)/2 偶对称偶对称。设截取的一段用。设截取的一段用h(n)表示，即表示，即 RN(n)是一个矩形序列，长度为是一个矩形序列，长度为N。当。当 取值为取值为(N1)/2时，截取的一段时，截取的一段h(n) 关于关于n=(N1)/2偶对称，保证所设计偶对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。的滤波器具有线性相位。 h(n)就是所设计滤波器的单位脉冲响应，长度为就是所设计滤波器的单位脉冲响应，长度为N，其，其系统函数为系统函数为H(z)，d( )( )( )Nh nh n Rn

27、 ( )( )NnnH zh n z 10第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.1 窗函数设计法的时域波形（矩形窗，窗函数设计法的时域波形（矩形窗，N=30）第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计RN(n)（矩形序列）起对无限长序列的截断作用，（矩形序列）起对无限长序列的截断作用，可以把可以把RN(n)看做一个窗口看做一个窗口，h(n)则是从窗口看到的一则是从窗口看到的一段段hd(n)序列序列，所以称，所以称h(n)=hd(n)RN(n)为用矩形窗对为用矩形窗对hd(n)进行进行加窗处理。加窗处理。 用有限长的序列用有限长

28、的序列 h(n) 去代替去代替 hd(n)，肯定会引起误，肯定会引起误差，在差，在频域频域会出现会出现吉布斯（吉布斯（Gibbs）效应（）效应（截断截断效应）：效应）： 1. 引起过渡带加宽引起过渡带加宽 2. 通带和阻带内出现波动，尤其使阻带的衰减小。通带和阻带内出现波动，尤其使阻带的衰减小。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.2 吉布斯效应吉布斯效应第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 Hd(ej)是以是以2为周期的函数，可展为傅里叶级数：为周期的函数，可展为傅里叶级数：傅里叶级数的系数为傅里叶级数的系数为hd(

29、n)，是，是Hd(ej)对应的单位脉冲响应。对应的单位脉冲响应。 设计设计FIR滤波器：滤波器： 根据要求找到根据要求找到N个傅里叶级数系数个傅里叶级数系数h(n)，n=0,1, 2, , N1，以，以N项傅氏级数项傅氏级数h(n)近似代替无限项傅氏级数近似代替无限项傅氏级数hd(n) 。 因此，因此，在一些频率不连续点附近会引起较大误差，在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这这种误差就是种误差就是截断效应截断效应。 窗函数法也称为傅氏级数法。窗函数法也称为傅氏级数法。jjdd(e)( )ennHh n 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计jjj()dR(e)

30、(e )(e)dHHW 12 根据傅里叶变换的频域卷积定理：根据傅里叶变换的频域卷积定理： d( )( )( )Nh nh n Rn 分析：用矩形窗截断的影响和改进的措施分析：用矩形窗截断的影响和改进的措施ccde )e (21)(e )()e (jjddjdjdnnnHnhnhHHd(ej)和和WR(ej)分别是分别是hd(n)和和RN(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计jjRj ()jRg()( )eesin(/ ) e( )esin(/ )NNjnnRnnNWewnNW 110011222WRg()：矩形窗的幅度函数：矩形

31、窗的幅度函数WRg()的主瓣：的主瓣：图中图中2/N, 2/N 区间上的一段波形区间上的一段波形WRg()的旁瓣：的旁瓣：其余较小的波动。其余较小的波动。 Rgsin(/ )( )sin(/ )NNW 2122，第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.3 矩形窗加窗效应矩形窗加窗效应Rgsin(/ )( )sin(/ )NNW 2122，cdgc|( )| 10H 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计按照式按照式cdgc|( )| 10H jjj()dR(e)(e )(e)dHHW 12jjcdce|(e )H 0理想低通

32、滤波器的幅度特性函数（图理想低通滤波器的幅度特性函数（图7.2.3(a)）为：）为：j-jddg(e)( )eHH 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.3 矩形窗加窗效应矩形窗加窗效应Rgsin(/ )( )sin(/ )NNW 2122，cdgc|( )| 10H 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将将Hd(ej)和和WR(ej)代入式代入式jjj()dgRgjdgRgg(e)( )e()ede( )()d( )jHHWHWHe 1212则则gdgRg( )( )()dHHW 12得到：得到：jjj()dR(e)(

33、e )(e)dHHW 12 加窗后的滤波器的幅度特性等于加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅理想低通滤波器的幅度特性度特性Hdg()与与矩形窗幅度特性矩形窗幅度特性WRg()的的卷积卷积。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.3 矩形窗加窗效应矩形窗加窗效应Rgsin(/ )( )sin(/ )NNW 2122，cdgc|( )| 10H gdgRg( )( )()dHHW 12第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.3(f)表示表示Hdg()与与WRg()卷积形成的卷积形成的Hg()波形波形当当=0时

34、，时，Hg(0)等于图等于图7.2.3(a)与与(b)两波形乘积的积两波形乘积的积分，相当于对分，相当于对WRg()在在c之间一段波形的积分，之间一段波形的积分，当当c2/N时，近似为时，近似为之间波形的积分。之间波形的积分。 1. 将将Hg(0)值归一化到值归一化到1。当。当=c时，情况如图时，情况如图7.2.3(c )所示，当所示，当c 2/N时，积分近似为时，积分近似为WRg()一半波形一半波形的积分，对的积分，对Hg(0)归一化后的值近似为归一化后的值近似为1/2。gdgRg( )( )()dHHW 12第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3. 当当=c

35、2/N时，情况如图时，情况如图7.2.3（d）所示，）所示，WR()主瓣完全在区间主瓣完全在区间c, c之内，而最大之内，而最大的一个负旁瓣移到区间的一个负旁瓣移到区间c, c之外，因此之外，因此Hg(c2/N)有一个最大的正峰。有一个最大的正峰。当当=c+2/N时，情况如图时，情况如图7.2.3（e）所示，）所示，WRg()主瓣完全移到积分区间外边，由于最大的主瓣完全移到积分区间外边，由于最大的一个负旁瓣完全在区间一个负旁瓣完全在区间c, c内，因此内，因此Hg(c+2/N)形成最大的负峰。形成最大的负峰。4. Hg()最大的正峰与最大的负峰对应的频率相距最大的正峰与最大的负峰对应的频率相距

36、4/N。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（1） 在理想特性不连续点在理想特性不连续点=c附近形成附近形成过渡带过渡带。过渡带。过渡带的宽度近似等于的宽度近似等于WRg()主瓣宽度主瓣宽度4/N。（2） 通带内产生了通带内产生了波纹波纹，最大的峰值在，最大的峰值在c2/N处。阻带处。阻带内产生了内产生了余振余振，最大的负峰在，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg()旁瓣幅度的大小旁瓣幅度的大小直接影响直接影响Hg()波纹幅度的大小。波纹幅度的大小。 以上两点就是对以上两点就

37、是对hd(n)用矩形窗截断后的吉布斯效应：用矩形窗截断后的吉布斯效应： 通带内的波纹影响滤波器通带的平稳性，通带内的波纹影响滤波器通带的平稳性， 阻带内的波纹影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满阻带内的波纹影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术指标要求。足技术指标要求。 如何减少吉布斯效应的影响？如何减少吉布斯效应的影响？ 通过以上分析，对通过以上分析，对hd(n)加矩形窗处理后，加矩形窗处理后，Hg()与原与原理想低通理想低通Hdg()的差别有两点：的差别有两点：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计增加矩形窗长度是否可减少吉布斯效应的影响？增加矩形窗长度是

38、否可减少吉布斯效应的影响？ 分析一下分析一下N加大时加大时WRg()的变化：的变化： 在主瓣附近，按照式（在主瓣附近，按照式（7.2.5），），WRg()可近似为可近似为 该函数的性质：该函数的性质：随随x加大（加大（N加大），加大），主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；1. N加大时，加大时，WRg()的的主瓣和旁瓣宽度变窄，波动的频主瓣和旁瓣宽度变窄，波动的频率加快。率加快。Rgsin(/ )sin(/ )sin( )sin(/ )/NNxWNx 2222第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数

39、字滤波器的设计三种不同长度的矩形窗函数的幅度特性三种不同长度的矩形窗函数的幅度特性WRg()曲线如图曲线如图7.2.4(a)、(b)、(c)所示。所示。 用这三种窗函数设计的用这三种窗函数设计的FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性Hg()曲线如图曲线如图7.2.4(d)、(e)、(f) 所示。所示。 因此，当因此，当N加大时，加大时，Hg()的波动幅度没有多大的波动幅度没有多大改善，改善，带内最大肩峰比带内最大肩峰比H(0)高高8.95%，阻带最大负峰，阻带最大负峰值为值为H(0)的的8.95%，使阻带最小衰减只有，使阻带最小衰减只有21 dB。加。加大大N只能使只能使Hg()过渡带变窄（过

40、渡带近似为主瓣宽过渡带变窄（过渡带近似为主瓣宽度度4/N）。）。因此加大因此加大N, 并不是减小吉布斯效应的有并不是减小吉布斯效应的有效方法。效方法。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.4 矩形窗函数长度的影响矩形窗函数长度的影响第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计分析表明：分析表明： 调整窗口长度调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，只能有效地控制过渡带的宽度，而要而要减少带内波动减少带内波动以及以及增大阻带衰减增大阻带衰减，只能从，只能从窗函窗函数的形状数的形状上找解决问题的方法。上找解决问题的方法。 构造新的

41、窗函数形状，使其构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。总是以加宽过渡带为代价的。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.2 典型窗函数介绍典型窗函数介绍几种常用窗函数的几种常用窗函数的时域表达式时域表达式、时域波形时域波形、幅度特幅度特性函数性函数（衰减用（衰减用dB计量）曲线，计量）曲线， 用该窗函数设计的用该窗函数设计的FIR数字滤波器的

42、数字滤波器的单位脉冲响应单位脉冲响应和和损耗函数曲线损耗函数曲线。 Hd(ej)取理想低通，取理想低通，c=/2，窗函数长度，窗函数长度N=31。窗函数的几个参数窗函数的几个参数:旁瓣峰值旁瓣峰值 n：窗函数的幅频函数：窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁瓣的最大的最大旁瓣的最大 值相对主瓣最大值的衰减值（值相对主瓣最大值的衰减值（dB）过渡带宽度过渡带宽度Bg：用该窗函数设计的：用该窗函数设计的FIR数字滤波器的过渡数字滤波器的过渡 带宽度带宽度阻带最小衰减阻带最小衰减 s：用该窗函数设计的：用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减的阻带最小衰减第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉

43、冲响应数字滤波器的设计图图7.2.4所示的矩形窗的参数为所示的矩形窗的参数为: n = 13 dB Bg = 4/N s = 21 dBRgsin(/ )( )sin(/ )NW 221 矩形窗矩形窗（Rectangle Window）wR(n) = RN(n) 其幅度函数为其幅度函数为第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2 三角形窗三角形窗（Bartlett Window）其频谱函数为其频谱函数为1) 1(21122) 1(21012)(BNnNNnNnNnn，21j2jBe)2/sin(4/sin2)e (NNNW第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限

44、脉冲响应数字滤波器的设计其幅度函数为其幅度函数为 三角窗的四种波形如图三角窗的四种波形如图7.2.5所示，参数为所示，参数为: n = 25 dB Bg = 8/N s = 25 dB2Bg2sin(/4)( )sin(/2)NWN第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.5 三角窗的四种波形三角窗的四种波形第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3 汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗HnN2( )0.5 1 cos( )1nwnRnN1jj2HnHnHngjHnHn1j2RgRgRg1j2Hng(e )( )(

45、 )e(e )( )22 0.5( )0.25e11 ( )eNNNWFTnWWFT WnWWWNNW第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计当当N1时，时， N1N 汉宁窗的幅度函数汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.6所示，参数为所示，参数为: n = 31 dB Bg = 8/N s = 44 dBHngRgRgRg22( )0.5( )0.25WWWWNN第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设

46、计图图7.2.6 汉宁窗的四种波形汉宁窗的四种波形第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗其频谱函数其频谱函数WHm(ej)为为HmN( ).cos( )nnRnN 20 540 461jjEHmRRR(e ).(e ).(e).(e)ENNWWWW 2211054023023第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计其幅度函数其幅度函数WHmg()为为当当N时，其可近似表示为时，其可近似表示为1223. 01223. 0)(54. 0)(RgRgRgHmgNWNWWWNWN

47、WWW223. 0223. 0)(54. 0)(RgRgRgHmg第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占主瓣的能量约占99.963%，旁瓣峰值幅度为，旁瓣峰值幅度为40dB，但，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为8/N。 哈明窗是一种高效窗函数，所以哈明窗是一种高效窗函数，所以MATLAB窗函数窗函数设计函数的默认窗函数就是哈明窗。设计函数的默认窗函数就是哈明窗。 哈明窗的四种波形如图哈明窗的四种波形如图7.2.7所示，参数为所示，参数为

48、: n = 41 dB Bg = 8/N s = 53 dB第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.7 哈明窗的四种波形哈明窗的四种波形第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计5 布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗其频谱函数为其频谱函数为)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(BlnRNnNnnN）（）（）（14jR14jR12jR12jRjRjBlee04. 0 e)e (25. 0)e (42. 0)e (NNNNWWWWWW第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计其

49、幅度函数为其幅度函数为 其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的幅度也不同的WRg()函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的3倍。布莱克曼窗的四种波形如图倍。布莱克曼窗的四种波形如图7.2.8所示，参数为所示，参数为: n = 57 dB B =12/N s = 74 dB141404. 0 121225. 0)(42. 0)(RgRgRgRgRgBlgNWNWNWNWWW第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响

50、应数字滤波器的设计图图7.2.8 布莱克曼窗的四种波形布莱克曼窗的四种波形第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计6 凯塞凯塞贝塞尔窗（贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window）以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。 （7.2.15）式中式中10)()()(00kNnIIn，21121Nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计

51、I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一般一般I0()取取1525项，便可以满足精度要求。项，便可以满足精度要求。 参数参数可以控制窗的形状。一般可以控制窗的形状。一般 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为小，典型数据为4 9。 当当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。时，窗函数接近布莱克曼窗。 在设计指标给定时，可以调整在设计指标给定时，可以调整 值，使滤波器阶数最值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。凯塞（低，所以其性能最优。凯塞（Kai

52、ser）给出的估算）给出的估算和滤和滤波器阶数波器阶数N的公式如下的公式如下:2011( )1! 2kkIk 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.2.17） 式中，式中，Bt=|sp|, 是数字滤波器过渡带宽度。应当注是数字滤波器过渡带宽度。应当注意，因为式（意，因为式（7.2.17）为阶数估算，所以必须对设计结）为阶数估算，所以必须对设计结果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯塞窗的幅度函数为塞窗的幅度

53、函数为（7.2.16） ss0.4ssss0.112(8.7),50 dB0.5842(21)0.07886(21),2150 dB0,21st82.285NB第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)/2kgkk1( )(0)2( )cosNnWww nn（7.2.18）对对 的的8种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表7.2.1中，中，供设计者参考。由表可见供设计者参考。由表可见, 当当 =5.568时时, 各项指标都各项指标都好于哈明窗。好于哈明窗。6种典型窗函数基本参数归纳在表种典型窗函数基本参数归纳在表7.2.2中，中，可

54、供设计时参考。可供设计时参考。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表表7.2.2 6种窗函数的基本参数种窗函数的基本参数 表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计的的FIR数字滤波器的频率响应指标。数字滤波器的频率响应指标。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.4 常用的窗函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字

55、滤波器的设计 随着数字信号处理的不断发展，学者们提出的窗随着数字信号处理的不断发展，学者们提出的窗函数已多达几十种，除了上述函数已多达几十种，除了上述6种窗函数外，比较有名种窗函数外，比较有名的还有的还有Chebyshev窗、窗、Gaussian窗等。窗等。 MATLAB信号处理工具箱提供了信号处理工具箱提供了14种窗函数的产种窗函数的产生函数，下面列出上述生函数，下面列出上述6种窗函数的产生函数及其调用种窗函数的产生函数及其调用格式：格式： 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计wn=boxcar(N)列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的矩形窗函数的矩形

56、窗函数w(n)wn=bartlett(N) 列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的三角窗函数的三角窗函数w(n)wn=hanning(N) 列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的汉宁窗函数的汉宁窗函数w(n)wn=hamming(N) 列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的哈明窗函数的哈明窗函数w(n)wn=blackman(N) 列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的布莱克曼窗函数的布莱克曼窗函数w(n)wn=kaiser(N, beta) 列向量列向量wn中返回长度为中返回长度为N的凯塞的凯塞贝塞尔窗函数贝塞尔窗函数w(n)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有

57、限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.3 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器的步骤如下：滤波器的步骤如下：（1）根据对）根据对过渡带过渡带及及阻带衰减阻带衰减的指标要求，选择的指标要求，选择窗函数的类型窗函数的类型，并估计，并估计窗口长度窗口长度N。 a：窗函数类型选择：窗函数类型选择： 按照按照阻带衰减阻带衰减选择选择 原则：在原则：在保证阻带衰减保证阻带衰减满足要求的情况下，尽满足要求的情况下，尽量量选择主瓣窄的窗函数选择主瓣窄的窗函数。 b：窗口长度：窗口长度N估计：估计： 根据根据过渡带宽度过渡带宽度。第第7章章 有限脉冲响

58、应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（2）构造希望逼近的频率响应函数）构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)，即，即 对所谓的对所谓的“标准窗函数法标准窗函数法”，就是选择，就是选择Hd(ej)为为线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻）。通、理想带阻）。jj(1)/2ddg(e)( )eNHH理想滤波器的截止频率理想滤波器的截止频率c近似位于最终设计的近似位于最终设计的FIRDF的过渡带的中心频率点，幅度函数衰减一半（约的过渡带的中心频率点，幅度函数衰减一半（约6 dB）。所以如果设计指标给定通带边界频率和阻带）。所

59、以如果设计指标给定通带边界频率和阻带边界频率边界频率p和和s，一般取，一般取2spc第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（3）计算）计算hd(n)。 如果给出待求滤波器的频响函数为如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ej)，那么单，那么单位脉冲响应用下式求出：位脉冲响应用下式求出：jjdd( )(e)ednh nH 12如果如果Hd(ej)较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不能用上式求出能用上式求出hd(n)。可以采用频域采样法求取。可以采用频域采样法求取。（4）加窗得到设计结果：）加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n

60、)。 （5）验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率）验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：响应用下式计算：10()( )Njj nnH eh n e第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计【例例7.2.1】 用窗函数法设计线性相位高通用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求，要求通带截止频率通带截止频率p=/2 rad，阻带截止频率，阻带截止频率s=/4 rad，通，通带最大衰减带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=40 dB。解：解：（1）选择窗函数）选择窗函数w(n)，计算窗函数长度，计算窗函数长度N。 已知阻带