-微积分的基本公式ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程授课老师：刘长荣第七章 一元函数积分学第四节 微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式本讲学习要求 理解积分上限函数的概念、求导定理 及其与原函数的关系; 熟悉牛顿莱布尼兹公式.一. 积分上限函数 (变上限的定积分) , , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数baxf . d)(I 与之对应确定的定积分值baxxf与它的上下限的定积分这意味着 d)( )( baxxfxf . 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . , d)(d)()( baxttfxxfxxaxaOxyabx x)(xfy 积分上限函

2、数的几何意义Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义xattf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 ,d)(d)( 有由积分的性质：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我们只需讨论积分上限函数. d)( 称为积分下限函数bxttf证证 . ),(d)()( ),()( baCttfxbaRxfxa则若 , , , , 则且baxxbax)()()(xxxxxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( .| )(| , )( ),()( MxfbaxfbaRxf上有界：在故又xMttfttfxxxxxxx d| )(| |d)(|

3、| )(|0 于是 . ),()( , baCxx即可得的任意性由夹逼定理及点 . , : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理ba ?积分上限函数是否可导 ,d)()()( xxxttfxxx由 , ),()( 得则由积分中值定理如果baCxf , )(d)()()( xfttfxxxxxx) (之间与在xxxxxfxxxxxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx这说明了什么这说明了什么 ？ 条件, d)()( ),()( battfxbaCxfxa在则若 , 且上可导 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxa例1) dcos (xatt dco

4、sddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定积分与积分变量的记号无关定积分与积分变量的记号无关. )(x .cos) dcos ( xxxxa例2 . )( , d)1sin()( 2 0 2xttxx求设解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xgxttugxuu则令xuugxdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗? , 一般地 , )( , )( 则可导若Cxfx . )()() d)( ()()( xxfttfxxa例3解 . dlim 21 c

5、os 02xtextx计算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0 . 2121ee罗必达法则罗必达法则 )()() d)( ()( xxfttfxa下面再看定理 2 . )()( d)()( 你会想到什么？及由xfxttfxxa, d)()( ),()( battfxbaCxfxa在则若 , 且上可导 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxa . )()()( , )( xfxFCxFxF则存在若 . , )( 则必有无穷多个若存在这样的xF .)()( ),()( ),()( 2121CxFxFxfx

6、FxfxF则若 . d)( , )( baxxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxFxa d)()()()(d)( aFbFxxfba定积分的计算定积分的计算问题转化为问题转化为: :已已知函数的导函知函数的导函数数, ,求原来函数求原来函数的问题的问题 . . 二. 微积分基本公式1. 原函数的定义 )( , )()( I 为则称上有若在某区间xFxfxF . I )(上的一个原函数在区间xf , :则一个函数要有原函数由前面的讨论可知 : , 他们构成一个函数族必有无穷多个原函数 . )(CxF )( )( 的所有原函数？是否包含了我们要问：xfCxF I )( )( ),( 上

7、的任意两个在区间是设xfxGxF , 则有原函数 . I , )()( ),()(xxfxGxfxF. ) ( I )()( 为常数即CxCxFxG . I ,)()( xCxFxG故 . :差一个常数任意两个原函数之间相就是说 . )( )(的所有原函数包含了xfCxF , I , 0)()() )()( xxGxFxGxF于是例4 , 2sincossin2)(sin2xxxx , 2sin)sin(cos2)cos(2xxxx cos)( , sin)( 22xxGxxF故 . 2sin)( 的原函数都是xxf: )()( CxGxF验证1cossin)cos(sin2222xxxx .

8、 1 C即 , I )( 则它上的原函数存在在区间若xf则它的所的一个原函数为若 , )( )( xfxF . )( 的形式有原函数可表示为CxF ) . ,(为任意常数其中 C .仅相差一个常数的任意两个原函数之间问 题 什么样的函数的原函数一定存在？, ,d)()( ),()( baxttfxFbaCxfxa则若 . , )( 上的一个原函数在为baxf . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若xfCxf 推论推论1 推论推论2 .域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论推论3 .区间内原函数存在初等函数在其有定义的上在为则如果 , )( d)( ),()( baxfttfba

9、Cxfxa .的一个原函数 , )( )( 则有的原函数为若已知xfxF .)(d)(0 CxFttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 aFCCaFttfaxaa故则令 , 则得到取bx . )()(d)(d)( aFbFxxfttfbaba2. 微积分基本公式基本公式基本公式 ) (莱布尼茨公式牛顿 , )( )( ),()( 上的在为若baxfxFbaCxf , 则一个原函数 ).()( )(d)( aFbFxFxxfbaba . 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式牛顿例5 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx 问题的关键是如何求一个函数的原函数.例61 1 2d11xx d2cos4 0 xx .2) 1arctan(1arctan arctan1 1x .21)0sin42(sin21 2sin2140 x例7 . d2cos1 0 xx计算解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2