金融工程学-第六讲-B-S公式

1、整理整理ppt1金融工程学金融工程学课程课程 第六讲第六讲整理整理ppt2欧式期权定价欧式期权定价轶事轶事 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年年金融学家金融学家F. Black与与M. Scholes发表了发表了“期权定价与公司期权定价与公

2、司负债负债”的著名论文的著名论文 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法制方法成为期权定价研究的经典方法 M. Scholes主要因为这一工作与主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖整理整理ppt3欧式期权定价欧式期权定价轶事轶事 巧合的是，国际上第一个期权

3、交易所巧合的是，国际上第一个期权交易所芝加哥芝加哥期权交易所于期权交易所于1973年年4月底挂牌营业，略早于月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（公式的正式发表（5-6月号）月号） 两位作者最先把论文投给两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： 金融太多，经济学太少金融太多，经济学太少 他们于是向他们于是向经济学与统计学评论经济学与统计学评论投稿，同样在没投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝有得到审稿意见的情况下遭到拒绝 在芝加哥人在芝加哥人E. Fama和和M. Miller与与JPE

4、杂志的编辑杂志的编辑打了招呼以后，打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文才最终发表了这篇论文 这一番波折导致他们检验这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先公式的论文发表在先整理整理ppt4教学内容教学内容风险中性定价风险中性定价标的资产的变化过程标的资产的变化过程B-S期权定价公式期权定价公式波动率的计算波动率的计算二值期权二值期权标的资产支付红利情况下的期权定价标的资产支付红利情况下的期权定价欧式指数期权、外汇期权和期货期权欧式指数期权、外汇期权和期货期权整理整理ppt51. 风险中性定价风险中性定价 风险中性市场，欧式看涨期权风险中性市场，欧式看涨期权max( ( ),0)( ,

5、)CS TXV T w( , )max( ( ),0)rTQrTQCE V T w eeES TX整理整理ppt62.标标的资产价格的变化规律的资产价格的变化规律 确定性模型：确定性模型： 随机模型：随机模型：( )ln()(0)s trtsZttreStS)2(02)() 1 , 0()2()0()(ln(2NZZttrsts整理整理ppt7对数正态分布对数正态分布 在概率论与统计学中，对数正态分布是在概率论与统计学中，对数正态分布是对数对数为正态分布为正态分布的任意随机变量的概率分布。如的任意随机变量的概率分布。如果果 X 是正态分布的随机变量，则是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为

6、对为对数分布；同样，如果数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。为正态分布。 如果一个变量可以看作如果一个变量可以看作是是许多很小独立因子的乘积许多很小独立因子的乘积，则这个变量可，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期连续收益率，它可以看作是股票投资的长期连续收益率，它可以看作是每天连续收益率的乘积。每天连续收益率的乘积。 对于对于 x 0，对数，对数正态分布的概率分布函数为正态分布的概率分布函数为整理整理ppt8整理整理ppt9整理整理ppt10整理整理ppt11马尔科夫过程马尔

7、科夫过程(Markov process) 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关过去无关 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性有效性整理整理ppt12Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)定义定义 瞬时增量为瞬时增

8、量为 增量的均值等于增量的均值等于 0 增量的标准差等于增量的标准差等于zt n Wiener过程，过程，Brown 运动：运动：n 独立增量，在任意两个微小时间段内的独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的改变量是独立的n 每个区间上的增量满足正态分布每个区间上的增量满足正态分布n Wiener过程是过程是Markov过程过程t 整理整理ppt13Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)基本性质基本性质 Wiener过程过程(长时间段内长时间段内)的增量的增量 增量的均值等于增量的均值等于0 增量的标准差等于增量的标准差等于 10Niiz TztNTt T整理整理ppt14股票价格的

9、随机过程股票价格的随机过程GBM 令令S(t)表示股票在表示股票在t时刻的价格，随机微分模型时刻的价格，随机微分模型 Samuelson P.A 1965; Bachelier1990 股票价格的对数过程为股票价格的对数过程为Brown运动运动 股票价格的几何布朗运动模型（股票价格的几何布朗运动模型（GBM）) 1 , 0()(2()()(ln(1212212NZZtttttsts)()()()(tdZtSdttStdS整理整理ppt15例例 考虑一种标的资产，初始价格为考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收，预期收益率为每年益率为每年16，波动率为每年，波动率为每年20。则经。则经过六个

10、月后，资产的价格过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分服从如下概率分布：布：)141. 0 ,759. 3()5 . 02 . 0 , 5 . 0)204. 016. 0(40(ln)(lnNNtS整理整理ppt16实际中实际中GBM的参数估计的参数估计 知道期限知道期限0，T的股价数据记录，将的股价数据记录，将0，T分为分为长度相等的子区间长度相等的子区间 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列U1,U2,Un 第二步计算第二步计算U1,U2,Un的均值和方差的均值和方差 第三步第三步 解方程解方程tStU222)2(整理整理ppt17无套利市

11、场中的无套利市场中的股票价格过程股票价格过程 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立 所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的Brown运动运动 该假设与风险中性原理的吻合该假设与风险中性原理的吻合) 1 , 0()(2()()(ln(1212212NZZttttrtstsreStEStSeStEStrt，可见，在无套利市场中到满足对数正态分布，得又根据00)()()(整理整理ppt183. B-S公式的推导公式的推导 1引入示性函数：引入示性函数：1,|( , )( )0,max( ( ,

12、),0)( ( , )( )( ( , )AAwAw S t wXIwwAS t wxS t wxIw S t wx整理整理ppt19 命题命题1：设：设20221(ln() )21,( )( )0,ASdrtXtZ wdIw 其它整理整理ppt20 事实上，事实上，S(t)X2()202020()ln21(ln() )2()( )( )rttQAQAQAS exXrttZSXZrtStwwEIS tXEI S tXE IA-rt-rt注 意 ,I中 的是 使 期 权 执 行 的 事 件 .C=ee整理整理ppt21 命题命题2： 2()QAE Id 22222( )()1()1()1(1()

13、()QAE IPS tXP ZdP Zdddd 整理整理ppt22 命题命题3：01( ( )()QAEIS tSd-rte其中，其中， 20121(ln() )2SddtrtXt整理整理ppt23定理：定理：Black-Scholes 期权定价公式期权定价公式 012()()rTcS N dXeN d 201()()rTpXeNdS Nd2012lnSrTXdT20212lnSrTXddTT整理整理ppt24对公式的诠释对公式的诠释 其中，其中，N(x)表示的标准正态分布表示的标准正态分布N(0,1)的概率值的概率值 假设股票的连续收益率满足布朗运动，假设股票的连续收益率满足布朗运动， Br

14、own 运动：独立平稳增量随机过程，每个区间上的运动：独立平稳增量随机过程，每个区间上的增量满足正态分布，增量满足正态分布， 即股票价格满足几何布朗运动，即股票价格满足几何布朗运动，ZN(0,1) 利用风险中性定价方法利用风险中性定价方法2()20( )rttZS tS e( , )max( ( ),0)rTQrTQCE V T w eeES TX整理整理ppt25例例 Intel 股价在股价在1998年年5月月22日时的有关数据如下日时的有关数据如下: S=74.625 X=100 T-t=1.646(到期日到期日2000年年1月月) r=0.05 波动率波动率0.375 D1=-0.207

15、，d2=-0.688，N(d1)=0.4164，N(d2)=0.2451 C=$8.37，实际交易通过竞价市场，市价为，实际交易通过竞价市场，市价为$8.25整理整理ppt264.关于波动率的计算关于波动率的计算 历史数据法，隐含波动率法历史数据法，隐含波动率法 历史数据法：历史数据法：前提：在最近的历史期间起主要作用的前提：在最近的历史期间起主要作用的价格波动率，也同样适用于未来的期间。价格波动率，也同样适用于未来的期间。计算一个期间的连续收益率的标准差计算一个期间的连续收益率的标准差再转化为以年为单位的连续收益率的标再转化为以年为单位的连续收益率的标准差准差整理整理ppt27历史数据法计算

16、程序历史数据法计算程序TrrnrnrrrrSSSSSSTnkkTnkknnn1)(11,ln,ln,ln12212112312整理整理ppt28隐含波动率法隐含波动率法 隐含波动率，指的是能使隐含波动率，指的是能使B-S模型价格等于期权当前市模型价格等于期权当前市场价格的标准差的数值场价格的标准差的数值 根据特定的精确度，不断试根据特定的精确度，不断试错的过程错的过程 股票的所有具备相同到期日股票的所有具备相同到期日的期权合约，都应当拥有相的期权合约，都应当拥有相同的波动率。同的波动率。 问题：同一股票的不同合约问题：同一股票的不同合约可能产生不同的隐含波动率可能产生不同的隐含波动率X5月6月

17、7月1200.760.790.851250.750.830.861300.760.830.85美国在线公司的波动率美国在线公司的波动率整理整理ppt29计算方法计算方法 不同隐含波动率的简单平均不同隐含波动率的简单平均 加权平均加权平均 选择股票价格等于执行价格的现值时的期权的选择股票价格等于执行价格的现值时的期权的隐含波动率隐含波动率 Brenner and Subrahmanyam,1988深入探索了，深入探索了，得出得出TSc0)398. 0(整理整理ppt30波动率的期限结构波动率的期限结构 指具有一定执行价格、不同到期日的期权合指具有一定执行价格、不同到期日的期权合约的隐含波动率的差

18、额约的隐含波动率的差额 波动率随着执行价格的变化而变化的模式一波动率随着执行价格的变化而变化的模式一般称为波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线般称为波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线 波动率正确取值的不确定性是吸引投机者的波动率正确取值的不确定性是吸引投机者的原因之一原因之一 马克马克吐温吐温在在Pudd nhead Wilson一书的谚语一书的谚语“相似的想法并不是最好，看法的差异才能相似的想法并不是最好，看法的差异才能使马赛运转起来使马赛运转起来” 整理整理ppt315. 欧式二值期权定价公式欧式二值期权定价公式 二值看涨期权价值二值看涨期权价值 二值看跌期权价值二值看跌期权价值)(2)(det

19、Tr)(1 2)(detTr整理整理ppt326. B-S期权定价公式扩展期权定价公式扩展 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率的时间、无风险利率以及标的股票的波动率 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办

20、法是：问题的办法是： 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而公式中，从而得到欧式期权的价值得到欧式期权的价值 整理整理ppt33离散红利离散红利 D表示期权期限内红利在表示期权期限内红利在0时刻的现值时刻的现值 定理：定理：在上述条件下，在上述条件下，B-S公式扩展为：公式扩展为： 其中，其中， )()()(210dNXedNDScrTTTrXDSd)2(ln201Tdd12整理整理ppt34标的资产支付连续红利的标的资产支付连续红利的欧式期权定价欧式期权定价 下述两种股票下

21、述两种股票在在T时刻时刻的价格分布相同的价格分布相同当前股价为当前股价为 ，支付连续红利，红利率为，支付连续红利，红利率为q q当前股价为当前股价为 ，不支付红利，不支付红利 定价原则：定价原则：在标的股票支付连续红利的欧式在标的股票支付连续红利的欧式期权定价时，可以把它当作标的股票不支付期权定价时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只要用红利的欧式期权，只要用 替代替代当前股价当前股价0S0qTS e 0qTS e 整理整理ppt35欧式股票期权欧式股票期权连续红利连续红利012()()qTrTcS eN dXeN d201()()rTqTpXeNdS eNd2012lnSrqTXd

22、T21ddT整理整理ppt367. 股票指数期权与外汇期权股票指数期权与外汇期权连续红利的连续红利的B-S定价公式可以直接用于股票指数期定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价权与外汇期权的定价股票指数期权：股票指数期权：n 第一笔指数期权合约产生于第一笔指数期权合约产生于1983年年3月月11日，日，CBOE100种股票指数期权，标准普尔种股票指数期权，标准普尔100种股票种股票指数期权。指数期权。n 占全部期权交易总量的占全部期权交易总量的18，在，在CBOE，占其交，占其交易总量的易总量的1/3左右。左右。n 受欢迎的原因有二，第一现金结算，第二作为整受欢迎的原因有二，第一现金结

23、算，第二作为整体市场的期权体市场的期权整理整理ppt37欧式股票指数期权定价公式欧式股票指数期权定价公式012()()qTrTcS eN dXeN d201()()rTqTpXeNdS eNd2012lnSrqTXdT21ddTq为指数的增长率为指数的增长率整理整理ppt38外汇期权外汇期权 外汇期权于外汇期权于1982年引进费城证券交易所，年引进费城证券交易所，到到1999年年12月为止，场外交易的名义价值月为止，场外交易的名义价值为为23000亿美元，合约市场价值总和约为亿美元，合约市场价值总和约为600亿美元。亿美元。 解释：一份解释：一份2月份到期的、执行价为月份到期的、执行价为96的

24、欧的欧元买入期权，意味着持有该买入期权可以元买入期权，意味着持有该买入期权可以用用0.96美元买进一欧元，合约价值是美元买进一欧元，合约价值是100000欧元，期权费每单位欧元欧元，期权费每单位欧元1.27美分。美分。 作业作业1，如果在到期日，即期汇率为，如果在到期日，即期汇率为1.10美美元，如何计算收益？元，如何计算收益？整理整理ppt39加曼科尔哈根外汇期权定价公式加曼科尔哈根外汇期权定价公式 Garman and Kohlagen,1983 例：即期汇率例：即期汇率S97.05，X=96，欧元利率，欧元利率0.0352，美元利率，美元利率0.0568，波动率，波动率0.045，期，期

25、限限0.0767，表示报价货币的利率。表示基础货币的利率，cecTrTrTrrrTddTTrXesddNXedNescece122012102)ln()()(26. 1,8413. 0)(,8438. 0)(, 1,012. 12121cdNdNdd整理整理ppt40期货期权期货期权支付支付 期货期权的到期时间通常稍早于标得期货的到期时间期货期权的到期时间通常稍早于标得期货的到期时间 最活跃的期货期权最活跃的期货期权 CBOT交易的中长期国债期货期权交易的中长期国债期货期权(美式美式) CME交易的欧洲美元期货期权交易的欧洲美元期货期权(美式美式) 买权买权 期货合约多头头寸期货合约多头头寸+

26、相当于期货最新结算价的现金相当于期货最新结算价的现金-期期权执行价权执行价 Max(F-X,0)，其中，其中F表示期权执行时的期货价格表示期权执行时的期货价格 卖权卖权 期货合约空头头寸期货合约空头头寸-相当于期货最新结算价的现金相当于期货最新结算价的现金+期期权执行价权执行价 Max(X-F,0) ，其中，其中F表示期权执行时的期货价格表示期权执行时的期货价格整理整理ppt41期货期权期货期权风险中性下的风险中性下的期望增长率期望增长率 在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望增长率为增长率为(r-q)，其中，其中r为无风险利率，为无风险利率，q为

27、红利率为红利率 签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望增长率为零增长率为零 如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该股票的红利率等于无风险利率股票的红利率等于无风险利率 期货价格等于期货到期日即期价格的期望值期货价格等于期货到期日即期价格的期望值 0r qTtTTTFeE FE FE S 整理整理ppt42期货期权期货期权平价关系平价关系 欧式期权 美式期权0rTrTcXepS e 00rTrTS eXCPSXe 整理整理ppt43期货期权期货期权Black定价定价模型（模型（1976） 假设期货价格过程为假

28、设期货价格过程为 假定期货合约和期权合约同时到期，在连假定期货合约和期权合约同时到期，在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票价格，并且用无风险利率替股票价格，并且用无风险利率 r 替代红替代红利率利率 q ，就得到期货期权的定价公式，就得到期货期权的定价公式dFFdtFdz012()()rTceF N dXN d201()()rTpeXNdF Nd2012ln FXTdT20212ln FXTddTT整理整理ppt44Black模型（模型（1976） 例例: 标准普尔标准普尔500股指期货期权，股指期货期权， 期货价格期货价格=1401， X1400

29、， 到期时间到期时间0.1233, 无风险利率无风险利率0.0543, 波动率波动率0.21, 计算计算C44.88.整理整理ppt458.二叉树模型与二叉树模型与BS模型模型整理整理ppt467. 希腊字母希腊字母- -偏导数偏导数 一、方法论：一、方法论：()( ( )( ( )*( ( )rtQArtQArtQACC XccxxcEeIS txxxEeS txIxEIeS txx整理整理ppt47二、偏导数二、偏导数 1.欧式看涨期权关于执行价格的偏导数欧式看涨期权关于执行价格的偏导数22()0( 1)()rtrtQArtrtQAcedxcE eIxeE Ied 期权费关于执行价格是减函

30、数事实上,整理整理ppt482. Delta值值 欧式看涨期权关于标的资产价格的偏导数欧式看涨期权关于标的资产价格的偏导数2010()2001,()1,*( )(0)1( )()rttrtQArtQArtQAcDeltaScdScE I eeSS tE I eSeEI S tSd 值期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上,整理整理ppt493. Pho 欧式看涨期权关于利率的偏导数欧式看涨期权关于利率的偏导数 2()2( )()etrttrtrtcIeS txrrS tSeE IteS teS t t2()rtrtXetEIXted整理整理ppt504Vega 欧式看涨期权关于波动率的偏导数欧式看涨期权关于波动率的偏导数 命题命题C222122121()21()2()102xxxxdxedxeStdSte命 题 :C波 动 率 增 加 ,期 权 价 格 增 加 .整理整理ppt51引理：引理：222222221221111()221(2)21()2222()()() 121212