08级数理统计试题及答案

1、中南大学考试试卷2009 2010学年第一学期（2010.1 ）时间：100分钟数理统计II 课程 24学时 1.5学分考试形式：闭卷专业年级：2008级（第三学期）总分：100分一、填空题（本题 15分，每题3分）1、 总体XN（20,3）的容量分别为10，15的两独立样本均值差 X -Y ；2、设X1,X2,.,X16为取自总体X N（0,0.52）的一个样本，若已知I2©"母2.0,则 P®X'B8=有问题 _；3、 设总体XN（,；2），若和二2均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为（X 扎X +财，则九的值为4、 设X1,X2,

2、.,Xn为取自总体XN（；2）的一个样本，对于给定的显著性水平 ，已知 关于o'2检验的拒绝域为z 2逬一鼻（n 一1），则相应的备择假设 H1为;5、 设总体XN（»；2），二2已知，在显著性水平0.05下，检验假设H。： ：h,H 1 : ： J , 拒绝域是。11、 N(0,) ;2、0.01;2J(n -1)25、 Z _ Z°.05。二、选择题（本题 15分，每题3分）1、 设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，：是未知参数，以下函数是统计量的为（）。11 3（A）（X1X2X3）（B） X1X2X3（C）-X1X2X3（D） （Xi -）2a3 71

3、 n_2、 设X1,X2” Xn为取自总体XN（d；2）的样本，X为样本均值，S；二一V （Xi -X）2 n 7则服从自由度为n -1的t分布的统计量为（）。、Vn(X -円存(X卩)Jn 1(X -卩)V1(X-!1)(A)(B)(C)( D)坊SnSn3、设X1,X2/ ,Xn是来自总体的样本， D(X)=；2存在，S2(Xi -X)2,n 1 y则（(A) S2是二2的矩估计(B) S2是二2的极大似然估计(C) S2是二2的无偏估计和相合估计(D) S2作为二2的估计其优良性与分布有关4、设总体X N(叫，打),丫N(.,/)相互独立，样本容量分别为n 1, n2，样本方差分别为S：

4、 , &，在显著性水平:-下，检验H0 :打_.；,H1 :；+：；的拒绝域为(A)2 F“-.( n2 1, n1 1)S12s2(B) - 3F G( n2 1 n1 DS1 込2502 - F-.(n1 1, n2 )512S2(D) 兰 F "pi 1 1 n2 -1) 2 1.S125、设总体X N(7 二2)，二 2 已知,Xi,X2, X 是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为 0.95的置信区间为(4.71,5.69)，则取显著性水平-0.05时，检验假设H。：=5.0,比：)=5.0的结果是(A )不能确定(B)接受H0(C)拒绝H。(D)条件不足无法检验

5、1、B； 2、D;3、C； 4、A； 5、B.三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为：f(x)二f2x0,0 ： x :"亠其他，其中未知(2) V的极大似然估计。参数二0，X!，Xn是来自X的样本，求(1 )二的矩估计;2解: (1) E(X)_；xf(x)dx =dx=3 二，令E(f) =X二，得X为参数二的矩估计量。32n 2x.2n n似然函数为：L(xD227丨5 ,0甘 ，(i =1,2, ,n)，im 廿 im而L(R是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为 =maxX1,X2 ,Xn。四、(本题14分)设总体XN(0,二2)，且X1,X2X10是样本观察值，样本

6、方差s2=2，(1 )求!2的置信水平为0.95的置信区间；(2)已知Y =笃 篁2(1)，求D 冷 的置信20.025 (9) =19.023 )。9丿水平为0.95的置信区间；(0.975(9)=2.70 ,解:(1)二2的置信水平为0.95的置信区间为18 180.025 (9)“0.975(9)j，即为(0.9462, 6.6667);(2)X2173 “笃 .D 2(1)=a J a22 ； CF由于仅2、22八* 22 '3是的单调减少函数，置信区间为2 ，2V1丿CF即为(0.3000, 2.1137)。五、(本题10分)设总体X服从参数为二的指数分布，其中二 0未知，X

7、1/ ,Xn为取自2 n总体X的样本， 若已知U二一 Xi2(2n)，求：日y(1) 二的置信水平为1-：的单侧置信下限；(2) 某种元件的寿命(单位：h)服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为 5010( h)，试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。(20.05(31) =44.98520.10(32) =42.585)。解：(H字 2(2n) =1.Q2n)J即日的单侧置信下限为 = 2"X ； ( 2)日=2汉16汇5010 =3764 706 。 -益(2 n)一 42.585六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度

8、XN(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8 (mg/L)，标准差为1.2 ( mg/L )，问该工厂生产是否正常？ ( a =0.05,匸咖=2.2622盜025(9)=19.023/一.975(9) = 2.700)解：(1 )检验假设H。：二2=1 , H1：二2工1；取统计量：2 (n -1)s?2 ；二一拒绝域为：鼻 Fln -1)=瞪.975(9) =2.70 或/ 2鼻：(n -1)=瞪025=19.023,1 "22经计算：2 22 =(n _)s9 1.212.96，由于 2 =12.96. (2.700,19.023) 2,<01故接受H

9、o,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为c 2=1。X _10（2）检验假设H。：亠=10, H：； 取统计量：t = X t-（9）；S/J10210 A 10拒绝域为 t 丑0 025 （9） =2.2622 ；寫 t = 二=2.1028<2.2622，所以接受 H0， 1.2M/10即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体 XN（42）的样本，对假设检验问题H。：=5, H1I =5，（ 1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若）=6，求上述检验所犯 的第二类错误的概率1。解

10、：（1）拒绝域为z =| | 1 | A Z0.025 =1.96 ;（2）由（1）解得接受域为（1.08，8.92），当卩=6时，接受H0的概率为5.。8兄8.9”，峯严川罟皿1。八、（本题8分）设随机变量 X服从自由度为（m,n）的F分布，证明：随机变量 丄服从X自由度为（n,m）的F分布；（2）若m=n，且PX =0.05，求PX 的值。a证明：因为X F（m,n）,由F分布的定义可令 X =匕山，其中U 2（m）,V 2（n），UV /n与V相互独立，所以丄二也f（n,m）。X U /m当m =n时，X与1服从自由度为（n,n）的F分布，故有PX ' = PX -，XG1 1

11、1从而 PX =P =1-P =1 - Px 7 =1 -0.05 = 0.95。中南大学考试试卷参考答案2009 2010学年第一学期（2010.1 )时间：100分钟数理统计II 课程 24学时1.5学分考试形式：闭卷、填空题（本题15分，每题3 分）11、N(0,» ；22、S0.01;3、t-.(n -1) 一2 亦5、 Z - Zo.o5 o二、选择题（本题15分，每题3 分）1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.、(本题 14 分)解：(1) E(X) = ._xf (x)dx =令E（0）二，得彳二X为参数二的矩估计量。32似然函数为：n 2xi2n nL(X

12、iC)2-罚丨丨 Xi ,0 ：Xi :： 6(i =1,2, n)，i4 6日i而L(可是二的单调减少函数，所以 二的极大似然估计量为 #.maxX1,X2 ,Xn。四、(本题14分)解：18 181鼻 0.025 (9)鼻 0.975 (9) j，即为(0.9462, 6.6667)(2)DX2X21 2口(1),22 ； CF&2 2由于2是二2的单调减少函数，置信区间为即为(0.3000, 2.1137)。2五、(本题10 分)解：(1)警：2(2n) =12nX2?(2 n)(1)匚2的置信水平为0.95的置信区间为即二的单侧置信下限为一輕；(=2 16 5010 =3764

13、.706。-a(2 n)42.585(2)检验假设 H0: 10, H；: J -10 ；X 10取统计量："s10飞(9)；六、(本题14分)解:(1 )检验假设 H0：二2=1 , H1：匚2工1 ；取统计量：2(n 1)s?一 2 ；-0拒绝域为：U-1)=监.975(9)=2.70 或尤 2 72(n1)=监025 =19.023 ,"22经计算：2 =(n _?s =9 1.2 =12.96，由于 2 =12.96 (2.700,19.023) 2, %21故接受H。，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为二2=1。10 A _ 10 拒绝域为 t 蜀0.025 (9) =2.2622 ； : t = 二=2.1028<2.2622，所以接受 H0 ,1.2/应即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10 (mg/L)。综上，认为工厂生产正常。七、(本题10分)解： 拒绝域为Z 乞兰 二匸5 KZo 025 =1.96; |4/而| 2-.(2)由(1)解得接受域为(1.08，8.92)，当卩=6时，接受H0的概率为2 =P1.