蒙特卡罗方法在结构可靠性分析中的应用

1、蒙特卡罗方法在结构可靠性分析中的应用摘 要：根据蒙特卡洛方法和结构可靠性分析理论，在概率分布分析基础上提出结构可靠性的新概念、新原理、新方法与衡量标准，综合考虑结构物中多种不确定因素，从而对结构物的安全性进行评价。蒙特卡洛方法结构可靠性分析是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。首先介绍如何利用蒙特卡洛方法对所取的载荷和材料参数进行模拟，产生其各自的随机数，然后用蒙特卡洛方法计算结构的失效概率。该方法回避结构可靠性分析中数学问题，具有直接解决困难的能力。关键字：蒙特卡洛方法 结构可靠性 随机变量 失效概率前言20世纪60年代以来，由于高速电子计算机的发展，蒙特卡洛模拟法在工程领

2、域得到了广泛应用，日益为人们所重视。随着科学技术的发展，研究问题越来越复杂，用传统的数学方法处理时，有时会遇到很大的困难，而用蒙特卡洛模拟方法则能有效地解决。蒙特卡洛方法是以抽样理论为基础，用随机数对有关独立随机变量进行抽样实验或随机模拟，以求得随机函数的函数值、统计特征值（如均值、概率等）和分布，作为待解问题的数值解，是求解工程技术问题近似解的一种数值计算方法。它可应用于随机函数服从任意分布，既可解决不确定的问题，也可以用于解决确定性的问题。蒙特卡洛方法便于编制计算机程序，能够保证依概率收敛，计算精度随模拟次数的增加而提高，在工程中尤其是在可靠性工程中得到了广泛应用1。蒙特卡洛法又称随机抽样

3、法或统计试验发。该方法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的近似数值方法。当用蒙特卡洛方法求解某一事件的概率时，可以通过抽样试验的方法，得到该事件出现的频率，将其作为问题的解。采用蒙特卡洛法进行可靠度分析，可以回避结构可靠度分析中的数学困难，既可以不考虑功能函数的复杂性，而且其收敛速度与随机变量的维数无关，极限状态函数的复杂程度与模拟工程无关，更无需将状态函数线性化和随机变量“当量正态”化，具有直接解决问题的能力。1. 随机变量的抽样用蒙特卡洛法分析结构可靠度问题，关键是要模拟所求问题的各随机变量，求出各已知分不下的随机数。1.1伪随机数的产生在区间(0,1)内产生随机数的方法一般有物理方

4、法和数学方法两种。数学方法以其计算简单、产生速度快和可重复性好等优点被广泛采用。用数学方法按某一确定的规律在计算机上产生的随机数,不是真正随机数,称为伪随机数。但是,只要这种随机数序列能通过统计检验,就可以认为它们是随机的。用数学方法产生随机数的方法中乘同余法以其统计性质好、周期长等优点被广泛采用。 乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的，它的一般形式是：对于任一初始值x1，伪随机数序列由下面递推公式确定：其中为常数。为了便于在计算机上使用,通常取：M=2s其中s为计算机中二进制数的最大可能有效位数x1=奇数a=52k+1其中k为使52k+1在计算机上所能容纳的最大整数，即a为计算机上

5、所能容纳的5的最大奇次幂。一般地，s=32时，=513；s=48,=515等。伪随机数序列的最大容量(M)=2s-2。乘同余方法是使用的最多、最广的方法，在计算机上被广泛地使用。1.2给定分布下随机变量数值的产生对于随机变量X，已知其概率分布函数为FX(X),则其随机函数为Xi=Fx1ui.式中：ui为区间（0,1）内的均匀随机数。可以证明，这样得到的随机数Xi是从具有概率密度为fx（x）的母体中抽出来的一个样本值。1) 正态分布。若所研究的随机变量由许多互不相干的随机因素总和所构成, 且每个因素对总体的影响均很小,则可近似地认为这个随机变量服从正态分布2。设随机数un和un+1是（0,1）区

6、间内的两个均匀随机数，则可通过下列变换得到服从标准正态分布N(0，1)的两个随机数xn*和xn+1*为xn*=-2lnun12cos2un+1xn+1*=-2lnun12sin2un+1这里产生的随机数，不仅互相独立，而且服从正态分布。2) 对数正态分布。随机变量是由若干个互不相干的随机因素的乘积构成的，而每一因素对总体影响十分微笑且随机变量仅取正值，可近似认为该随机变量服从对数正态分布。对数正态分布变量随机数产生的方法是先将均匀随机数变换为正态分布随机数，然后再转换为对数正态分布随机数。2. 计算结构的失效概率设已知统计独立的随机变量X1,X2,Xn ,其概率密度函数分别为fx1,fx2,f

7、xn。结构的功能函数Z=g(X1,X2,Xn),概括起来,用蒙特卡洛法计算结构的失效概率Pf的步骤如下：图1 各变量分位值1) 通过随机抽样获得各变量的分位值x1,x2,xn,如图1所示。2) 计算功能函数值Zi=g(X1,X2,Xn);3) 设抽样组数为N，每组随机变量计算得到的功能函数值为Zi,Zi0的次数为n,则在大批抽样之后，结构的失效概率为Pf=nN.通过大批抽样得到的结构失效次数与总抽样次数之比即为结构的失效概率。这一结论是蒙特卡洛法的核心内容和基本出发点。3. 确定抽样次数N抽样次数N与计算结果的精度有关，抽样次数N越大，相对误差e越小，要达到一定的精度，N必须取得足够大。当工程

8、结构处于正常使用极限状态时，可靠度值不大，一般在01.5，则模拟次数需在6301497次。当工程结构处于承载能力极限状态时，可靠度值在2.74.2，则要求计算的次数需达十万次以上。4. 结论蒙特卡洛法几乎可以应用到任何形式的结构可靠度分析上,误差仅和抽样次数和方差有关。从理论上说,已知设计变量的概率分布类型,且抽样次数足够多,蒙特卡洛方法可以求得真实的失效概率。因此,在结构可靠度计算中,蒙特卡洛法被认为是一种准精确计算方法。在应用该方法时,需要处理大量的统计试验数据,若采用人工处理会有很大的困难,但是,计算机的发展和计算技术的提高为蒙特卡洛模拟提供了高效的计算手段,从而使得蒙特卡洛法的应用范围越来越广。参考文献1 赵国藩.工程结构可靠度理论与应用M.大连：大连理工大学出版社，1996:201-205.2 张新培。建筑结构可靠度分析与设计M.北京：科学出版社，2001:96-109.3 李良巧，顾唯明.机械可靠性设计与分析M.北京:国防工业出版社，1998:67-76.4 牟致忠.机械零件可靠性设计M.北京:机械工业出版社，1988:168-170.5 何水清，王善.