课时分层作业8　双曲线的标准方程

1、课时分层作业(八)双曲线的标准方程(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1双曲线1上的一点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为_解析不妨设PF111，则由双曲线定义知，|PF1PF2|2a10，PF21或PF221.而F1F214，当PF21时，PF1PF211114F1F2，故PF21应舍去答案212双曲线1的焦距是_解析由题意，得c4，所以焦距为2c8.答案83已知F1，F2是双曲线1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若OM1，则PF1的值为_解析因为M是PF1的中点，所以PF22OM2，又由双曲线的定义知：PF1PF22a8，所以PF110.答案10

2、4焦点分别是(0，2)，(0,2)，且经过点P(3,2)的双曲线的标准方程是_解析由题意，焦点在y轴上，且c2，可设双曲线方程为1(0<m<4)，将P(3,2)代入，解得m1.因此所求双曲线标准方程为y21.答案y215已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2的值为_. 【导学号：71392077】解析不妨设P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2PFPF，又因为|PF1PF2|2，所以(PF1PF2)24，可得2PF1·PF24，则(PF1PF2)2PFPF2PF1·PF212，所以PF1PF

3、22.答案26已知双曲线1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是_解析由于双曲线1的右焦点为F(5,0)，将xM5代入双曲线可得|yM|，即双曲线上一点M到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的距离为2a|yM|6.答案7已知双曲线1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2y216相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|MO|_. 【导学号：71392078】解析设F是双曲线的右焦点，连接PF(图略)，因为M，O分别是FP，FF的中点，所以|MO|PF|.由双曲线方程知a216，b225，c2a2b2162541，又|FN|5，且由双曲线的定

4、义知|PF|PF|8，故|MN|MO|MF|FN|PF|(|PF|PF|)|FN|×851.答案18若圆x2y24x90与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为_解析解方程组得或圆x2y24x90与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，A(0，3)，B(0,3)，且a3,2c18，b23272，双曲线方程为1.答案1二、解答题9求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b2

5、×0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.10已知F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF232，试求F1PF2的面积. 【导学号：71392079】解双曲线的标准方程为1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF2PF1|2a6，将此式两边平方，得PFPF2PF1·PF236，PFPF362PF1·PF2362×32100

6、.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290°，SPF1·PF2×3216.能力提升练1设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积为_解析由题意知PF1PF22a2，PF2PF22，PF26，PF18.又F1F210，PF1F2为直角三角形，且F1PF290°，S×6×824.答案242设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_解析对于椭圆C1，长轴长2a126，a11

7、3，又离心率e1，c15.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，c25.又2a28，a24，b23，又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为1.答案13已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·0，PF1·PF22，则双曲线的标准方程为_解析由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由·0，得PF1PF2.根据勾股定理得PFPF(2c)2，即PFPF20.根据双曲线定义，有PF1PF2±2a.两边平方并代入PF1·PF22，得202×24a2，解得a24，从而b2541.故双曲线的标准方程是y21.答案y

8、2142008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3­1所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【导学号：71392080】图2­3­1解矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近依题意，界线是第三类点的轨迹设M为界线上的任一点，则PAMAPBMB，MAMBPBPA50(定值)，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设所