课时分层作业16 抛物线的几何性质二

1、课时分层作业(十六)抛物线的几何性质(二)(建议用时：45分钟)基础达标练1过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A2 BC4 D2C设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|·|BF|×4.2已知抛物线x2ay与直线y2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()【导学号：33242198】Ax2yBx26yCx23yDx23yD设点M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的抛物线方程是x23y.3已知抛物线y22x

2、的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A1 B2 C3 D4D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，利用抛物线的定义可知，|AF|BF|x1x214，由图可知|AF|BF|AB|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.4直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4C易知直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点，|AB|为焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N，|AB|x1x2p4.AB中点到直线x0的距离为.5已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与

3、圆x2y24相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为() 【导学号：33242199】Ay23x或y23xBy23xCy26xDy26x或y26xA设所求抛物线的方程为y22mx(m0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|y2|2，即y1y22，由对称性知y2y1，y1.将y1代入x2y24，得x±1，将点(1，)，(1，)分别代入方程y22mx中，得32m或32m，解得m或m.故所求抛物线的方程为y23x或y23x.6已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.由得ax2x10.令14a0，得a.7已知焦点为F的抛物线y24x的弦

4、AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_【导学号：33242200】6设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.8已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_yx焦点F为(1,0)，抛物线方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，两式相减得yy4(x2x1)整理得，由于kAB，而AB中点为(2,2)，所以y2y14，于是kAB1，因此直线l的方程为y2x2，即yx.9设抛物

5、线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为1，求|AB|的值；(2)求证：·是一个定值解(1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，直线l的方程为yx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，由直线l过焦点，得|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明：设直线l的方程为xky1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)·x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，

6、83;是一个定值10已知平面内一动点P(x，y)(x0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求AOB面积的最小值. 【导学号：33242201】解(1)平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当x0时，点P到F的距离等于点P到直线x1的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为y24x(x0)动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)(2)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，过点F的直线l的方程为xmy1，代入y24x，可得y24my40，由根与系数的关

7、系得y1y24m，y1y24，SAOB|y1y2|，当m0时，AOB的面积最小，最小值为2.能力提升练1已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 ()A. BC1 D2D由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1(图略)，则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的距离d2.2已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，则|AB|等于()A3 B4 C3 D4C因为A，B关于直

8、线xy0对称，所以可设AB：yxm，由得x2xm30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0，y0x0mm.又因为M在直线xy0上，所以m0，即m1，所以方程可化为x2x20，解得x11，x22，y12，y21，所以|AB|3.3直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是_【导学号：33242202】2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.4已知斜率为的直线l与抛物线y22px(p>0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k

9、1，k2，则k1k2的取值范围是_(2，)设直线l的方程为yxb(b0)，即x2y2b，代入抛物线方程y22px，可得y24py4pb0，16p216pb0，pb.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，y1y24pb，k1k22.5如图2­4­5，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p>0)图2­4­5(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围. 【导学号：33242203】解(1)抛物线C：y22px(p>0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24×(2pb)>0，化简得p2