概率论与数理统计第七章抽样分布及其上分位数ppt课件

1、17.3 7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数 为了进一步研究未知参数的统计为了进一步研究未知参数的统计推断问题，本节介绍几个重要的抽样推断问题，本节介绍几个重要的抽样分布及其定理分布及其定理. .2一一 抽样分布抽样分布 统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布抽样分布” . ” . 研究统计量的性质和评价一个统计推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质. .抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布322111,()1nnniiniiXXSXXnn = = 1 1 分别表示

2、样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差.时，也称时，也称 是来自总体是来自总体的样本，仍用的样本，仍用 假设假设 是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当12,nXXX2( ,)XN 12,nXXX2( ,)N 4统计上的三大分布统计上的三大分布2( )n 记为记为定义定义3.1: 3.1: 如果随机变量如果随机变量 有概率密度有概率密度 分布分布( (卡方分布卡方分布) )1、2 12221( ),02(2)nunp uueun 称称 服从自由度为服从自由度为n n的的 分布分布. .2来定义来定义. .其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分10( ),0 xxedx ( )5分

3、布的密度函数图形自由度依次分布的密度函数图形自由度依次为为n=1,3,5,7n=1,3,5,72( )n n=1n=3n=5n=76分布的性质分布的性质2 定理定理3.1: 3.1: 假设假设 是来自是来自总体总体N(0,1)N(0,1)的样本的样本, , 则平方和则平方和12,nXXX222212( )nnXXXn 722(2)(1)(1)nSn2nXS和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有2(1).nXS和独立定理定理3.2: 3.2: 假设假设 是来自是来自总体总体N(0,1)N(0,1)的样本，的样本，12,nXXX8推论推论3.3: 3.3: 假设假设 ，那么，

4、那么22( ),( )nm2(2)()nm当和独立时，有 (1)( ),Var( )2Enn这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性. .2912,(0,1)nX XXN证证明明：( ( 1 1设设是是来来自自总总体体的的) )样样本本，则则2422Var()() ()3 12,1,2,iiiXE XE Xin 2211( )()().nniiiiEEXE Xn 所所以以2211Var( )Var()Var()2 .nniiiiXXn 22E()0, E()Var() (E()1iiiiXXXX 2222123.1( )nXXXn 根根据据定定理理 ，有有 1012,(0,1)n mX

5、XXN 设设是是来来自自总总证证明明：( ( 2 2体体) )的的样样本本2222221212()()nmnnnn mXXXXXX 令令 则则 与与.同同分分布布nm .因因此此结结论论成成立立则有则有2nm （n n+ + m m ）11 定理定理 3.422221(1)1(2)()(1)njnjnSXXn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2nXS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有2(1).nXS和和独独 立立12 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(student)分布分布.记做记做Tt(n). 定义3.2: 如果随机变

6、量T具有概率密度称称T服从自由度为服从自由度为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布12212( )1,(,)2nnnup uunnn 13外形外形: :中间高中间高, ,两边低两边低, ,左右对称左右对称. .当当n n充分大时，充分大时，t t 分布近似分布近似N (0,1)N (0,1)分布分布. . 但对于较小的但对于较小的n n，t t分分布与布与N (0,1)N (0,1)分布相差很大分布相差很大. .t分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n = 1n=20-3-2-110.414 t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密

7、度曲线的对比 15 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 16 22,1lime( )2unnnpuu 特特别别, , 当当时时 有有 33, ( )(0,1).33,( )nt nNnx 当当时时分分布布的的密密度度和和的的密密度度几几乎乎没没有有差差别别 而而且且当当时时对对标标准准正正态态密密度度函函数数有有sup( )( )0.0041nxpxx 17t分布的性质分布的性质 ( )Zt nn 定理3.5: 如果ZN(0,1) , 且Z与 相互独立，则有2( ),n 18 定理定理 3.6 如果如果X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的

8、样本,2nXS和和 分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, ,则有则有 (1)nXt nSn 19222(1)(0,1),(1)./nXnSZNnn 且它们独立且它们独立. 则由定理则由定理3.5得到得到22(1)(1)/(1)nXZnSnnn 证明：由定理证明：由定理3.4 (1)/nXt nSn 20 具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数学期望和方差为的数学期望和方差为: E(T)=0; Var(T)=n/(n-2) , 对对n 2 t分布的性质分布的性质2112222( )1,0. 22nnn mn mnnpuuuynmmm 3、 F(n,m)分

9、布分布定义定义3.3 如果随机变量如果随机变量F有概率密度有概率密度称称F服从自由度为服从自由度为(n, m )的的F分布，记做分布，记做 FF(n,m).其中其中n称为第一自由度，称为第一自由度，m称为第二自由度称为第二自由度.22图形：图形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,1023F分布的性质分布的性质22( ),( ),nm : : 如如果果定定理理3 3. .和和7 7独独立立，则则( ,)nFF n mm 1( , )mF m nFn241212,. 设是来自总体的样本，是来自总体 的样本如果总体和总体独立，则来自这两个总体的样本也相互独

10、立 于是nmXXXXY YYYXY1212,nmXXXYYY，是相互独立的随机变量.2521212122,(,),(,).,2nmX XXNY YYNn m : :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互独独立立定定理理3 3. . 8 8，则则当当时时22(1,1)XYSSF nm 2211221111() ,111() ,1nnXinniiimmYimmiiiSXXXXnnSYYYYmm 其其中中 26由由定定证证明明： 理理3 3. .4 4222222(1)(1)(1),(1)XYnSmSnm 而而且且 和和 独独立立，

11、根根据据定定理理3 3. . 7 7得得到到22/(1)(1,1)/(1)XYSnF nmSm 2721212122,(,),(,).nmX XXNY YYN : :设设是是来来自自总总体体的的样样本本，是是来来自自总总体体的的样样本本又又设设这这两两个个总总体体相相互互补补充充定定理理独独立立，则则12() (2)11nmWXYt nmSnm 2222(1)(1),2XYWWWnSmSSSSnm 其其中中 282212(,)nmXYNnm 由由已已知知可可得得证证： 明明12()()(0,1)11nmXYZNnm 所所以以2222122212(1)(1)(1),(1),XYnSmSnm 且且

12、 与与 相相互互独独立立. .212(2)nm 则则292WWSS 其其中中 12123.5()()()/(2)1/1/nmWXYZnmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 222(1)(1)2XYWnSmSSnm 记记 123.4Z由由定定理理得得 ， ，独独立立. .30例例1 设设X 与与Y 相互独立，相互独立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与与 Y1, Y2 , Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本, 求统计量求统计量1292221216XXXYYY 所服从的分布所服从的分布解解129(0,9 16)XXX

13、N 1291() (0,1)34XXXN 311(0,1) ,1, 2,163iYNi 216211(16)3iiY 12921611341316iiXXXY (16)t1292221216XXXYYY 从而从而32例例2 2 设总体设总体(0,1)XN的样本的样本, ,22123456()()YXXXXXX 126,XXX为总体为总体 X X试确定常数试确定常数c c 使使cY cY 服从服从2分布分布. .解解123456(0,3),(0,3)XXXNXXXN 12345611,(0,1)33XXXXXXN 221234561133XXXXXX 故故因此因此13c 21(2)3Y 33二二

14、 抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数34(0,1). 设设正正数数()P Zz (0,1),ZNz1 1. .，有有唯唯一一的的使使得得2( )nPn 22( )( ),nnn2 2. .，有有唯唯一一的的使使得得( )nP Ttn ( )( ),nTt ntn3 3. .，有有唯唯一一的的使使得得,( ,)n mP FFn m ,( ,)( ,),n mFF n mFn m4 4. .，有有唯唯一一的的使使得得3522,( )( )( ,)(0,1)( )( )( ,).zntnFn mNnt nF n m 称称，和和 分分别别为为，和和 分分布布的的定定义义3 3. . 4 4: :上上

15、分分位位数数214,( )( )( ,).CCzntnFn m 对对于于某某些些固固定定的的 ，可可以以查查书书后后的的表表得得到到，和和 上上分分位位数数是是 的的减减函函数数. .36(0,1).N正态分布的上 分位数1-372( ).n分布的上 分位数1-380.0250.051.961.645zz ，例例：解解：()(1.96)P ZzP Z 1(1.96) 1(1.96)P Z 10.9750.025 0.0251.96z 因因此此39 根根据据定定义义3 3. . 4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下结结论论()11()P ZzP Zz 221(1( )()nnPnnP 1()

16、1)nnPnP TTtnt ,( ,1(,)()1nmmnP FF nP FFmmn 40/2/2(), ()1,P ZzP Zz /2/2( ), ( )1nnP TtnP Ttn 证证明明：/2/2/2()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2()1()1,P ZzP Zz (0,1), ( )nZNTt n 例例 对对4 4，有有412,( ),( ,)nn mn FF n m 例例 对对5 5，有有22/21/2( )( )nnPnPn ,/2,1/2( ,)( ,)n mn mP FFn mP FFn m 221/2/2( )( )1,nPnn 1/2,/2( ,)( ,)1n mP Fn mFFn m 42 1,1,F n mFn mFm nFn m 对对的的上上 分分位位数数，有有 例例6 6：( ,)FF n m对对，则则根根据据定定理理证证明明：3 3. . 7 7得得到到1/(, )FF m n(, )FF m n于于是是对对1 1/ /得得到到1(, )PFm nF