(完整版)高二数学圆专项训练

1、高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1. 【 AB】方程 a2x2（a2）y24x8y5a 0 表示圆，则圆心坐标是 半径是 .解析】由已知方程表示圆，则 a2a2，解得 a2 或 a 1.当 a 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 .当 a 1 时，原方程为 x2 y24x 8y50，化为标准方程为 （x2）2（y4）225，表示以（2，4）为圆心，半径为 5 的圆.2. 【A】圆心在直线 x2y30 上，且过点 A（2，3），B（2， 5）的圆的方程为【解析】 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得(2 a)2 ( 3 b)2 r 2,a 1,( 2 a)2 (

2、5 b)2 r 2, 解得b 2,2a 2b 3 0.r 2 10.故所求圆的方程为 （x 1）2（y2）210.2.【 B】圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（ 1，2）的圆的方程为（）A x2 （y 2）2 1 B x2 （y 2）2 1C（x 1）2 （y 3）2 1 D x2 （y 3）2 1【解析】设圆心坐标为 （0,b） ，则由题意知 （o 1）2 （b 2） 1，解得 b 2，故 圆的方程为 x2 （ y 2）2 13. 【A】圆心在直线 y 4x上，且与直线 l：xy10 相切于点 P（3，2）的 圆方程为 。【解析】设圆的标准方程为 （xa）2（yb）2r2，b 4a，则有

3、（3a）2（2b）2r2，|ab1|2 r ，a1解得 b 4， r2 2.3.【B】已知圆心在 x轴上，半径为 2的圆 O位于 y轴左侧，且与直线 xy0相切，则圆 O的方程是 【解析】设圆心为 （a,0）（a<0），则 |a2| 2， 解得 a 2， 故圆 O的方程为 （x2）2y22.二、与圆有关的轨迹问题1. 【A】在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3.求圆心 P 的轨迹方程； 【解析】 （1）设 P（x，y），圆 P 的半径为 r. 则 y22r 2，x23 r2.y2 2 x23，即 y2x21.P 点的轨迹方

4、程为 y2x21.2. 【 B】 点 P（4， 2）与 圆 x2y24 上任 一点连线的中 点轨迹方 程是解析】设圆上任一点坐标为 （x0，y0），则 x02y024，连线中点坐标为 （x，y），2xx0 4，x0 2x4，则2yy0 2，y0 2y2，（x2）2（y1）21.3. 【A】已知 P（5,0）和圆 x2 y2 16,过 P任意作直线 l 与圆交于 A、B 两点,则弦AB 的中点 M 的轨迹为 解： M 是弦的中点，可利用垂径定理。设轨迹上任一点 M （x, y） ,连结OM 。2 2 2OM PM OM PM 0（ x 5）x y2 0即x2 5x y2 0,22x2 5x y2

5、 0 16 2 216）令 2 2 x 。 方程为 x 5x y 0（0 x ） x2 y2 16 5 5弦 AB 的中点 M 的轨迹为圆的一部分。3.【B】已知弦 AB 在圆 （x 1）2 （y 2）2 9内运动，且 AB 2,则 AB 中点 M的轨迹为 解：连结 OM ，则 OM AB ，连结 OAOA 2 OM 2 AM 2，9 (x 1)2 (y 2)2 1即(x 1) 2 (y 2)2 8，M的轨迹是以（ 1， 2）为圆心， 2 2为半径的圆三、与圆有关的相切问题1. 【AB 】由直线 yx1 上的一点向圆 x2y26x80 引切线，则切线长的最 小值为 （ ）A. 7B 2 2C3

6、D. 24解析：选 A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小圆x2y26x80可化为 （x3）2y21，则圆心（3,0）到直线 yx1 的距离为 2 2，切线长的最小值为2 2 21 7.2. 【 AB】已知点 P（x，y）是直线 kxy40（k>0）上一动点， PA，PB 是圆 C： x2y22y0的两条切线， A，B 是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则 k的值为 ()A. 2B. 221C2 2D 25解析：选 D 圆心 C（0,1）到 l 的距离 d k21， 所以四边形面积的最小值为 2×12× 1×d21 2， 解得 k2

7、4，即 k ±2.又 k>0，即 k 2.2.【A】过直线 xy2 20 上点 P 作圆 x2y21 的两条切线，若两条切线的 夹角是 60°，则点 P 的坐标是 解析：点 P 在直线 xy2 20 上，可设点 P（x0，x02 2），且其中一个切点为 M. 两条切线的夹角为 60°，OPM30°故.在 RtOPM 中，有 OP 2OM 2.由两点间的距离公式得 OP x02 x02 2 22，解得 x0 2.故点 P的坐标是 （ 2， 2）答案： （ 2， 2）2. 【 B】从原点向圆 x2y212y 270 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣

8、弧长为 解析 （数形结合法 ）如图，圆 x2 y212y27 0 可化为 x2（y6）29，圆心坐标为 （0,6），半径为 3.2 在 RtOBC 中可得： OCB3 ，ACB 3 ， 所求劣弧长为 2.答案 2 3. 【A】以点（ 2， 1）为圆心且与直线 x y 6相切的圆的方程是.【解析】将直线 x y 6化为 x y 6 0 ,圆的半径 r |2 1 6| 5 ,1 1 2所以圆的方程为 （x 2）2 （y 1）2 2253.【B】直线 3x4yb与圆 x2y22x2y10相切，则 b 的值是（）A.2或 12 B.2或 12C.2或12 D.2或 12【解析】圆方程可化为 （x1）2

9、（y1）21，该圆是以 （1，1）为圆心，以 1 为半 径的圆，直线 3x4yb 与该圆相切，|3 ×14×1b|32421.解得 b2或 b12，故选 D.4.【A】两个圆：C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 （)A1条B2条C3条D4条解析：选 B由题知 C1： （x1）2（y1）24，则圆心 C1（1， 1）， C2：(x 2)2 (y1）2 4 ， 圆 心 C2（2,1） ， 两 圆 半 径 均 为 2 ，又 |C1C2| 2 1 2 11 2 13<4，则两圆相交 只有两条外公切线5.【B】若圆 C1：x2y21与圆

10、 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m（）A. 21 B.19 C.9 D. 11【解析】圆 C1的圆心 C1（0，0），半径 r11，圆C2的方程可化为 （x3）2（y4）2 25m，所以圆心 C2（3，4），半径 r2 25m.从而 |C1C2| 32425.由两圆 外切得|C1C2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9，故选 C.6【. A】若圆 C1：x2y22axa240（aR）与圆 C2：x2y22by 1 b20（bR） 恰有三条切线，则 ab 的最大值为 （）A 3 2B3 C3 D3 2【解析】 易知圆 C1 的圆心为 C1（a,0），半径为 r12；圆 C2 的圆心为

11、 C2（0，b），半径为 r21.两圆恰有三条切线， 两圆外切，|C1C2| r1r2，即 a2b2 9.a b 2 a2b2 2 2 ，ab32（当且仅当”，）ab 的最大值为 3 2.7. 【 B】设 m，nR，若直线（m1）x（n1）y20与圆（x1）2（y1）21相 切，则 mn 的取值范围是 （）A1 3，1 3 B（，1 3 1 3，）C2 2 2，22 2 D（， 22 2 22 2， ）圆心（1,1）到直线 （m1）x（n1）y20 的距离为|mn|m1 2n13111，所以 mn1mn4（mn）2，整理得 （mn）2280，解得 mn2 2 2或 mn2 2 2.8. 【A】

12、在平面直角坐标系 xOy 中，以点 （1,0）为圆心且与直线 mxy2m1 0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .【解析】直线 mxy2m10 恒过定点 （2，1），由题意，得半径最大的圆的 半径 r （1 2）2 （0 1）22 .故所求圆的标准方程为 （x 1）2 y22.9. 【AB】过点（3，1）作圆（ x-1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 （ ）A.2x+y -3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解析】选 A. 由图象可知， A（1,1）是一个切点，根据切线的特点可知过点 A.B的直线与过点

13、（ 3,1）、（ 1、 0）的直线互相垂直， kAB1102 ，所以直线AB 的方程为 y 1 2 x 1 ，即 2x+y-3=0.10. 【AB 】过点 P（ 3，1）的直线 l与圆 x2y21有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 （ ）A. 0, B. 0, C. 0,6 3 6D. 0,3解析】过 P 点作圆的切线 PA、PB，连接 OP，如图所示 .显然，直线 PA 的倾斜角为 0，又 OP （ 3）2 （ 1）2 2，PA 3 ，OA1，因此OPA 6，由对称性知，直线 PB的倾斜角为 3.若直线 l 与圆有公共点，由 图形知其倾斜角的取值范围是 0,3 .故选 D.四、与圆有

14、关的相交问题1. 【A】过圆 x2y21上一点作圆的切线与 x轴、y 轴的正半轴交于 A、B两点， 则 |AB|的最小值为 （）A. 2B. 3C 2D3解析 设圆上的点为 （x0，y0），其中 x0>0， y0>0，则切线方程为 x0xy0y1. 分别令 x0，y0得 A（x10，0），B（0，y10），|AB|答案 C1 2 1 2 1 1 2.x0 y0 x0y0x20y20 2.21【B】已知集合 A （ x，y）|x，y 为实数，且 x2y21，B（x，y）|x，y 为实数，且 xy1，则 AB的元素个数为 ( )A 4B3解析 (数形结合法 )画图可得，故选 C. 答案

15、 CD1A（2 2， 2 2）C. 2， 244B（ 2， 2）11D. 8，82. 【 A】已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l与圆 x2y22x有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是 ( )解析：选 C 易知圆心坐标是 (1,0)，圆的半径是 1，直线 l 的方程是 yk(x2)，即 kxy2k0，根据点到直线的距离公式得|k2k|k211<1，即 k2<18，解得 42< k< 42.442. 【B】若直线 2xya0与圆(x1)2y21 有公共点，则实数 a的取值范围( ) A 2 5<a< 2 5C 5a 5B 2 5a2 5D 5< a

16、< 5解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 |a52|1， 解得 2 5a 2 5.答案 B3. 【A】已知圆 x2y22x2ya0截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则 实数 a 的值是 ()A. 2 B.4 C.6 D.8解析】将圆的方程化为标准方程为 (x1)2(y1)22 a,所以圆心为 (-1,1),半径 r 2a,圆心到直线 x y2 0 的距离 d|112|22,故 r 2d2 4,即 2a24,所以 a -4，故选 B.3. 【B】在平面直角坐标系 xOy中，直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于 A、 B 两点，则弦 AB 的长等于 ()A3 3

17、B2 3C. 3D1圆 x2y24 的圆心(0,0)，半径为 2，则圆心到直线 3x4y50 的距离 d 3242 1.故|AB|2 r2d22 4 1 2 3.4. 【A】若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A、B 两点，且 两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是解析：依题意得 |OO1| 5205，且 OO1A 是直角三角形， SO O1A1 |AB|2·2O|O1|21·O|A| ·AO|1|，因此|AB|2·O|OAO| ·1A|O|1|2× 5×2554.答案：44. 【B】直线

18、 ykx3 与圆(x2)2(y3)24相交于 M、N 两点，若|MN|23， 则 k 的取值范围是 () A. 34，02D. 3，0B. 33，C. 3， 3直线方程为 ykx 3，d|k·123k23|1，解得解析 如图，若 |MN|2 3，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足 d2 22( 3)21. k±33.若|MN| 23，则 33k33.答案 B5. 【A】在平面直角坐标系 xOy中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 则 k 的最大值是 解析：设圆心 C(

19、4,0)到直线 ykx2的距离为 d，则 d|4k2|k21，由题意知，4.3.问题转化为 d2，即 d |4k221|2，得 0k43，所以 kmax4答案：435. 【B】若 a，b，c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆 C：x2y24 被直线 l：ax byc0 所截得的弦长为 解析：由题意可知圆 C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦长为 24 a2c b2 2，由于 a2b2 c2，所以所求弦长为 2 3.答案： 2 36. 【 AB】已知两圆 x2y210x10y0，x2y26x2y400，则它们的公 共弦所在直线的方程为 ；公共弦长为 解析：由两圆

20、的方程 x2y210x10y 0， x2y26x2y400，相减并整理得公共弦所在直线的方程为 2xy50.圆心（5,5）到直线 2xy50 的10距离为 105 2 5，弦长的一半为 50 20 30，得公共弦长为 2 30.答案： 2xy50 2 307.【AB】过点（3，1）作圆 （x 2）2 （y 2）2 4的弦，其中最短的弦长为 【 解 析 】 半 径 为 r 2 ， 圆 心 为 2,2 ， 圆 心 到 点 3,1 的 距 离 d 3 2 2 1 2 2 2, 所求最短弦长为 2 22 2 2 2【答案】 2 28.【 A】已知圆 C： （x3）2（y4）21 和两点 A（m,0），

21、B（m,0）（m>0）.若圆 C 上存在点 P，使得APB90°，则 m的最大值为 （）A.7 B.6 C.5 D.4【解析】若 APB90°，则点 P的轨迹是以 AB 为直径的圆，其方程为 x2y2 m2.由题意知圆 C：（x3）2（y4）21 与圆 O：x2y2m2 有公共点，所以 |m 1|O|C|m1，易知|OC|5，所以 4m6，故 m的最大值为 6.故选 B.五、圆上到直线距离为定值的点的个数问题1.【 AB 】已知圆 O：x2 y2 5，直线 l： xcos ysin 1（02 ）.设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ，则 k .【

22、解析】 半径为 R= 5,圆心到直线 l 的距离 d= 1 1 5.故数形 sin2cos22结合 k=4.【答案】 4.2.【 AB 】已知圆 C：x2 y2 2x 4y 3 0和直线 l ：x y 1 0，则圆 C到直 线 l 的距离为 2 的点共有（ ）A、1个B、2个C、3个D、4 个解:将圆 C 方程配方得： （x 1）2 （y 2）2 8圆 C 的圆心坐标和半径分别是： C（ 1，2），R= 2 2 . 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离d | 1 2 1| 2 ,故与直线 l平行且距离为 22的两条直线 l1,l2中,一条与圆 C 相切,另一条与圆 C相交（如图所示 ）,故圆

23、 C 到直线 l的距离为 2 的点共有 3个.3. 【AB】在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y24 上有且只有四个点到直线12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，该圆 半径为 2即圆心 O（0,0）到直线 12x5yc0的距离 d<1，即 0<1|c3|<1，13<c<13.答案 （13,13）4. 【AB】若圆 x2y2r2（r>0）上仅有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围为 （ ）A（ 21， ）B（ 2 1, 21）C（0,

24、21）D （0, 21）解析： 选 A 计算得圆心到直线图直线 l：xy20 与圆相交，的距离为l1 ，l2 与A.4 ，6 B.(4，6) C.5，7 D.(5，7)【解析】用圆的几何性质求解 .因为圆心 (5， 1)到直线 4x3y 2 0 的距离为|2032|55，又圆上有且仅有两点到直线4x3y20的距离为 1，则 4<r<6，故选 B.六、对称问题1.【AB 】已知圆 x2y22x4ya0 关于直线 y2xb 成轴对称，则 ab 的 取值范围是 【解析】 圆的方程可化为 (x1)2(y2)25a， 其圆心为 (1,2)，且 5a>0，即 a<5.又圆关于直线

25、y2xb 成轴对称，2 2 b，b4.aba4<1.2.【A】已知圆 C1：(x 2)2 (y 3)2 1，圆C2：(x 3)2 (y 4)2 9，M 、N 分别是圆 C1、C2上的动点， P为x轴上的动点，则 PM PN 的最小值为( )A.5 2 4 B. 17 1C.6 2 2 D. 17【解析】选 A.由题意知 ,圆C1 ：x 2) 2(y 3) 21，圆C2 ：(x 3)2 (y 4)2 9的圆心分别为 C1(2,3),C2(3,4),且 PMPN PC1PC2 4 ,点C1(2,3)关于 x轴的对称点为 C(2, 3),所以 PC1PC2PC PC2CC2 5 2,即 PM

26、PN PC1 PC2 4 5 2 4.2.【B】若圆 C的半径为 1，其圆心与点 (1,0)关于直线 yx对称，则圆 C的标准 方程为【解析】 由题意知圆 C的圆心为(0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)21.七、直线与圆的综合应用1.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A(0,3) ，直线l : y 2x 4。设圆 C的半径 为1，圆心在 l 上。( 1)【 AB 】若圆心 C也在直线 y x 1上，过点 A作圆C的切线，求切线的方程； (2)【A】若圆C上存在点 M ，使MA 2MO ，求圆心 C的横坐标 a的取值范围。【解析】(1)由题设知,圆心 C是直线 y=

27、2x-4和 y=x-1的交点,解得点 C(3,2),于是切 线的斜率必存在 .设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意 ,|3k2 1| = 1, 解得 k=0 或- 3,k2 1 4故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 x2 (y 3)2 2 x2 y2 , 化简得 x2 (y 1)2 4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心 ,2 为半径的圆上 . 由题意知 ,点 M(x,y)在圆 C上,所以圆 C 与圆

28、D 有公共点 , 则 2-1 CD 2+1, 即 1 a2 (2a 3)2 3.由 5a2-12a+80得, a R;12 由 5a2-12a 0得, 0a5 .12 所以圆心 C 的横坐标 a的取值范围为 0, 152 .2.【AB 】在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3 。1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P点到直线 y x的距离为 2 ，求圆 P的方程2 【解析】(1)设 P x,y ，圆 P的半径为 r. 由题设 y2 2 r2,x2 3 r2.从而 y2 2 x2 3. 故 P 点的轨迹方程为 y2 x2 1.

29、(2)设 p( x0 , y0 ),由已知得x0 y022 . 又 P点在双曲线 y x 1上，从而得x0y02 y02 x0x0y02 y02 x01,1,1, 得 x0 0.1,y01.此时圆的半径 r=x0 y022y0x01,得 x01,y00.1.此时，圆的半径 r= 3故圆 P 的方程为 x 1 1 ， (1 k2)m2 (1 k2)x12 (1 k2) x22 ， y 1 3或 x2 y-1 33.已知圆 C的方程为 x2 (y 4)2 4 ，点O是坐标原点。直线l : y kx与圆C交于M , N 两点。1)【AB】求k 的取值范围；2)【A】设Q(m,n)是线段 MN 上的点

30、，且 2 2 1 2 |OQ |2 |OM |21|ON1 |2 。请将 n表示为 m的函数。【解析】(1)将 y kx 代入 x2 (y 4)2 4 中，得22(1 k2 )x2 8kx 12 0( )由( 8k)2 4(1 k2) 12 0，得 k2 3所以k的取值范围是 ( , 3) U( 3, ).(2)因为 M、N 在直线 l 上，可设点 M 、N 的坐标分别为 ( x1, kx1),( x2,kx2)则 OM 2 (1 k2)x12,ON 2 (1 k2)x22， 又 OQ 2 m2 n2 (1 k2)m2 .211由 2 2 2 ，得12 x112x2(x1x2 )2 2x1x2

31、2 2 ， x1 x2|OQ|2 |OM |2 |ON |236由 （ ） 式可知，x1 x28k2 ， x1 x21k12 2112k2 ，所以 m225k2 3因为点 Q 在直线 y kx 上，所以 k n ，代入 m2 m5k326 3中并化简，得5n2 3m2 36 .由m2 5k326 3及k2 3，可知 0 m2 3，即 m (3,0) U(0, 3) .根据题意，点 Q 在圆 C 内，则 n 0 ，所以 n36 3m215m2 1805于是 n与m 的函数关系为 n15m 180 （m （ 3,0） U（0, 3） .54.【AB 】已知点 P（2,2），圆C：x2y28y0，过

32、点 P的动直线 l与圆 C交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点 .（1）求 M 的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求 l的方程及POM 的面积.解析】 （1）圆 C 的方程可化为 x2（y4）216，所以圆心为 C（0， 4），半径为 4.设 M（x,y）,则CM（x,y4），MP（2x,2y）.由题设知CM·MP0，故 x（2x） （y4）（2y）0，即（x1）2（y3）22.由于点 P在圆 C的内部，所以 M 的轨迹方程是 （x1）2（y3）22.（2）由（1）可知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心， 2为半径的圆 .由于|OP| |OM|，故O

33、在线段 PM的垂直平分线上，又P在圆 N 上，从而 ONPM.1 1 8因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 13，故 l 的方程为 y13x 38.4 10 4 10又|OM|OP|2 2，O到 l 的距离为 5 ，|PM| 5 ，所以POM的面积为16.5.5【AB 】已知：圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a0.(1)当 a为何值时，直线 l 与圆 C相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2 2时，求直线 l 的方程 解析 将圆 C 的方程 x2y2 8y120 配方得标准方程为 x2(y 4)24，则 此圆的圆心为 (0,4)，半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切，则有 |4 2 2a| 2.解得 a 34.a214(2)过圆心 C作 CDAB，则根据题意和圆的性质，|42a|得 |CD|2 |DA|2|AC|222，|DA|12|AB| 2.解得