湖南省长沙市一中2020届高二期末试卷数学试题

1、湖南省长沙市一中2020届高二期末试卷数学试题全卷?黄分150分，考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。3 .非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试 卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，满分60分，）1 .复数'的虚部是（）1 .一i2

2、)1 iA. -1 B . - C - -i D 2222 .点A (1, 2, 3)关于xOy平面对称的点 B坐标是A. (-1 , 2, 3) B . (1, -2 , 3)C . (1, 2, -3) D . (-1 , -2, 3)3 .已知直线l _L平面a,直线mu平面B,有下面四个命题:(1)ct/Pnl_Lm; (2) ct_LP=l/m; (3) l/m=a_LP;(4) l _1_ m= a /P 其中正确第11页共8页）条件的命题（）A、（1）（2）B、（1）（3）C （2）（4）D （3）（4）224 .若椭圆 勺十匕=1的焦距等于2,则m的值为（）m 6A.10B.7

3、C.10或 4D.7 或 5-才5 .设a,b为向量，则“ a，b > 0 ”是“ a,b的夹角是锐角”的（A.充分不必要 B .必要不充分C .充分必要 D .既不充分也不必要6 .用数学归纳法证明等式1笠七邛|十（n七）蛇曳巾4：用N时，第一步验证n =1时，左边应取的项是2A. 1B . 1 + 2C. 1+2 + 3D. 1+2+3+47 .如图，网格纸是边长为 1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4 B .8 C . 16 D22c (c为双曲线的半焦距8 .已知双曲线 与Y2=1(a >0,b >0)的一个焦点到一条渐

4、近线的距离为 a b长)，则该双曲线的离心率为()A. 3、59 .点 A,A. 7 -：10.设4B,5223,52C, D均在同一球面上，且AB,AC, AD两两垂直，且 AB=1,7存：AC=2, AD=3,则该球的表面积为45c的三边长分别为 a瓦工BC的面积为S,内切圆半径为 一则a-b-c ,类比这个结论可知：四面体 F-/BC,的四个面的面积分别为 5卜内切球的半径为 ，四面体P-W5C1的体积为匕则/=()A.- - -B3V15点P(8,1)平分双曲线x2 4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线的斜率是 .16 .如图正方形 BCDE的边长为a ,已知AB =J3BC ,将&a

5、mp;ABE沿BE边折起，折起后 A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是 J2 ; AB / CE ；18工天的体积是，a2;6平面ABC，平面ADC ;其中正确的有.(填写你认为正确的序号) 三、解答题17 .(本小题满分10分)22已知关于x, y的万程C： x + y - 2x-4y + m = 0.(1)当m为何值时，方程 C表示圆.(2)若圆C与直线l: x+2y-4=0相交于M N两点，且MN的长为求m的值.18 .(本小题满分12分)设函数y = f (x)对任意实数x、y都有f (x + y) = f (x) + f (y)

6、+2xy ,(1)求f (0)的值；(2)若 f (1)=1 ,求 f(2)、f(3)、f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想 f (n) (nw N+)的表达式，并用数学归纳法加以证明。19 .(本小题满分12分)已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线 AC与边AB AD所成的角分别为 a、P (如图1),则COS2 a +COS2 P =1.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。图1图220 .(本小题满分12分) 求下列曲线的标准方程：(1)与椭圆x2 +4y2 =16有相同焦点，过点 P(d5, J6)的椭圆的标准方程(2)与椭圆) + 1=1有相同的

7、焦点，直线 y = 3x为一条渐近线的双曲线的标准方程. 84(3)焦点在直线3彳-47-12=0上的抛物线的标准方程AB/ DC , D DAB = 90 ：PA _L 底21 .(本小题满分12分)已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形,1面 ABCD,且 PA = AD =DC =, AB=1, M 是 PB 的中点。2(1)证明：面PAD，面PCD ；(2)求AC与PB所成的角；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知椭圆E的中心在原点，焦点在 X轴上，椭圆长轴上的顶点到焦点的距离为近-1,离心率e =3(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l : y

8、 =x+m交E于P、Q两点，点M (1,0),问是否存在 m使MP _L MQ ?若存在求出m的值，若不存在，请说明理由高二数学参考答案1A 2C 3B 4 D 5B 6D 7c 8D 9B 10C 11B 12D111 2n -113. 16n14. 1 + + + + <02 。22 K23 n n15. 216.17. (1) m <5(2) m =4试题解析：(1)方程C可化为(x 1)2+(y 2)2 =5m显然5 m >0时方程C表示圆.即m < 55分(2)圆的方程化为(X1)2 +(y -2)2 =5m,圆心 C (1, 2),半径 r = J5 - m

9、则圆心C (1, 2)到直线l:x+2y-4=0 的距离为|1 +2黑2-4d 二 1222_ 1 :541222121222 MN =-JMN =专,有 r2 = d2 +(，MN )2 ,工 5-m = (-)2 +(玲)2,得 m = 4-：?52, 525. 510分218. (1) 0(2) 4, 9, 16(3) f(n) = n2x y .-=113【解析】 试题分析：(1)令 x=y=0 得 f (0+0) =f (0) +f (0) +2X0X0?f (0) =0 4分(2) f (1) =1 ,f(2)=f(1 + 1)=1+1+2=4K3)=f(2+1)=4+1+2X 2

10、X1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2 X3X1=16 8 分2(3)猜想f (n) =n ,下用数学归纳法证明之.当n=1时，f (1) =1满足条件假设当n=k时成立，即f (k) =k2则当 n=k+1 时 f (k+1) =f (k) +f (1) +2k=k2+1+2k= (k+1) 2从而可得当n=k+1时满足条件对任意的正整数 n,都有f (n) =n2 12分19 .命题：长方体 ABCD ABCD'中，对角线 AC'与棱AB、AD、AA'所成的角分别为a,P J ,则 cos2 a + cos2 P + cos2 ¥ = 1。证明见解析

11、。【解析】 有如下命题：长方体 ABCD ABCD'中，对角线AC'与棱AB、AD、AA'所成的角分别为a,Pj,贝U cos2.不 +cos21 cos2 =1AB 证明：. cosa =,ACAD cos -=AC10分12分此题答案不唯一，只AAcos =AC2 - 2 :2AB2 AD2 AA2 AC 2 d/. cos : - cos cos = = = 1AC 2AC要类比写出的命题为真并证明，都应给相应的分数 2220 .解：(1) =1 4分(2)208(3) y 2 =16x 或 x2 = 12y12分21 .证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图

12、建立空间直角坐标系，则各点坐标为 -1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,-). 2(1)证明:因 Ap =(0,0,1),dC =(0,1,0)，故aP DC =0,所以AP_LDC.由题设知 AD _L DC ,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得 DC _L面PAD .又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.4分(2)因 AC =(1,1,0),PB =(0,2,-1),故 | AC|=V2,| PB|=V5,AC PB = 2,所以cos ： AC,PB =AC PB|AC|PB|1(3)平面 AM

13、C 的一个法向重设为 n=(1, y1,z1), AC = (1,1,0), AM =(0,1,-),2n =(1,-1,2)1y1 =01 八 y 2乙=。1平面 BMC 的一个法向量设为 m = (1,y2,z2), BC =(1,1,0), BM =(0,-1,-),21 - y2 = 0_1n=(1,1,2)_ y2 Z2 =02一1-142一 a ,人、，12分:cos <m, n >=三=一二所求二面角的余弦值为66322.解：(1)设椭圆E的方程为22x y 十 22a b-1,(a b 0)由已知得a -c = 3 -1< c <3= a=J3, c =

14、 1,从而 b2=21a 一 3(3分)椭圆E的方程为(5分)- 22一 I 二 L -1 一 2-由 32= 5x 6mx 3m _6 = 0y = x m设 P(xi，y)、Q(X2,y2),26m3m -6 =则 x1 + x2 =, x1x2 =,二552y1y2 =(x1 m)(x2 m) =x1x2 m(x1 x2) m(7分)由题意 3 3 36m2 - 4 x 5 x (3m2 - 6) > 0 , =_J'5<m<，5(8分)要 mP_LMQ,就要 mP mQ=0, 又 mP =(x1 1, y1) , mQ = (x21,y2)(x1 一1)(x2

15、1)+y1y2 = 0 , = 2x1x2 + (m1)(x + x?) + m2+1 = 0-6m2 -12 6m( m -1)2m55+ 1 =0,二 5m2 6m - 7 = 0(10 分)=4 11 -6f -4 11 -6 厂 一4 11-6=m =或 m =，又一寸5 < m < v 5 ,二 m =,5554 11-6故存在m=U 使得MP_LMQ. (12分)5C.一 一 一11.如图，正方体ABCD- AiBiGD的棱长为1,线段BD上有两个动点 E、F,一 1且EF=.则下列结论中正确的个数 为2 Ad BE;EFT面 ABCD三棱锥A- BEF的体积为定值;AAEF的面积与ABEF的面积相等,A. 4 B . 3C.2 D. 12212 .已知点 P为双曲线 4 =1(a >0,b >0)右支上一点，12分别为双曲线的左右焦点，且a* 2 * 4 b2| F1F2