自动控制原理课件3

1、3.1 典型输入信号和时域分析法 时域分析法是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下系统输出随时间t变化的表达式或其它相应的描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。一、典型的输入信号1.阶跃信号 数学表达式 当A=1时，称为单位阶跃信号ssRtr1)(1)(sAsRtAttr)(0,0,0)(2.斜坡信号 数学表达式 当A=1时，称为单位斜坡信号3.抛物线信号 数学表达式 当A=1时，称为单位抛物线信号 )(tr000ttAt2)(sAsR21)()(ssRttr321)(21)(ssRttr32)(0,210,0)(sAsRtAtttr4.脉冲信号 数学表达

2、式 当A=1时， 称为单位理想脉冲信号5.正弦信号 数学表达式 )(trtttA000AsR)(1)()()(sRttr0sin)(ttAtr22)(sAsR二、时域性能指标（以单位阶跃信号输入时，系统输出为主要特征量）（1）动态性能指标 上升时间tr：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。 峰值时间tp：响应曲线从零到第一个峰 值所需要的时间。 调节时间ts：响应曲线从零到达并停留在稳态值的 或 误差范 围所需要的最小时间。 超调量 ：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分 数。 为 时的输出值。（2）稳态性能指标 稳态性能指标用稳态误差ess来描述，是系统抗干扰精度或抗干扰

3、能 力的一种量度。%5%2反应快速反应快速性性最重要最重要%100)()()(%yytyp)(yt时域性能指标时域性能指标3.2 一阶系统分析一、一阶系统 用一阶微分方程描述的系统。二、一阶系统典型的数学模型微分方程传递函数三、典型输入响应 1.单位阶跃响应rydtdyT11)(TssG01)(tetyTty(t)的特点：（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。（2）是一单调上升的指数曲线。（3）当t=T时，y=0.632。（4）曲线的初始斜率为1/T。性能分析：（1）超调量 不存在。（2）ts=3T或4T。2.单位斜坡响应%0)()(tTeTttyTty(t)的特点：（1）由动态分量和稳态分量

4、两部分组成。（2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时间常数“T”。3.单位抛物线响应y(t)的特点： 输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。4.单位脉冲响应y(t)的特点： 当 时， 。0)1 (21)(22teTTtttyTt0)(tTetyTtt0)(y对一阶系统典型输入响应的两点说明：1.当输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入。2.三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。3.3 二阶系统分析一、二阶系统 用二阶微分方程描述的系统。二、二阶系统典型的数学模型例：对应的系统结构图

5、：对应的微分方程：rcccKKdtdFdtdJ22二阶系统典型的数学模型：开环传递函数闭环传递函数二、典型二阶系统的单位阶跃响应 在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时 特征方程： 特征方程的根：)2()(2nnksssG2222)(nnnsss)2()(222nnnssss0222nnss1221nnS二阶系统响应特性取决于 和 两个参数，在 不变情况下取决于 。1.过阻尼（ 1）的情况 特征根及分布情况： 阶跃响应：响应曲线：nnnp121np122 2122222pspssssssYnnnn 1112112121222ttnneetyt0y12.欠阻尼（ 1）的情况 特征根及分布情况： 阶

6、跃响应： 响应曲线：njp211 njp221 nnnnnssAsAsAssssY222321222 tetyntn221sin111t=0.3=0.50y(t)13.临界阻尼 （ =1）的情况 特征根及分布情况： 阶跃响应： 响应曲线：4.无阻尼 （ =0）的情况 特征根及分布情况： 阶跃响应： 响应曲线：结论：1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。2、实际工程系统只有在 才具有现实意义。np2, 1 tetyntn110ty(t)1njp2, 1 ttyncos1 0ty(t)110三、二阶系统动态特性指标 二阶系统的开环传递函数为： 对应的单位阶跃响应为： 当阻尼比为 时，则系

7、统响应如图： nnskssG22 tetyntnsin11210t0y(t)trtmts1.上升时间 ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。 对于二阶系统，假定情况 下，暂态响应： 令 时，则 经整理得2.最大超调量 ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。 即 最大超调量发生在第一个周期中时刻 ，叫 为峰值时间。 在 时刻对 求导，令其等于零。 经整理得 将其代入超调量公式得 rt10 tetyntn221sin11rtt 1)(rty21nrt% %100)(%yytyPptt ptptt npt21%100%21ne ty3.调节时间 ：输出量 与稳态值 之间的偏差达到允许范围（）

8、，并维持在允许范围内所需要的时间。结论： 若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ， 。 增大可使 下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。st%5%2)(ty)(ynnst31ln2131%52nnst41ln2141%22nnst例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4。 （1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比； （2）求该系统的超调量和调节时间； （3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统 放大倍数K？解（1）系统的闭环传递函数为写成标准形式可知 44)(2sss2222)(nnnsss25.02n（2）超调量和调节

9、时间（3）要求 时，四、提高二阶系统动态性能的方法 1.比例微分（PD）串联校正 未加校正网络前：stensn63%)5(%47%100%21707.05.0/21212nnksrad2222)(nnnsss加校正网络后：校正后的等效阻尼系数：2.输出量微分负反馈并联校正 未加校正网络前：222)21(2)1 ()(nnnnssssn2112222)(nnnsss加校正网络后：校正后的等效阻尼系数：两种校正方法校正后等效阻尼系数：由于可得由于阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态性能。222)21(2)1 ()(nnnnssssn211n21100n13.4 高阶系统分析一、高阶系统

10、数学模型为三阶或三阶以上的系统。二、高阶系统的数学模型其中 闭环传递函数极点；q为实极点个数；r为共轭极点对数； 闭环传递函数零点。三、单位阶跃响应作拉氏反变换后得rknknkkqjjmiriwswspssxzsksy12211)()()()()(1pjpmZZ1rknknkkkkqjjjsSCSBPSASAsy122102)(tetBCteBeAAtynkrkrknkknkkknktkqjtpjtnkknkkj21122101sin11cos)(四、闭环主导极点的概念： 距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡过程中起主导作用，这个极点称为主导极点。 主导极点若以共轭形式出现，该系统可

11、近似看成二阶系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。 3.5 稳定性分析及代数判据一、稳定的概念及条件： 稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于平面的半平面。二、判定系统稳定的方法： 一、二阶系统稳定条件： 特征方程的各项系数均为正。 高阶系统 应用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据。三、劳斯判据 系统特征方程的标准形式：01110nnnnasasasa 系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定

12、，可用劳斯判据判稳。用劳斯判据判稳。 系统稳定的系统稳定的充分条件充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。须为正。列劳斯表：列劳斯表：10112124321343212753116420gSfSeeSccccSbbbbSaaaaSaaaaSnnnn141713131512121311170613150412130211bbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab例 三阶系统特征方程式： 列劳斯表：系统稳定的充分必要条件是 ：0322130asasasa30130213122030asaaaaasaasa

13、as0)(0,0,0,030213210aaaaaaaa四、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响 例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的 范围。 解：系统闭环特征方程为 列劳斯表 系统稳定必须满足 所以 05623KsssKsKsKss023063065100630kK300 K2.确定系统的相对稳定性 稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特征根与虚轴的距离。若要求系统有 的稳定裕量，则（1）用 代入特征方程（2）将z看作新坐标，用劳斯判据再次判稳 zs3.6 稳态误差分析及计算一、误差及稳态误差概念定义1误差：（2种定义）（1）输入端定义（2）输出端定义（3）

14、两者之间的关系)()()()()()(sBsRsEtbtrte)()()()()()(*sYsYstytyt)()(1)(sEsHs )()(1)()()(1)()()()(1)()()()()()(*sEsHsBsRsHsHsYsRsHsYsHsRsYsYs2稳态误差：系统稳态时，输出的实际值与 希望值之差，即稳定系统误差的终值。3稳态误差的计算公式： 终值定理二、稳态误差计算1.在给定输入信号作用下的分析：令)(lim)(tett)(lim)(lim0ssEtestsse0)(sN)(11)()()(sGsRsEskrr考虑R(s)不同时， 与 的关系。设其中K开环放大倍数 V无差度阶数a

15、.单位阶跃输入下的其中 称为位置误差系数)()(11lim)(lim00sRsGsssEeksrssssse)(sGK112122112122)12()1()12()1()(njnlllljmimkkkkiksTsTsTssssKsGssessRttr1)()(1)(pKsksksrsssksGssGssRsGsssEe11)(lim111)(11lim)()(11lim)(lim0000)(lim0sGkksp201001111210lim)(lim00kkeKsKsGkpssskspb.单位斜坡输入下的单位斜坡输入下的其中其中 称为称为速度误差系数速度误差系数sse21)()(ssRttr

16、vksKsksksrssskssGssGsssGssRsGsssEe1)(lim1)(lim11)(11lim)()(11lim)(lim002000)(lim0ssGkksv2011012100lim)(lim00KkeKsKsssGkvsssksvc.单位抛物线输入下的单位抛物线输入下的其中其中 称为加称为加速度误差系数速度误差系数sse321)(21)(ssRttraksKsksksrsssksGssGssssGssRsGsssEe1)(lim1)(lim11)(11lim)()(11lim)(lim202203000)(lim20sGskksa2110121000lim)(lim202

17、0KkeKsKssGskasssksad.典型信号合成输入下的典型信号合成输入下的稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、斜坡和抛物线输入稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、斜坡和抛物线输入下的稳态误差，然后将其结果叠加。下的稳态误差，然后将其结果叠加。sse322)(21)(sCsBsAsRCtBtAtr结论：要消除或减小 ，必须针对不同的输入量来选择不同的系统，并且选择较大的K值。但K值必须满足稳定性的要求。2.在扰动输入信号作用下的分析：令r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)101/K2001/Kssesse0)(sR)(1)()()()

18、()(2sGsHsGsRsEsknr3.给定输入、扰动输入同时作用下的例 已知系统结构图如下，当r(t)=n(t)=1时，求系统稳态误差。)()(1)()(lim)(lim200sNsGsHsGsssEeksnsssssessnssrssssnssrsseeeeee120s21s2N(s)+-R(s)Y(s)解：1.判断系统稳定性 特征方程 应用劳斯判据 因为系统第一列元素全为零，所以系统稳定。2.求给定输入下的稳态误差 方法一：用终值定理04232211201)(1)(2sssssGsDk423421012sss05. 0422122112011lim)()()()(11)()()(0sss

19、sesRssEsGsRsEssssrrrkrr方法二：用静态误差系数法 由于没有积分环节，所以=0，系统为0型系统。3.求扰动输入下的稳态误差)121)(1(20221120)(sssssGk05.021111Kessr05.042242322lim12211201221lim)(lim1)(1)(2000ssssssssssEessNtnssnsssn4. 给定输入、扰动输入下的稳态误差三、减少误差的方法1.增加开环放大倍数K2.增加积分环节的个数3.复合控制（1）按输入信号补偿的复合控制1.005.005.0005.005.0ssnssrssssnssrsseeeeee令若取则有（2）按干

20、扰信号补偿的复合控制)()(1)()(1)()()(1)()()()()()(1)()()()()(2122121sGsGsGsGsRsRsYsRsYsRsEsGsGGsGsGsRsYscc00)()()(1)(2sRsEsGsGc0)(sN令若取则有)()()(1)()()(1)()()()()()(1)()(1)()()(21212121sNsGsGsGsGsGsYsYsRsEsGsGGsGsGsRsYscc00)()()(1)(1sNsEsGsGc0)(sR1)s(s2(s)G 10.2s5(s)G .试计算系统的稳态误差 1(t),n(t)信号 扰动 t,r(t)信号其中 ,设控制系统

21、如图所示 1 例21输入1.010/1误差e10)(lim， )( ,0)(1):解sr0)12.0)(1(10)1(212.05k?ssGksGsNksvssssssY(s)R(s)Y(s)N(s)G1(s)G2(s)-+)( s3 . 0|e|e 1 . 0)2 . 0(1 . 0e (3)-0.2lim(t)1/sN(s), 1(t)n(t) N(s)10) 1)(12 . 0() 12 . 0(2 )(10) 1)(12 . 0() 12 . 0(21)()()(, 0)(2) srsssrss0)1(212 . 05)1(2ensnsnnssnnsssssneeesEesssssEs

22、ssssNsEssR?例 2 一单位反馈系统的开环传递函数为 在输入信号r(t)=(a+bt)1(t)(a,b为常数）作用下，要使闭环稳态误差 小于 试求系统参数应满足的条件。)1)(1()(0sTsTskkkksGfctcfsse解（1）先确定系统稳定的要求。对应的闭环特征方程为tcffcfckkkkssTTsTTsD023)()(由劳斯稳定性判据，得稳定的条件为：fcfctcffcTTTTkkkkTT00, 0, 0（2）应用终值定理求稳态误差tcffcfcekkkksTsTssTsTssGs0) 1)(1() 1)(1()(11)()()1)(1()1)(1(lim)()(lim)(li

23、m20000sbaskkkksTsTssTsTsssRssssEetcffcfcsesssstcfkkkkb0ssefcfctcffcTTTTkkkkbTT0, 0, 0则由知例 3 设某控制系统的结构图如图， 要保证阻尼比 和单位斜坡输入时的稳态误差 ，试确定参数 7.0,K25.0sse结果：186.0,36.31K先求等效的开环传函 ， 再求闭环传函 ，再求误差闭环传函 ；)(s)(sG)(11)(sGse例4 设某复合控制系统如下图结构 控制信号为 ,要求稳态误差为零确定参数 a,b 2/)(2ttr解：先确定误差传递函数由信号流程图的处理方法，可得误差传递函数为：)1)()1()()

24、(2212122221321sTKKssTsbKsaKTTsTTse应用终值定理，保证在给定输入情况下的稳态误差为零，只有当：01, 02221bKaKTT解得：22211,KbKTTa例5 设某控制系统的结构图如下图其中：233222111)(,)1()(,1)(KKsGsTsKsGsTKsG要使系统在扰动 的作用下的稳态误差为零，试确定)(1)(ttf)( sGn解（1）先确定扰动误差的闭环传递函数213121)()(GGGGGGsne（2）应用终值定理，要保证)1(0011)(lim12131331213120sTKKKGGGGGGsGGGGGGsennnssf于是：得：例 6 设有控制系统其结构图如图为提高系统跟踪控制信号的准确度，要求系统由原来的I型提高到III型，为此在系统中增加了顺馈通道，设其传递函数为，若已知系统参数 试确定顺馈参数1)(1223TssssG, 2 . 0, 5 . 0,50, 221TKK21,解（1）求闭环传递函数100212.12.0100)2050(50)2)(1()()(23122212212112222sssssKKssTsKKsTKKKsKs由劳斯稳定性判据，该系统稳定（2）等效单位反馈系统的开环