数值分析：第一章绪论学习教案

1、会计学1数值数值(shz)分析：第一章绪论分析：第一章绪论第一页，共44页。数值数值(shz)分析分析 能够做什么？能够做什么？第2页/共44页第二页，共44页。 研究(ynji)使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。 数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用第3页/共44页第三页，共44页。第4页/共44页第四页，共44页。1、一个(y )两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；实三十九斗； 上禾

2、二秉，中禾三秉，下禾一秉，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分答曰：上禾一秉九斗四分(s fn)斗之斗之一。中禾一秉四斗四分一。中禾一秉四斗四分(s fn)斗之一斗之一。下禾一秉二斗四分。下禾一秉二斗四分(s fn)斗之三。斗之三。-九章算术九章算术第5页/共44页第五页，共44页。263234323923zyxzyxzyx1、一个(y )两千年前的例子第6页/共44页第六页，共44页。nnnnnnaaaaaaaa

3、a212222111211bxAnnbbbxxx2121本课程第三章的内容本课程第三章的内容(nirng)： 线性方程组的数值方法！线性方程组的数值方法！第7页/共44页第七页，共44页。x是行星运动(yndng)的轨道，它是时间t 的函数sin0,01xxt 本课程第二章的内容： 非线性方程的数值(shz)解法第8页/共44页第八页，共44页。第9页/共44页第九页，共44页。 表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组( , , , )x y z t(, )iiiix y z t222111122222222223333222444422255552226

4、666()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)xxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzz0c第10页/共44页第十页，共44页。11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xx( )0F x 记记为为其中其中:,nnF DRR12( ,)Tnxx xx第11页/共44页第十一页，共44页。1000本课程(kchng)第四章的内容：插值法第12页/共44页第十二页，共44页。1950551961960662

5、0719708299219809870519901143332000126743432231ttty30/ )1979( ts432231sssy第13页/共44页第十三页，共44页。第14页/共44页第十四页，共44页。 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块一块(y kui)(y kui)平整的铝板压制而成的平整的铝板压制而成的. .假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长4 4英尺英尺, ,每个波纹的高度每个波纹的高度( (从中从中心线心线) )为为1 1英寸英寸, ,且每个波纹以近似且每个波纹以近似22英寸为一个英寸为一个周期周期. . 求制做一块求制

6、做一块(y kui)(y kui)波纹瓦所需铝板波纹瓦所需铝板的长度的长度L.L.第15页/共44页第十五页，共44页。dxxdxxfL48024802)(cos1)(1上述积分上述积分(jfn)(jfn)称为第二类椭圆积分称为第二类椭圆积分(jfn),(jfn),它不能用普通方法来计算它不能用普通方法来计算. .本课程(kchng)第五章的内容：数值积分第16页/共44页第十六页，共44页。123aaaABBBCBBCAC 第17页/共44页第十七页，共44页。111323ya ya y y 1(0)1y221132322ya ya y ya y2(0)0y3y 222a y3(0)0y A

7、： B：C： 第18页/共44页第十八页，共44页。用计算机解决实际问题的步骤用计算机解决实际问题的步骤(bzhu)(bzhu) 建立数学模型建立数学模型 选择数值方法选择数值方法 编写程序编写程序 上机计算结果上机计算结果步骤：步骤：实际问题建立数学模型提供计算方法实际问题建立数学模型提供计算方法设计程序上机计算获取近似结果设计程序上机计算获取近似结果第19页/共44页第十九页，共44页。第20页/共44页第二十页，共44页。操作性差的例子操作性差的例子(l zi)(l zi)： 求解求解2020阶线性方程组，用阶线性方程组，用CramerCramer法则要用法则要用 次乘法运算次乘法运算,

8、 ,用每秒用每秒1 1亿次的计算机计算亿次的计算机计算, ,大约需算大约需算3030多万年多万年; ;但用消元法只须但用消元法只须30003000次乘法运算，只要几秒钟。次乘法运算，只要几秒钟。209.7 102. 可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现; ;3. 实用性：近似解满足精度要求。实用性：近似解满足精度要求。第21页/共44页第二十一页，共44页。11 nnInI公式一：公式一：.210110,n,dxexeIxnn ( (不实用的例不实用的例子子) )：计算：计算632120560111100.edxeeIx 记记为为*0

9、I80001050 .IIE则初始误差则初始误差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !第22页/共44页第二十二页，共44页。考察第考察第n n步的误差步的误差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|Enn 造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定

10、的算法不稳定的算法。)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：方法方法(fngf)(fngf)：先估计一个：先估计一个IN ,IN ,再反推要求的再反推要求的In ( n In ( n N ) N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可可取取0* NNNIIEN, ,时时当当迅速积累，误差呈递增走势迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050| .E第23页/共44页第二十三页，共44页。632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(

11、1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取 我们仅仅是幸运吗我们仅仅是幸运吗?第24页/共44页第二十四页，共44页。考察反推一步考察反推一步(y b)的误的误差：差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE 以此类推以此类推(y c li tu)，对，对 n N 有：有：11|1(1).(1)nn+1NEEEnN Nn 误差逐步递减误差逐步递减, , 这样的算法这样的算法(sun f

12、)(sun f)称为稳定的算法称为稳定的算法(sun (sun f)f)。第25页/共44页第二十五页，共44页。1.2 向量向量(xingling)和矩阵范数和矩阵范数 Rn 空间的空间的向量范数向量范数 | | 对任意对任意 满足下列条件满足下列条件：nRyx ,00|;0|)1( xxx（正定性正定性)|) 2(xx C 对任意对任意(齐次性齐次性) |) 3(yxyx （三角不等式三角不等式)常用向量范数常用向量范数 (设设1 p 0 使得，使得，则称则称 | |A 和和| |B 等价等价。BABxCxxC|21 定理定理(dngl)1.2.1 Rn 上一切范数都等价。上一切范数都等价

13、。可以理解为对任何可以理解为对任何(rnh)向量范数向量范数都成立。都成立。第27页/共44页第二十七页，共44页。二二. . 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)范数范数Rm n空间的空间的矩阵范数矩阵范数 | | 对任意对任意 满足：满足：nmRBA ,00|;0|) 1 ( AAA（正定性正定性)|) 2(AA C 对任意对任意(齐次性齐次性) |) 3(BABA （三角不等式三角不等式)(4)* | AB | | A | | B | （相容（相容(xin rn) 当当 m = n 时时)定义(dngy)1.2.4第28页/共44页第二十八页，共44页。常用矩阵范数常用矩阵范数：Frob

14、enius 范数范数 ninjijFaA112| 向量向量| |2的直接推广的直接推广 对方阵对方阵 以及以及 有有nnRA nRx 22|xAxAF 算子算子(sun z)范数范数 由向量范数 | |p 导出关于(guny)矩阵 A Rnn 的 p 范数:pxpppxAxxAApx|max|max|10| 则则ppppppxAxABAAB| 特别有：特别有： njijaAni1|max|1（行和范数行和范数） niijaAnj11|max|1（列和范数列和范数）)(|max2AAAT （谱范数谱范数 ）矩阵矩阵(j zhn) ATA (j zhn) ATA 的最大的最大特征值特征值, ,又叫

15、又叫ATAATA的谱半径的谱半径(设设1 p 0, 存在算子范数存在算子范数 | | 使得使得 | A | ( (A) ) 。 设设：.)(,)()(nnnnkijknnijRaAaA AAkk lim是指是指ijkijkaa )(lim对所有对所有 1 i, j n 成立成立。定义定义(dngy)1.2.5(dngy)1.2.5 Ak 0 0 ( ( A ) 1 ) 1定理定理1.2.5设设：.)(,)()(nnnnkijknnijRaAaA AAkk lim是指是指ijkijkaa )(lim对所有对所有 1 i, j n 成立成立。第31页/共44页第三十一页，共44页。证明证明(zhn

16、gmng)： 若不然，则若不然，则 有非零解，即存在非零有非零解，即存在非零向量向量 使得使得 0)( xBI0 x00 xxB 1|00 xxB1| B IBIBI 1)( 11)()(BIBBI11)()( BIBIBI|)(|1|)(|11 BIBBI若矩阵若矩阵 B 对某个算子范数满足对某个算子范数满足 |B| 1，则必有，则必有BI 可逆；可逆；( () )|111BBI 定理定理1.2.6第32页/共44页第三十二页，共44页。35sin()3!5!xxxx 右端是截断误差右端是截断误差!一一 . .误差来源误差来源(liyun)(liyun)（分类）（分类） 1. 1. 模型误差

17、。模型误差。 2. 2. 观测观测(gunc)(gunc)误差。误差。3. 3. 截断误差，如截断误差，如第33页/共44页第三十三页，共44页。2(1.000002)1.000004 0）本本应应（122104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1( 4. 4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是(ysh)(ysh)产生舍入误差。产生舍入误差。3333333333.031 ）本本应应33333333333. 031( 例如：在例如：在1010位十进制数限制下

18、：位十进制数限制下：第34页/共44页第三十四页，共44页。2 2相对误差相对误差。称。称 为为 的相对误差。的相对误差。 实用中，常用实用中，常用 表示表示 的相对误差。的相对误差。 如果如果 则称则称 为为 的相对误差限。的相对误差限。*ex, rre *xr *xreex*x|, e *x第35页/共44页第三十五页，共44页。3 3定义定义(dngy)1.3.1(dngy)1.3.1(有效数字有效数字) )* 0.10 (0, ).m 12p1nxa aaaap设设1*10,2mnxx若则说则说 具有具有n位有效数字，分别是位有效数字，分别是*xnaaa,21 若若 ，则称，则称 为有

19、效数。为有效数。pn *x或称或称 准确到准确到 位位, ,*x10m n第36页/共44页第三十六页，共44页。例例1.3.11.3.1 设设x x* *= 0.0270= 0.0270是某数是某数 x x 经经“四舍五入四舍五入”所得所得(su d)(su d)，则，则 误差误差 e e 不超过不超过 x x* * 末位的半个单位，即末位的半个单位，即：41021* xx311021* xx又又x = 0.270 x10= 0.270 x10-1-1, ,故该不等式又可写为故该不等式又可写为由有效数字定义可知由有效数字定义可知(k zh), x(k zh), x* *有有3 3位有效数字，

20、位有效数字，分别是分别是2,72,7，0 0。第37页/共44页第三十七页，共44页。例例1.3.21.3.2 设设 x = 32.93, = 32.93, x = 32.89 = 32.89。 1102105. 004. 0* xx321021* xx则则 x = 0.3289x10 = 0.3289x102 2, ,故故x x* *有有3 3位有效数字位有效数字(yu xio sh z)(yu xio sh z)，分别是，分别是3 3，2 2，8 8。由于由于x x* *中的数字中的数字9 9不是不是(b shi)(b shi)有效数字，故有效数字，故x x* *不是不是(b shi)(b

21、 shi)有效数。有效数。第38页/共44页第三十八页，共44页。2.2. 定理定理1.3.11.3.1 若近似数若近似数x 具有具有n位有效数字，则位有效数字，则 (1.2) (1.2) 111102nrea反之，反之， 若若 则则x 至少有至少有n位有效数字。位有效数字。111102nrea第39页/共44页第三十九页，共44页。*)*)(*)()(*)(xxxfxfxfyyye 两边除以两边除以 得得 )(*xfy (* )(* )*(* )(* )rfxeyxexrfx (1.4)(1.4) 1. 1. 一元函数情形一元函数情形 设设 则则 ，由，由TaylorTaylor展开公式展开公式 ),(xfy )(*xfy *)(*)(*)(xexfye （1.3）四、数值运算四、数值运算(yn sun)的误差估计的误差估计(1.3)(1.3)和（和（1.41.4）给出了由自变量的误差引起）给出了由自变量的误差引起(ynq)(ynq)的函的函数值的误差的近似式（误差传播）。数值的误差的近似式（误差传播）。第40页/共44页第四十页，共44页。 2. 2. 多元多元(du yun)(du yun)函数情形函数情形设设 ，*),*,*,(*21nxxxfy ),(21nxxxfy , , 则则121( *)(*,*,*) (*) nniiie yfxxxe