数列通项公式的求法课件学习教案

1、数列数列(shli)通项公式的求法课件通项公式的求法课件第一页，共41页。等差数列等差数列(dn ch (dn ch sh li)sh li)的通项公式：的通项公式： 等比数列等比数列(dn b sh (dn b sh li)li)的通项公式：的通项公式： 1(1)naand11nnqaa第1页/共40页第二页，共41页。 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数结构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适用于一的内在联系。适用于一些较简单些较简单(jindn)(jindn)、特殊的数列。、特殊的数列。 第2页

2、/共40页第三页，共41页。例例1 1 写出下列写出下列(xili)(xili)数列的一个通项公式数列的一个通项公式（1 1） -1 -1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636， ；解：解： （如果（如果(rgu)(rgu)数列是正负相间数列是正负相间的，把相应的关于的，把相应的关于 的式子乘以的式子乘以 或或 就可以了）就可以了） （2 2） 2 2， 3 3， 5 5， 9 9， 17 17， 33 33， ；解：解：na121nna21nannn111nn第3页/共40页第四页，共41页。1 1、累加法、累加法 若数列若数列 , ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐

3、项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用，适用(shyng)(shyng)于差为特殊数列的数列。于差为特殊数列的数列。 na)(1Nnnfaann)(nfna第4页/共40页第五页，共41页。 例例1 1 已知数列已知数列(shli) ,(shli) ,满足满足 ，求数列，求数列(shli) (shli) 的通项公式。的通项公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnnaaaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得则则 121naann所以数列所以数列(shli) 的通项公式的通项公式na2nan第5页

4、/共40页第六页，共41页。2 2、累乘法、累乘法(chngf)(chngf) 若数列若数列 , ,满足满足(mnz)(mnz)其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。 )(1Nnnfaannna)(nfna第6页/共40页第七页，共41页。例例2 2、已知、已知 ， , ,求通项公式求通项公式(gngsh) (gngsh) 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nnnnaa2)1(2

5、3nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa第7页/共40页第八页，共41页。3 3、 利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式求通项公式(gngsh)(gngsh)：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系： n.,) 2(111nnnnnaSnSSaSa求由此即可由nnSnSnna第8页/共40页第九页，共41页。)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、设数列、设数列 的前项的前项(qin xin(qin xin) )的和的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求证数列）、求证数列 为等比数列。为等比数列。 na) 1(31)

6、1(311) 2(11nnnnnaaSSan时，、当) 1(31nnaS解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比数列，公比为是首项所以2121na第9页/共40页第十页，共41页。例例3 3 已知数列已知数列 的前的前 项和项和 求证：求证： 为等比数列为等比数列(dn(dn b sh b sh li)li)并求通项公式。并求通项公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比数列，公比为为首项即21na第10页

7、/共40页第十一页，共41页。4 4、构造、构造(guzo)(guzo)等差、等比数列法等差、等比数列法 对于一些递推关系较复杂对于一些递推关系较复杂(fz)(fz)的数列，可通过的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。种情形来处理。（1 1）构造）构造(guzo)(guzo)等差列法等差列法 pqaaqappaannnnn1111则若第11页/共40页第十二页，共41页。例例5 5、已知数列、已知数列 中，中， ，（1 1

8、）、求证）、求证 是等差数列是等差数列(dn(dn ch ch sh li)sh li)（2 2）、求）、求 的通项公式的通项公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首项首项(shu xin(shu xin) )为为1 1，公差为，公差为 的等差数列的等差数列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即第12页/共40页第十三页，共41页。变式题：变式题： 已知数列已知数列(shli)an(shli)an中，中，a1=1,a1=1, an+1+3an+1an-an=0, an+1+3an

9、+1an-an=0, 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项的通项公式公式. .111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)31(1)332nnaann 132nan 第13页/共40页第十四页，共41页。（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若c1c1且且d0d0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来

10、求其通项可通过构造辅助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设an+1+m=c( an+m),an+1+m=c( an+m),得得an+1=c an+(c-1)m, an+1=c an+(c-1)m, 与题设与题设an+1=c an+d,an+1=c an+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成构成(guchng)(guchng)以以 为首项，以为首项，以c c为公比为公比的等比数列，的等比数列，这种方法类似这种方法类似(li s)(li s)于换元法于换元法, , 主

11、要用于形如主要用于形如an+1=c an+1=c an+d(c0,a1=a)an+d(c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（构造（构造(guzo)法或待定系数法）法或待定系数法）6.6.辅助数列法辅助数列法第14页/共40页第十五页，共41页。方法2： 方法2： 1,nnacad 当当2 2时时1,nnnacad 两式相减，得：两式相减，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以

12、为为公公比比的的等等比比数数列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 第15页/共40页第十六页，共41页。方法四：归纳、猜想方法四：归纳、猜想(cixing)(cixing)、证明、证明. . 先计算出先计算出a1,a2,a3;a1,a2,a3; 再猜想再猜想(cixing)(cixing)出通项出通项an;an; 最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc ca

13、ddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法方法(fngf)(fngf)三：迭代法三：迭代法 由由 递推式递推式直接直接(zhji)(zhji)迭代得迭代得第16页/共40页第十七页，共41页。例例6:6:已知数列已知数列(shli)an(shli)an中，中，a1=3,an+1=2an+3,a1=3,an+1=2an+3,求数列求数列(shli)(shli)的通的通项公式项公式解法解法1 1：由：由an+1=2an+3an+1=2an+3得得 an+1+3=2 an+1+3=2（an+3an+3）所以所以

14、an+3an+3是以是以a1+3a1+3为首项，以为首项，以2 2为公比为公比(n b)(n b)的等比数列，所以的等比数列，所以:an+3=:an+3=（ a1+3 a1+3） 2n-1 2n-1故故an=6an=62n-1-32n-1-3解法解法2 2：因为：因为(yn wi)an+1=2an+3(yn wi)an+1=2an+3，所以，所以n1n1时，时，an=2an-1+3an=2an-1+3，两式相减，得：，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1).an+1 - an=2(an-an-1).故故an-an-1an-an-1是以是以a2-a1=6a2-a1=6为首项，以为

15、首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . an-an-1=(a2-a1)2n-1=6an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,2n-1,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1) =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)第17页/共40页第十八页，共41页。2*110(),6263.23nnna xaxnNa 变变式式题题：设设二二次次方方程程有有两两根根满满足足求求证证：是是等等比比数数列列。n+1+ =1n

16、naaa 证证：依依题题意意，由由韦韦达达定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 为为公公比比的的等等比比数数列列第18页/共40页第十九页，共41页。例例7.7.已知已知，111,1nnanana 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项公式的通项公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1）（1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故故由由累累乘乘法法，得得/p>

17、11(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)1nana 1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 第19页/共40页第二十页，共41页。7.7.逐差法逐差法 形如形如an+1+an=f(n)an+1+an=f(n)的数列的数列. .（1 1）若）若an+1+an=d an+1+an=d （d d为常数），则数列为常数），则数列 an an为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通，其通项分奇数项和偶数项分奇数项和偶数(u sh)(u sh)项来讨论项来讨论; ;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）

18、时，可通过构造转的函数（非常数）时，可通过构造转化为化为an+1-an=f(n) an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项; ;或用逐或用逐差法差法( (两式相减两式相减) )转化为转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶分奇偶项来分求通项项来分求通项. .第20页/共40页第二十一页，共41页。例例8. 8. 数列数列(shli)an(shli)an满足满足a1=0, a1=0, an+1+an=2n, an+1+an=2n, 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项公的通项公式式. .分析1

19、.构造转化为型分析1.构造转化为型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 则则111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 时时111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式相加得：第21页/共40页第二十二页，共41页。当当 为为偶偶数数时时，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此时时，nnabn 当当 为为奇奇数数时时，12()12nnnbn 此时，此时，nn

20、ba 1nan 为为奇奇数数故故为为偶偶数数1,.nnnan n 第22页/共40页第二十三页，共41页。解解法法2 2：12nnaan 当当2 2时时1,2(1)nnnaan 两式相减，得：两式相减，得：112nnaa构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公差差的的等等差差数数列列1351,a a aa211(1)22kaakdk 22(1)2kaakdk 为为奇奇数数为为偶偶数数1,.nnnan n . 2 24 46 62 2构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公差差的的等等差差数数列列,a a aa第23页/共40页第二十四页，共41页。课时课时(ksh)(ksh)小结小

21、结 这节课我们主要这节课我们主要(zhyo)(zhyo)学习了数列的通项公式的求法，学习了数列的通项公式的求法，大家需要注意以下几点大家需要注意以下几点: :1 1、若数列、若数列 满足满足 可用累加法可用累加法来求通项公式；若数列来求通项公式；若数列 满足满足 可用累乘法来求通项公式可用累乘法来求通项公式; ;若数列若数列 满足满足 可用构造等差数列可用构造等差数列(dn(dn ch sh li) ch sh li)来求通项公来求通项公式；若数列式；若数列 满足，满足， 可用构造等比数列来求通项公式；若数列可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前已知前 项项 和和 的关系可用的关系可用)(1Nnnfaannnanana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要单独讨论时注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn第24页/共40页第二十五页，共41页。课后作业课后作业(