隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数ppt课件

1、例例 1 设方程设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数为常数)确定函确定函数数 y = y(x)， .ddxy求求解解 在方程两边求微分，在方程两边求微分，d(x2 + y2 ) = dR2，即即2xdx + 2ydy = 0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得，yxxy dd或或.yxyx 例例 2 设方程设方程 y + x exy = 0 确定了函数确定了函数 y = y(x)，.xy 求求解解 方程两边求微分，得方程两边求微分，得d(y + x exy) = d0，即即dy + dx - dexy = 0，dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0.当当 1 - x

2、exy 0 时，解得时，解得，xyxyxyxye11edd 即即.e11exyxyxxyy 例例 3 求曲线求曲线 x2 + y4 = 17 在在 x = 4 处对应于曲处对应于曲线上的点的切线方程线上的点的切线方程.解解 方程两边求微分，得方程两边求微分，得2xdx + 4y3dy = 0，得得).0(2dd3 yyxxy 即对应于即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和和 P2(4, - 1).将将 x = 4 代入方程，得代入方程，得 y = 1.在在 P1 处的切线斜率处的切线斜率 y|(4,1)= - 2，y

3、 1 = - 2(x - 4) 即即 y + 2x 9 = 0在点在点 P2 处的切线方程为处的切线方程为y + 1 = 2(x - 4)，即，即 y - 2x + 9 = 0 在在 P2 处切线的处切线的斜率斜率 y|(4, - 1) = 2.所以，在点所以，在点 P1 处的切线方程为处的切线方程为补证反三角函数的导数公式：补证反三角函数的导数公式：设设 y = arcsin x，那么，那么 x = sin y，两边对，两边对 x 求微分，得求微分，得dx = cos ydy，.cos1yy 时时，因因为为22 ycos y 取正号，取正号，.1sin1cos22xyy 所所以以.11)(a

4、rcsin2xx 参数方程，它的普通方式为参数方程，它的普通方式为. )()(Ittfytx区区间间， 对方程对方程 两边求微分，得两边求微分，得dy = f (t)dt，同样对方程同样对方程 两边求微分，得两边求微分，得dx = (t)dt，得得,d)(d)(ddttttfxy 即即.)()(ttfyx 例例 4设参数方程设参数方程 tbytaxsincos ， ( (椭圆方程椭圆方程) )确确定了函数定了函数 y = y(x)y = y(x)，.ddxy求求解解 dx = - a sin tdt， dy = bcos tdt ，所以所以.cotdsindcosddtabttattbxy 3

5、 t解解 与与 对应的曲线上的点为对应的曲线上的点为 ,21,233 aaP dy = asin t dt ， dx = a(1 cos t)dt ，例例 5求摆线求摆线 (a 为常数为常数) 在对应于在对应于 时曲线上点的切线方程时曲线上点的切线方程 . )cos1( )sin(tayttax，3 t点点 P 处的切线方程为处的切线方程为. 233321 aaxay所以所以. 3dd,cos1sindd3 txyttxy例例 6 设炮弹与地平线成设炮弹与地平线成 a 角，初速为角，初速为 v0 射出，射出，假设不计空气阻力，以发射点为原点，假设不计空气阻力，以发射点为原点， 地平线为地平线为

6、 x 轴，过原点垂直轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为轴方向上的直线为 y 轴轴(如图如图).由物理学知道它的运动方程为由物理学知道它的运动方程为 .21sin,cos200gttvytvx 求求(1)炮弹在时辰炮弹在时辰 t 时的速度大小与方向，时的速度大小与方向， (2)(2)假设假设中弹点与以射点同在一程度线上，求炮弹的射程中弹点与以射点同在一程度线上，求炮弹的射程. . yOx中弹点中弹点解解 (1)炮弹的程度方向速度为炮弹的程度方向速度为 .cosdd0 vtxvx 炮弹的垂直方向速度为炮弹的垂直方向速度为，gtvtyvy sindd0yOx中弹点中弹点VxVy所以，在所以，在 t

7、 时炮弹速度的大小为时炮弹速度的大小为，2202022sin2|tggtvvvvvyx 它的位置是在它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为弹的前进方向，其斜率为(2)(2)令令 y = 0 y = 0，得中弹点所对应的时辰，得中弹点所对应的时辰 ，gvt sin200 .2sin200 gvxt 所所以以射射程程.cossindd00 vgtvxy 解两边取对数，得解两边取对数，得， )2ln()1ln()1ln(231ln xxxy两边求微分，两边求微分， xxxxxxyyd21d11d11231d1例例 7 设设.,)2)(1(

8、)1(2yxxxy 求求3所以所以.21111231dd xxxyxyy.211112)2)(1()1(3132 xxxxxx例例 8设设 y = (tan x)x，求，求 y .解解lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)xxxxxxyyd)coslnsin(ln)coslnsin(lndd1 ， d)coslnsin(lndcossindsincosxxxxxxxxxxx 所以所以 xxxxxxyxyycossinlntancotdd).tanlntancot()(tanxxxxxxx 假设可以对函数假设可以对函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x

9、) 再求导，再求导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数， 称为函数称为函数 y = f(x) 的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x) 或或 y 或或如对二阶导数再求导，那如对二阶导数再求导，那么称三阶导数，么称三阶导数，.dd33xy记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而把而把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数.例例 9设设 y = ex，求，求 y(n).y = ex，y = ex， ，y(n) = ex .解解例例 10设设 y = ln

10、(1 + x) . 求求 y(0)，y(0)， y(0)， ，y(n)(0). ，xy 11解解，21)1)(1()1( xxy；1)0( y；1)0( y，3)1)(2)(1( xy；! 2)2()1()0( y,)1)(3)(2)(1(4)4( xy；! 3)1()3)(2)(1()0(3)4( y,)1)(1()3)(2)(1()(nnxny )1()2)(1()0()( nyn)!.1()1(1 nn例例 11设设 y = sin x ，.ddnnxy求求解解， 2sincosdd xxxy， 22sin2cosdd22 xxxy， 23sin22cosdd33 xxxy. 2sind

11、d nxxynn函数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 普通说来依然是普通说来依然是 x , y 的函数，的函数， 假设这两个函数关于假设这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 那么称它们的偏导数是那么称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数的二阶偏导数.按照对变量的不同求导次序，按照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：个： xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyy

12、zy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数的一阶偏导数.例例 12 求函数求函数 的一切二阶偏导数的一切二阶偏导数.yxxyzsin2 解解,sin2yxyxz 因为因为,cos2yxxyz 所以所以22xz )sin2(yxyx ,sin2y yxz 2)sin

13、2(yxyy ,cos21yx 22yz )cos(2yxxy ,sin2yx xyz 2)cos(2yxxx .cos21yx 本例中本例中 ，yxz 2xyz 2=这不是偶尔的，这不是偶尔的， 有下述有下述定理：定理：定理定理 假设函数假设函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 上两个二上两个二阶混合偏导数阶混合偏导数 、 延续，延续，yxz 2xyz 2 那么在区域那么在区域 D 上有上有.22xyzyxz 即当二阶混合偏导数在区域即当二阶混合偏导数在区域 D 上延续时，上延续时， 求导结果求导结果与求导次序无关，与求导次序无关，证明从略证明从略.这个定理也适用于三这个定理也适用于三元及三元以上的函数元及三元以上的函数.例例 1313,arctanxyz 设设试求试求yxz 2xyz 2，.解解2211xyxyxz ,22yxy xxyyz1112 ,22yxx 222yxyyyxz22222)()20()()()1(yxyyyx ,)(22222yxxy 222yxxxxyz22222)()02()