数学物理方法33学习教案

1、数学物理数学物理(wl)方法方法33第一页，共20页。在正则奇点邻域内求方程在正则奇点邻域内求方程(fngchng)级数解的一般步骤：级数解的一般步骤：第第1步：对方程系数步：对方程系数(xsh)做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；第第2步：写出第一解形式，将其代入系数步：写出第一解形式，将其代入系数(xsh)写为泰勒级数形式的方程；写为泰勒级数形式的方程；第第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系： 由最低次幂项系数得到判定方程；由一般次幂项系数得到系数间递推关系。由最低次幂项系数得到判

2、定方程；由一般次幂项系数得到系数间递推关系。第第4步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解；由判定方程两个根（即步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解；由判定方程两个根（即 和和 ）的关系，写出方程第二解形式，根据不同形式分别求解。）的关系，写出方程第二解形式，根据不同形式分别求解。第第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；本例中，本例中，( )( )1P xp xx222( )( )Q xq xxx 所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数02021, 0 (1),

3、1, 0 (0,2)nnPPnQQQn 第1页/共20页第二页，共20页。按正则奇点邻域按正则奇点邻域(ln y)中级数解法的有关定理，方程的解应具有中级数解法的有关定理，方程的解应具有第第2步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒(ti l)级数形式的方程；级数形式的方程；设第一设第一(dy)解为：解为：求出：求出：1210002000( )()()( )()()nnnnnny xxxaxxyxxxb xx或：或：1210002010000 ( )()()( )( )ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx00( )0

4、nnny xxc xa10()nnnycn x 20()(1)nnnycnnx 第2页/共20页第三页，共20页。代入贝塞尔方程代入贝塞尔方程(fngchng)222()0 x yxyxy得：得：22122000()(1)()()0nnnnnnnnnxcnnxxcn xxxc x 22200()0nnnnnnnc xc x 00( )0nnny xxc xa10()nnnycn x 20()(1)nnnycnnx 220000()(1)()0nnnnnnnnnnnncnnxcn xc xc x 2200()(1)()0nnnnnnnnnc xc x 22200()0nnnnnnnc xc x第

5、3页/共20页第四页，共20页。求判定方程求判定方程(fngchng)：令：令n=0，得到最低次幂项的系数为：，得到最低次幂项的系数为：22令其等于令其等于(dngy)0，得：，得：220判定判定(pndng)方程方程第第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：求系数之间递推关系：由一般次幂项求系数之间递推关系：由一般次幂项 系数求得系数求得kx222 22()0kkkkkc xcx 222()0kkkkccx222()0kkkcc2221()kkcck 递推公式递推公式22200()0nnnnnnnc xc x第4页/共20页第五页，

6、共20页。第第4步：根据步：根据(gnj)判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。它的两个它的两个(lin )根分别是：根分别是：12 两根之差为：两根之差为：122由此可见，参数由此可见，参数(cnsh) 将决定方程两个线性独立解的形式。将决定方程两个线性独立解的形式。判定方程：判定方程：将第一个根将第一个根 代入方程，并利用递推关系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。代入方程，并利用递推关系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。下面，根据方程两根之差的不同情况，讨论两个解的求解过程。下面，

7、根据方程两根之差的不同情况，讨论两个解的求解过程。2201第5页/共20页第六页，共20页。1. 整数整数(zhngsh)、半整数、半整数(zhngsh)时的解时的解此时此时(c sh)， 整数。整数。12根据根据(gnj)定理可知，两个根的形式为定理可知，两个根的形式为121(2)kkcckk 先求第一解。先求第一解。第一解对应判定方程的第一个根：第一解对应判定方程的第一个根：将其代入递推关系式：将其代入递推关系式：得：得：可见，待定系数可见，待定系数 将可以依次类推，用将可以依次类推，用 表示；表示；2kc0c21kc可用可用 表示。表示。1c1210002000( )()()( )()(

8、)nnnnnny xxxaxxyxxxb xx2221()kkcck 第6页/共20页第七页，共20页。下面下面(xi mian)求用求用 表示表示 的公式。由递推公式可得：的公式。由递推公式可得：0c2kc200112(22)2 2(1)ccc 422114(24)2 2 2(2)ccc 22242411(22)(222)2(1) 2(1)kkkccckkkk 22222112 (22 )22()kkkccckkkk 将以上等式的左右两边分别将以上等式的左右两边分别(fnbi)相乘，消去相同因子，即可得：相乘，消去相同因子，即可得：2021( 1)2!(1)(2).()kkkcckk 21(

9、2)kkcckk 第7页/共20页第八页，共20页。将将 代入，得：代入，得：下面求用下面求用 表示表示(biosh) 的公式。重写系数关系式：的公式。重写系数关系式：21(2)kkcckk 1c21kc由由 的系数的系数(xsh)，得：，得：1x221(1)0c（由于（由于(yuy)级数从级数从 次项开始，对应的系数为次项开始，对应的系数为 ，之前的系数均为，之前的系数均为0。因此第二项舍去）。因此第二项舍去）1(21)0c因此，有：因此，有： 10c x0c222()0kkkcc第8页/共20页第九页，共20页。21(2)kkcckk 21212311(21)(221)11 (21)(22

10、1) (21)(221) .11 ( 1).(21)(221)3 (23) 0kkkkcckkckkkkckk 由递推公式由递推公式(gngsh)可得：可得：得到得到(d do)方程第一解为：方程第一解为：2100( 1)( )( )!(1)(2).() 2kkkxy xc xkk将将 和和 代入第一代入第一(dy)解解2021( 1)2!(1)(2).()kkkcckk 210kc100( )nknknky xxc xc x第9页/共20页第十页，共20页。(1)( )(1) (1). (1)(1)!nn （ ）通常通常(tngchng)将将 取为：取为：0c012(1)c 函数函数(hns

11、h)性质：性质：当当 （n为整数为整数(zhngsh)）时：）时：n把这样的把这样的 记作记作1yJ ( ) x210( 1)J ( )( )( )! (1) 2kkkxxy xkk称为称为+ 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数J ( ) x此时，另一个线性独立的解应对应此时，另一个线性独立的解应对应2 2200( 1)( )( )!(1)(2).() 2kkkxyxc xkk2100( 1)( )( )!(1)(2).() 2kkkxy xc xkk将其代入第二解形式（与第一解形式相同），可得：将其代入第二解形式（与第一解形式相同），可得：(1)1第10页/共20页第十一页，共20页。得到得到(d d

12、o) 阶的贝塞尔函数阶的贝塞尔函数 为：为：通常通常(tngchng)也将也将 取为：取为：0c012(1)c 220( 1)J( )( )( )! (1) 2kkkxxyxkk J( ) x最后，非整数最后，非整数(zhngsh)半整数半整数(zhngsh)阶的贝塞尔方程的通解就是阶的贝塞尔方程的通解就是 和和 的线性组合。的线性组合。J( )xJ ( ) x12( )J ( )J( )y xcxcx第11页/共20页第十二页，共20页。2. =整数整数(zhngsh)时的解时的解判别判别(pnbi)方程的两根之差为方程的两根之差为12()2nnn 第一个解只需将第一个解只需将 里的里的 换

13、成换成n 210( 1)J ( )( )( )! (1) 2kkkxxy xkk即为：即为：210( 1)J ( )( )( )! (1) 2knknkxxy xknk因为因为(yn wi)(1)()!nknk所以正整数阶的贝塞尔函数可写成所以正整数阶的贝塞尔函数可写成201J ( )( 1)( )!()! 2knknkxxk nk第12页/共20页第十三页，共20页。当当n=1，2，3时，观察时，观察(gunch)第二个解（第二个解（ ）：）：220( 1)J( )( )( )! (1) 2knknkxxyxknk n 当当n=0时，很明显时，很明显(mngxin)，只给出了同一个解。，只给

14、出了同一个解。前前k=0,1,2,n-1各项的系数各项的系数(xsh)均为均为0，这是因为，这是因为x=0,-1,-2,都是都是 函数的一阶极点。函数的一阶极点。对对k之求和实际上从之求和实际上从k=n开始，即开始，即2( 1)J( )( )! (1) 2knkk nxxknk 令令m=k-n，将求和指标从，将求和指标从k换成换成m(m=0,1,2,)，则有，则有20201J( )( 1)( )()! (1) 21 ( 1)( 1)( )!()! 2 ( 1) J ( )m nnmnmnmnmmnnxxmnmxm mnx 与第一解线性相关。与第一解线性相关。第13页/共20页第十四页，共20页

15、。因此另一个因此另一个(y )解要取含对数项的形式。解要取含对数项的形式。这个解称为这个解称为(chn wi)诺依曼函数诺依曼函数 ：N ( )nx120221(1)!N ( )ln( /2)J ( )( )!21( 1)1111 1.1.( )!()!222nnknnkk nnkk nnkxxxCxkxk knknk 其中其中(qzhng)，C为欧拉常数，为欧拉常数，C=0.577216最后，最后， =整数时的贝塞尔方程的通解应是整数时的贝塞尔方程的通解应是12( )J ( )N ( )nny xcxcx 和和 有个重要性质：有个重要性质：J( )xN ( )nx当当x-0时，有时，有J(

16、) x N ( )nx 因此，若在解贝塞尔方程时带有边界条件：要求解在因此，若在解贝塞尔方程时带有边界条件：要求解在x=0处有限，那么在两种情况下，应分别舍去处有限，那么在两种情况下，应分别舍去 和和 ，只取，只取 和和 。JN ( )nxJJn2( )yx原则上，将原则上，将 代入贝塞尔方程，即可定出系数。代入贝塞尔方程，即可定出系数。第14页/共20页第十五页，共20页。Nn(x)函数也可用以下函数也可用以下(yxi)定义求得：定义求得：( )cos( ) ()sin( )( )cos( )lim ()sinJxJxYxJxJx不等于整数等于整数( )cos( )( )limsinnnJx

17、JxNx综上所述，贝塞尔函数综上所述，贝塞尔函数(hnsh)的通解可表示为：的通解可表示为：( )( )( )y xAJxBYx( )( )JxYx：第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数第15页/共20页第十六页，共20页。3. =半整数半整数(zhngsh)时的解时的解判别方程判别方程(fngchng)的两根之差为：的两根之差为： ，也是整数，方程，也是整数，方程(fngchng)的形式同样要取的形式同样要取122在此只研究在此只研究(ynji) 的特例。的特例。12此时方程为：此时方程为：222(1/2) 0 x yxyxy这个方程的解可用初等函数表示，所以不用级数解法，可直接求解。这个方程

18、的解可用初等函数表示，所以不用级数解法，可直接求解。对方程作如下变换：对方程作如下变换：1/2( )(2/)( )y xxu x代入原方程，化简得：代入原方程，化简得：0uu其通解为：其通解为：( )sincosu xAxBx1210002010000 ( )()()( )( )ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx第16页/共20页第十七页，共20页。将原方程的两个线性独立将原方程的两个线性独立(dl)解分别记作解分别记作 和和 ，1/2J( )x1/2J( ) x1/21/2J( )(2/)cosxxx1/21/2J( )(2/)sinxxx方程的通解方程的通解(tngji)是这两个解的线性组合：是这两个解的线性组合：1/21/21/21/2J( )J( ) (2/)sin(2/)cosyAxBxAxxBxx