五年级奥数数论专题讲义

1、进制的性质与应用_>知识框架一、数的进制(1)十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的 大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 (2 )二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字。和1。二进制的计数单位分别是 1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110在二进制中表 示为：(100110) 2=1 X 2 5+0X 2 4+0X 2 3+1 X 2 2+1 X 2 1+0X 2 O。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零

2、零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数 n,我们有n0=1。(3) k进制：一般地，对于k进位制，每个数是由0, 1, 2,，(k1)共k个数码组成，且“逢k进一”.k(k>1) 进位制计数单位是 k°, k1, k2 ,如二进位制的计数单位是 2°, 21, 22 ,八进位制的计数单位 是 8 °, 81 , 82 ,.(4) k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式(anan 4 H a1a0)k =an k ' an 4 k III a1 k a0十进制表示形式：N =an10n 十an410n，+| +a0100 ；

3、二进制表示形式：N =an2n +an2n，十川十a020 ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ,表示是k进位制的数如：(352)8 , (1010)2, (3145)12，分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数. (5)k进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。、进制间的转换:一般地，十进制整数化为 k进制数的方法是：除以 k取余数，一直除到被除数小于 k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为 k进制数.反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次哥形式展开，然后按十进制数相加即可得结果.如右图所示：

4、I V-与J重难点1. 几进制就是逢几进一，借一当几。2. 别的进制的运算和十进制差不多，只要注意逢几进一，借一当几就行。H例题精讲LJ例1把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的54 / 151【巩固】567 =(8 8 =()5 =(【例2】同学们请将(11010101)2,(4203)5,(7236)8化为十进制数，看谁算的又快又准。【巩固】同学们请将(2001)3，(2011)4，(4203)6化为十进制数，看谁算的又快又准。【例3】二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少?【巩固】某数在三进制中为1212012011011012112

5、1,则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几？例 4(101)2父(1。11)2 -(11011)2 =；(11000111)2 -(10101) 2 y11)2=()2；【巩固】在八进制中，1234 _456 _322 =;在九进制中， 14438 +3123 7120 -11770 +5766 =例5在几进制中有125 M125 =16324 ?【巩固】算式1534 M25 =43214是几进制数的乘法?【例6】在6进制中有三位数abc ,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少【巩固】在7进制中有三位数abc ,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少?【例7】

6、现有1克，2克，4克，8克，16克的祛码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体?【巩固】古代英国的一位商人有一个 15磅的祛码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物 （祛码只能放在天平的一边） 那么这 4块祛码碎片各重 , , ,.【例8】有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个.如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重 9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次【巩固】小马虎将一些零件装箱，每个零件10g,装了 10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能

7、把所有的次品零件都找出来么?【例9】计算（22003 1）除以7的余数.【巩固】计算（32003 -1）除以26的余数.课堂检测【随练1】若（1030）n =140 ,则n =【随练2】在几进制中有4父13=100?【随练3】10个祛码，每个祛码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆祛码总重量最少为温*复习总结注意进制和余数还有一些相关应用题的关系。家庭作业【作业 1】求(2011)3, (2011)5,(2011)8【作业 2】2011= ()3= ()5= ()8【作业 3 】(63121)8 -(1247)8 -(16034)8 -(26531)8 -(1744)8 =【作业4

8、 如果只许在天平的一边放祛码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个祛码?【作业5】一个自然数，在3进制中的数字和是 2007,它在9进制中的数字和最小是 ,最大是【作业6 在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进制中的147在20进制中的t音是"seyth ha seyth ugens",而十进制中的 49在20进制中的t音是"nawha dew ugens”，那么20进制中读音是"dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数 _教学反馈奇偶分析、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类 .能被

9、2整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇数。通常偶数可 以用2k （k为整数）表示，奇数则可以用 2k+1 （k为整数）表示。特别注意，因为 0能被2整除，所以0 是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1:偶数珈数=偶数，奇数埼数=偶数性质2:偶数埼数=奇数性质3:偶数个奇数的和或差是偶数性质4:奇数个奇数的和或差是奇数性质5:偶数 ><数=偶数，奇数滔数=奇数，偶数刈禺数=偶数三、两个实用的推论推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b，有a+b与a-b同奇或同偶重难点本讲知识点属于数论大板块内的定性分析”部分，小学生的

10、数学思维模式大多为纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0,本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力， 培养孩子明白做题前有时要先看能不能这么做， 再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。_例题精讲【作业1】1 +2 +3 +1993的和是奇数还是偶数?例1从5开始的连续的2005个整数的和是 数（填：奇"或 偶"。）【作业2】1 +2父3 +4黑5+6 77 +111 +98 X"的计算结果是奇数还是偶数，为什么?【例 2】1+3 M5+7父9

11、 M11 +13父15 M17 M19十川+43 M45 Mli |父51父55 +57 M 59MliI父69父71的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【作业3】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,那么这个数是多少?【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80,那么这三个偶数的和是多少?【作业4】能否从四个3,三个5,两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【巩固】能否从、四个6,三个10,两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【作业5】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4,最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是

12、最小的两位奇数.求这四个数.【巩固】三个相邻偶数的乘积是一个六位数8* 2 ,求这三个偶数.【作业6】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【巩固】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数， 原三位数与新三位数之和能否等于999?【作业7】已知a,b,c是三个连续自然数，其中a是偶数。根据下面的的信息：小红说：那么a+1 , b+ 2 , c+3 这三个数的乘积一定是奇数 ”；小明：不又a+1,b+2,c+3这三个数的乘积是偶数 ”。判断小红和 小明两人的说法中正确的是 。【巩固】试找出两个

13、整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999 .如果找得出来,请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由.【作业8】你能不能将自然数1到9分别填入3X3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。【巩固】你能不能将整数0到8分别填入3q的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数【作业9】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好.主人很高兴，笑着说：不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个.”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人

14、数是奇数，还是偶数？为什么?【作业10】 李东到商店买练习本。每本 3角，共买9本。服务员问： 你有零钱吗？”李东说：我带的全是5角一张的“。服务员说： 真不巧，您没有2角一张的，我的零钱全是 2角一张的，这怎么办？为 帮李东想一想，他至少应该给服务员 张5角币。【巩固】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分,答错侄口 1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.课堂检测【随练1】能否将1 16这16个自然数填入4父4的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理

15、由.【随练2】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66,88,154.问：原来写的三个整数能否为1, 3, 5?【随练3】甲、乙两个哲人将正整数 5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张.剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了.甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：我知道你的两张卡片上的数的和是偶数.”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一.家庭作业【作业1】东东在做算术题时，写出了如下一个等式:1038 =13X75 +64 ,他做得对吗?【作业2】是否存在自然数a和b,使得ab(

16、a+5b) =15015 ?【作业3】甲同学一手握有写着 23的纸片，另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题：请将左手中的数乘以 3,右手中的数乘以 2,再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗？【作业4】一个图书馆分东西两个阅览室.东阅览室里每张桌子上有2盏灯.西阅览室里每张桌子上有 3盏灯.现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数.问：哪个阅览室的桌子数是奇数?【作业5】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【作业6】

17、在8个房间中，有7个房间开着灯,1个房间关着灯.如果每次拨动 4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么?【作业7】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有 10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大 7岁.问：年龄最大的人是多少岁？另外两人的岁数的奇偶性相同吗？【作业8】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了 9次，则比赛的结果甲是第 名.奇偶分析知识框架一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k （k为整数）表示，奇数则可以用

18、2k+1 （k为整数）表示。特别注意，因为 0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1:偶数珈数=偶数，奇数埼数=偶数性质2:偶数埼数=奇数性质3:偶数个奇数的和或差是偶数性质4:奇数个奇数的和或差是奇数性质5:偶数 ><数=偶数，奇数滔数=奇数，偶数刈禺数=偶数三、两个实用的推论推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b，有a+b与a-b同奇或同偶一重难点本讲知识点属于数论大板块内的定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0,本讲力求

19、实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力， 培养孩子明白做题前有时要先看能不能这么做， 再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。例题精讲例1 1+2 +3+4 +5+6+7 +川+99+100 +99 +98 +97 +96十|十7十6+5+4+3+2+1的和是奇数还是偶数？为什么?【巩固】(200 +201 +202 +288) (151 +152 +153+233)得数是奇数还是偶数?【例2】能否在下式的“匚内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。(1)1 口 2 3 4 5 6 A710口

20、 8 口 9(2)1 口 2 3 4 5 6 A727D 8 口 9【巩固】能否在下式的“匚内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。(1) 1 口 3口5 口 7 9 11 口13 日 15 口 17(2) 2口 4 6 8 10 口 12 14 A167 口 18例3 一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是58,这个数最小是【巩固】一个数的各个数位数字均为奇数，且数字之和是例4多米诺骨牌是由塑料制成的1X2长方形，共28张，每张牌上的两个1X1正方形中刻有 熏”，点的个数分别为0, 1, 2,，6个不等，其中7张牌两端的点数一样， 即两个0,两个1,，两个6;其余21

21、张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点？并简述你的理由.【巩固】一条线段上分布着 n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？例5有一批文章共15篇，各篇文章的页数是 1页、2页、3页、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？【巩固】一本故事书共有 30

22、个故事，每个故事分别占 1、2、3、30页(未必按这个顺序)。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有 个故事是从奇数页开始的。【例6】是否存在自然数a和b,使得ab(a+b)=115?【巩固】是否存在自然数 a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327?【例7】已知a,b,c中有一个是511, 一个是622, 一个是793。求证：(a 1)(b 2)(c 3)是一个偶数。【巩固】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d,并且说这四个整数满足四个算式:a b c d -a =1991 a b c d -b =1993 a b c d -c =1995a b c d

23、 -d =1997但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗?【例8】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a =5 +3 =8 .问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?a =5父3 =15 ,问填入的 81个【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如:数中是奇数多还是偶数多?【例9】在黑板上写（2,2,2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1,得（2,2,3）,再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1,得（2, 4, 3）,再把2抹掉后写其余两数的和减1,得（6, 4

24、, 3）,继续这一过程，是否能得到（859, 263, 597） ?【作业9】 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字，那么在这一串数中，会依次出现 1、9、8、8这四个数吗？【例10】有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋.康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？【例3】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜

25、色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋 中放一个黄球，已知原来有红球42个、黄球23个、蓝球43个，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？一课堂检测【随练1】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由.【随练2】设a, b,c,d,e, f , g都是整数，试说明：在a +b, b+c,c +d ,d +e,e + f, f +g,g +a中，必有奇数个偶数.【随练3】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相

26、对的面，第一组相对的面上都写着数字1,第二组相对的面上都写着数字 2,第三组相对的面上都写着数字3（如图）.现在把这8个小正方体拼成一个棱长是 2的大正方体.o问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数？家庭作业【作业1 29 +30 +31 +87+88得数是奇数还是偶数?【作业2】1M3 M5+7 M9 M11 +13父15 M17 +IH +55M57 M59+61父63父65的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【作业3】西西在做算术题时，写出了如下一个等式:1038 =12x75 +65 ,他做得对吗?【作业4】a、b、c三个数的和与它们的积的和

27、为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数?【作业5】在8X8”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子.若要求8行、8列、30条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数.那么 8父8”的方格中最多可以放多少枚棋子？【考点】奇偶分析法之图论【作业6】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话， 有些人则总 说假话.今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多.又当问及：你的右邻是什么人”时，大家全部回答：是化学家.”那么请你证明：k为偶数.【作业7】有一个袋子里装着许多玻璃球. 这些玻璃球或者是黑色的， 或者是白色的.假设有人从袋中取球, 每次取两只球.如果取出的两只球是

28、同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只 球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球.他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只 黑球.请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？【作业8】黑板上一共写了 10040个数字，包括2006个1, 2007个2, 2008个3, 2009个4, 2010个5.每 次操作都擦去其中 4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1;）.如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩 下了两个数字，那么这两个数字的乘积是 .奇偶性及其应用3”的故事自然数家族中最调皮的要算数3 了，由

29、于他个头长得比较矮，大家都亲切地叫他“小 3”，小3走路从都不好好走他走起路来连蹿带蹦，身体往前走眼睛却往后瞧这一次，小3又歪着脑袋一溜烟地往前跑，“咚 ”的一声和一位白胡子老爷爷撞了个满怀.白胡子老爷爷说：“小 3，你又到处乱跑，撞了车碰了人多不好.”小3不以为然地说：“撞一下没事，到处跑一跑多自在呀！”“没事？从现在起你再撞着谁，你将和谁作一次乘法，不信，你就撞去吧 .”白胡子老爷爷用手指了一 下小3,不见了 .“撞着谁就和谁作一次乘法？嘻嘻，这倒挺好玩，我要撞一撞，试一试 .”小3说完就往前跑.远远看见数2坐地一块石头上，小 3低头朝数2猛撞过去.只听“咚”的一声响，地上冒起一股白烟.白

30、烟过后，数2没了，小3也没了，坐地石头上的却是数6,小3呢？原来小3和数2被一个乘号“X”紧紧地箍在一起，变到数 6的肚子里去了， 2X3=6.数6站起来拍了拍裤子上的土，朝偶数村走去.小3 一看数6往偶数村走，就着急了 .他喊道：“不对，走错方向了，我不住在偶数村，我是奇数，我住在奇数村 .”数2说；你嚷嚷什么！谁让你撞我，和我作乘法来着.任何一个奇数只要和我数 2相乘，立刻就变成偶数.”小3惊奇地说：“你那么厉害？如果偶数和你作乘法呢？”“偶数和我数2相乘，当然还是偶数.一句话，任何一个自然数和我相乘，都将变成为偶数.”小3唉求说：“数2帮帮忙，你是偶数，我是奇数，咱俩没关系，咱俩一起使劲

31、，挣脱开这个乘号吧.”数2摇摇头说：“不对！谁说咱俩没关系？你好好想一想，你小 3除了是奇数，还是什么数？”小3想了一下说：“我除了是奇数，还是个质数.你知道什么 是质数吗？质数就是有且仅有两个因数的正整数.”数2说？ “我也是质数呀，和你是一家子 .”“骗人！我有许多质数朋友，比如5、7、11等等都是奇数.你数2是偶数，怎么会是质数呢 ？”“是不是质数，应该用质数的定义来衡量.我数2只有2和1两个因数，不能再被其他自然数整除，当然是质数喽.”小3想了想说：“对！你符合质数定义，你是质数“我是质数中唯一的偶数，也是最小的质数.”“对！ ”“我还是正整数家族中最小的偶数 .”“一、二、三！ ”小

32、 3向数2招招手说；“再见了，正整数家族中最小的质数，最小的偶数.”小3又开始跑了，他一面跑一面想偶数可撞不得！ 一撞偶数，就变成偶数了，可就回不了奇数村啦.小3只顾想事，一不留神和数 5撞地一起，一股白烟过后，3X5变成了 15.小3高兴地说：“撞上奇数可没事，三五一十五，结果还是一个奇数，一点没变.”数5嘟嚷地说：“什么一点没变啦！你数 3是质数，我数5也是质数，咱俩相乘变成了 15, 15可不是 质数.”小3 一摸后脑勺说：“对呀！和一个不是 2的质数相乘，虽说乘积还是个奇数，但是已经不是质数了 . 唉！说真的，咱俩相乘之后变成了什么数了？”数5说：“咱俩相乘得 15 ,这15除了可以被

33、1和本身整除，还能被你 3,我5整除，这样的自然数 叫合数.”“变成合数了，那我可不干.”小3使劲挣脱了乘号，又低头猛跑 .“咚”的一声，又撞到了一个数 .一股白烟过后，小 3摇了摇脑袋发现自己并没变，还是数3.怪呀！我明明撞上了一个数，怎么没发生变化呢？难道是地作梦？只听一个数地自己肚子里说：“你撞着我了. ”“你是谁？”“我是1呀！”“噢，我想起来了 . ”小3说，“任何一个自然数和 1相乘，还得原来的数.数1这个性质真奇特.”小3连蹿带蹦又往前跑，眼看就要撞上站地前面的一个数了，突然，一个人把他拉住了：“不能撞他，危险！”小3 一看，拉他的人正是那个白胡子老爷爷 .小3不服气地说：“为什

34、么不能撞？偶数、 奇数我都撞过， 他有什么了不起？我偏要撞.”说完又低头往前冲.白胡子老爷爷说：“你看看他是谁？待前面的数一回头，把小3吓了一跳，原来他是数 0.白胡子老爷爷说：“。和任何数相乘都得 0.你如果冒冒失失地一头撞到0的身上，和0作乘法，可就永远变成了 0,再也看不见你这个小 3 了.”小3听了这番话，吓得出了一身冷汗 .他赶紧向白胡子老爷爷一鞠躬说：“感谢您救了我一条命，我今 后再也不到处跑了 .老爷爷，您到底是谁呀？”“闯一闯也好，使你他了不少见识，对自然数的乘法有了更深的了解.不过，你还要认真地读书和学习，才能不断地进步.你要问我是谁呀？你来看.”一股白烟过后，出现了一本很大

35、的数学书.啊！白胡子老爷爷原来是数学书变的.三、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类 .能被2整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇数.通常偶 数可以用2k （k为整数）表示，奇数则可以用 2k+1 （k为整数）表示.特别注意，因为 0能被2整除，所以 0是偶数.四、奇数与偶数的运算性质性质1:偶数土偶数=偶数，奇数土奇数=偶数性质2:偶数土奇数=奇数性质3:偶数个奇数的和是偶数性质4:奇数个奇数的和是奇数性质5:偶数X奇数=偶数，奇数X奇数=奇数，偶数X偶数=偶数3、重难点金推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性推论2：对于任意2个整数a, b ,有

36、a+b与a-b同奇或同偶推论3：多个数相乘，只要有一个是偶数，就得偶数，除非全是奇数，才可能得奇数例题精讲【例1】29 +30 +31 +87 +88得数是奇数还是偶数?【巩固】1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 + 川+99 +100 +99 +98 +97 +96 +| +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 的和是奇数还是偶数？为什么?150,那么这个数是多少?80,那么这三个偶数的和是多少?【例2】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差【例3】 能否从四个3,三个5,两个7中选出5个数，使这5个数的和等

37、于22.【巩固】能否从四个6,三个10,两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.例4 有一批文章共15篇，各篇文章的页数是 1页、2页、3页、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多 有多少篇？【巩固】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占 1、2、3、30页（未必按这个顺序）.第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有 个故事是从奇数页开始的.【例5】 两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【巩固】 任意

38、交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999?【例6】 是否存在自然数a和b,使得ab(a+b)=115?【巩固】 是否存在自然数a和b,使得ab( a+5b) =15015 ?【例7】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数?是一个偶数【巩固】已知a,b,c中有一个是511, 一个是622, 一个是793.求证:【例8】 你能不能将自然数1到9分别填入3X3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数【巩固】你能不能将整数0到8分别填入3q的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数【例9】 甲同学一手握有写着 23的纸片

39、，另一只手握有写着 32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题: 请将左手中的数乘以 3,右手中的数乘以 2,再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？ 甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗？【巩固】一个图书馆分东西两个阅览室.东阅览室里每张桌子上有2盏灯.西阅览室里每张桌子上有 3盏灯.现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数.问：哪个阅览室的桌子数是奇数?【例10】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好.主人很高兴，笑着说：不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个.”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？

40、【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张 贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例11】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下?【巩固】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下?家庭作业【随练4】桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少次可使向上的一面都是“国徽”【随练5】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了 9

41、次，则比赛的结果甲是第 名.【随练6】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由.家庭作业【作业7】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯.如果每次拨动 4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么?【作业8】是否存在自然数a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327 ?【作业9】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋.康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子 放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白

42、棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？这样继续操作下去，最后得到66,【作业10】 在黑板上写出三个整数， 然后擦去一个换成其它两数之和,88, 154.问：原来写的三个整数能否为1, 3, 5?【作业11】 四年级一班同学参加学校的数学竞赛,试题共 50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.数的整除、约数倍数课前预习“0”大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里，不

43、需要“0这个数字。而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“您个符号。他发现，有了“0,”进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0的方法向大家做了介绍。过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼 怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头 紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。就这样，“0被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。但是，虽然“0被禁

44、止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0；仍然用“0做出了很多数学上的贡献。后来“0终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。知识框架、常见数字的整除判定方法：1. 一个数的末位能被 2或5整除，这个数就能被 2或5整除；2. 一个数的末两位能被 4或25整除，这个数就能被 4或25整除；3. 一个数的末三位能被 8或125整除，这个数就能被 8或125整除;4. 一各位数数字和能被 3整除，这个数就能比 9整除；5. 一个数各位数数字和能被 9整除，这个数就能被 9整除；6. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个

45、数能被11整除.7. 1001特征（家有三子7、11、13）一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；或者，其奇数位数字之和（从个位往高位数，个位为第 1位，即为奇数位）减去偶数位数字之和所得的差 除以11的余数；一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差 （大减小）能被13整除;【备注】（以上规律仅在十进制数中成立 .）、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被 c整除.即如果c| a, c | b,那么 c | （a

46、b）.性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a,c I b,那么 c I a.用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那么 b I a, c I a.性质4如果数a能被数b整除，也能被数 c整除，且数b和数c互质，那么a 一定能被b与c的乘积整除.即如果 b I a, c I a,且（b, c）=1,那么bc I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4）=1 ,那么（3 M） I 12.性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a,那么b

47、m | am （m为非0 整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除.如果b | a ,且 d I c ,那么 ac | bd；三、质数与合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了 1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个；除了 2其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余 的质数个位数字只能是1, 3,

48、 7或9.考点：值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.四、质因数与分解质因数1 .质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有 1的两个自然数，叫做互质数 .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如：30 =2父3父5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 =2父2M3=22父3 , 2、3都叫做12的质 因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是

49、解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.2 .唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n= p；父区2父p33p；k其中为质数，& <a2 cHIHIcak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：-210=2X3X5X7, 可知这三个数是 5、6和7.3 .部分特殊数的分解111 =3卬；1001 力父1113； m =41 父271 ； 10001 =73 召37 ； 1995 =3父5父7父19 ；1998 =2父3父3父3父37； 2007 =3父3父223； 2

50、008 =2父2父2父251； 10101 =3父7父13父37.4 .判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于 K的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么 p就为质数.例如：149很接近144=12父12,根据整除的性质 149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质 数.五、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1 .求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质

51、因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231 =3 x7 x11, 252 =22 M32 父7 ,所以（231,252） =3x7 = 21 ;218 12短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如:39 6 ,所以(12,18) =2x3=6 ;3 2辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余 数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数 去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公

52、约数.（如果最后白除数是1,那么原来的两个数是互质的 ）.例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515T600 =2用315 ; 600 +315 =1| | 285 ; 315 + 285 =1| | 30 ;285 +30 =9|串5; 30-15 =2|0 ;所以1515和600的最大公约数是 15.2 .最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数 n,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n .3 .求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的

53、分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b; b即为所求. a六、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：231=3父7父11,252 =22 父32M7 ,所以1231,252 = 22黑32乂 7 父11=2772 ;短除法求最小公倍数；218 12例如：3|9 6 ,所以18,12=2父3父3父2=36;3 2a,ba b(a,b)2 .最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.3 .求一组分数的最小公倍数方法步骤先

54、将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数b;-a即为所求.例如：3,5=3,5 =154 12（4,12）4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：C,f=" = 4_2 32,3七、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 .两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且A =ma , B =mb ,那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为 mab , 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：M A Ba bAmB =max：mb=mM mab ,即两个数的最大公约数与最小公倍

55、数之积等于这两个数的积；最大公名数是 A、B、A + B、A B及最小公倍数的约数.2 .两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即（a,b） a,b =a b,此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 .对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：5 M6 77 =210 , 210就是567的最小公倍数b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：6 X7 X8 =336,而6,7,8的最小公倍数为 336 +2 =168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即几个数最小公倍数一定不会比他