第20讲 平行四边形(含多边形)

1、数学数学第第20讲平行四边形讲平行四边形(含多边形含多边形)第五章图形的性质(一)1多边形的性质：(1)正多边形：各边都_且各角都_的多边形叫正多边形；(2)n边形的内角和为 ；外角和为 ；(3)对角线条数：过n边形的一个顶点可引 条对角线，n边形共有 条对角线；(4)对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形就有_条对称轴；边数为偶数的正多边形又是中心对称图形相等相等(n2)180360(n3)n2平行四边形：(1)性质：平行四边形两组对边分别_；平行四边形对角_，邻角_；平行四边形对角线_；平行四边形是_对称图形平行且相等相等互补互相平分中心(2)判定：两组对边分别 的四边形是平行四边

2、形；两组对边分别_的四边形是平行四边形；一组对边 的四边形是平行四边形；两组对角 的四边形是平行四边形；对角线 的四边形是平行四边形3三角形中位线定理：三角形的中位线_于第三边，且等于等三边的_平行相等平行且相等分别相等互相平分平行一半1利用平行四边形性质进行有关计算的一般思路为：(1)运用平行四边形的性质转化角度或线段之间的等量关系：对边平行可得相等的角，进而可得相似三角形；对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；当有角平分线的条件时，可利用“平行角平分线可得等腰三角形”的结论得到等角、等边(2)找到所求线段或角所在的三角形，若三角形为特殊三角形，则注意运用特殊三角形的性质求解；若三角形为任

3、意三角形，可以利用某两个三角形全等或相似的性质进行求解，有时还可利用三角形的中位线等知识求解2在判定四边形为平行四边形时，关键是选择判定的方法可以从边、角、对角线三个方面加以分析：(1)若已知一组对边相等，则需证这组对边平行或者另外一组对边相等；若已知一组对边平行，则需证明这组对边相等或者另外一组对边平行；(2)若已知一组对角相等，则需证另一组对角相等；(3)若已知一条对角线平分另一条对角线，则需证对角线互相平分3四种常用的辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特

4、征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置命题点：正多边形性质的相关计算(2011山西)一个正多边形，它的每一个外角都等于45，则该正多边形是( )A正六边形B正七边形C正八边形 D正九边形C多边形及其性质 CD对应训练1(1)(2015娄底)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_(2)(2015巴彦淖尔)如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36，再沿直线前进12米，又向左转36照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_米6120【例2】(2014怀化)如图，在平行四边形ABCD中，B

5、AFE，EA是BEF的角平分线求证：(1)ABE AFE；(2)FADCDE.平行四边形的性质 【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题C【例3】(2015河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证已知：如图，在四边形ABCD中，BCAD，AB_；求证：四边形ABCD是_四边形(1)补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明；平行四边形的判定 CD平行(3)用文字叙述所证命题的逆命题

6、为_平行四边形两组对边分别相等【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形对应训练3(2015桂林)如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；( 2 ) 对 角 线 A C 分 别 与 D E ， B F 交 于 点 M ， N ， 求 证 ：ABN CDM.【例4】已知如图：在ABC中，AB，BC，CA

7、的中点分别是E，F，G，AD是高求证：EDGEFG.三角形中位线定理 【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题对应训练4(1)(2015广州)如图，四边形ABCD中，A90，AB3，AD3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_3(2)(2015河北)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则312_24试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120，CD10 cm，BC8

8、cm，AB8 cm，AF5 cm，求此六边形的周长21.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.FEDEDC120，DEMEDM60，DEM是等边三角形同理，MAB，NFA也是等边三角形FNAF5，MAAB8.EFA120，EFC60，EDFC，同理，EFDN.四边形EDNF是平行四边形同理，四边形EMAF也是平行四边形，EDFN5，EFMA8.六边形ABCDEF的周长ABBCCDDEEFFA881058544(cm)21.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由FEDEDC120得到DEMEDM60的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分CDE，DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理21.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.EDCDCB120，MDCMCD60，M60，MDC是等边三角形CD10，MCDM10.同理，ANF也是等边三角形，AFANNF5.ABBC8，NB8513，