第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积

1、第2讲空间几何体的表面积和体积几何体面 积体 积圆柱S侧_VShr2h圆锥S侧rl1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2rh几何体面 积体 积圆台S侧(r1r2)l直棱柱S侧ChVSh正棱锥正棱台球S球面_(续表)4R22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这

2、一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.(2014 年福建)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2B.C.2D.1解析：由已知，得圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积S2112.A2.(2013 年上海)若两个球的表面积之比为 1 4，则这两个球的体积之比为()CA.1 2C.1 8B.1 4D.1 16CB考点 1 几何体的面积是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.答案：12(2)(2015 年福建)某几何体的三视图如图 8-2-1，则该几何体的表面积等于()图 8-2

3、-1答案：B【规律方法】第(1)小题是求实体的面积；第(2)小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.1.(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 8-2-2，则其表面积为_.3解析：综合三视图可知，立体图是一个半径r1 的半个球图 8-2-2【互动探究】考点 2 几何体的体积例 2：(1)(2015 年浙江)某几何体的三视图如图 8-2-3(单位：cm)，则该几何体的体积是()图 8-2-3解析：由三视图可知，该几何体是一个棱长为 2 的正方体与一个底面边长为 2，高为 2

4、 的正四棱锥的组合体，故其体积答案：C(2)(2015 年新课标)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 8-2-4，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有()图 8-2-4A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛答案：B【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三

5、视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计【互动探究】图 D41答案：C解析：如图D41，连接AD, 显然AD面BCC1B1，即AD考点 3 立体几何中的折叠与展开图 8-2-5例3：(2014年上海)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3(如图8-2-5)，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解：由题意知，在P1P2P3中，P1AP3A，P1BP2B，P2CP3C.所以AB，AC，BC是P1P2P3的三条中位线.因此，P1P2P3是正三角形，且边长为4.设顶点P在底面ABC内的投影为点O，显然点O为正

6、三角形ABC的中心，【互动探究】3.圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，求圆柱的侧面上从 A 到 C 的最短距离.解：如图 D42，由圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形，可知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为5 cm，则AD 为2.5 cm，圆柱侧面上从A 到C的最短距离即是矩形 ABCD 的对角线长图 D42难点突破有关球的运算例题：(1)(2015 年新课标)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A.36B.64C.144D.256图8-2-6

7、答案：C(2)(2014 年大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积是()答案：A(3)(2013 年新课标)如图 8-2-7，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图 8-2-7解析：如图 8-2-8，作出球的一个截面，则MC86答案：A图 8-2-82.(1)圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形.圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，关系式是 l2h2R2.(2)圆台的母线 l、高 h 和上、下底面圆的半径 r，R 组成直角梯形.圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l2h2(Rr)2.5.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题