初中-与角度有关的运算---尖子班

1、第 13 讲 与角度有关的计算与角度有关的计算角的概念及度分秒的换算 角平分线的定义 余角和补角 对顶角及邻补角知识点 1：角的概念以及度分秒的换算1有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是 角的两条边。角通常用三个字母及符号“”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用 它的顶点字母来表示2 用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的 0 刻度线和角的一条边对齐3角的常用度量单位是度、分、秒11°的60 为 1分，记作 1，即1° =6011 的为 1 秒，记作 1 ，即1 =6060典例】1.下列四个图中

2、，能用1，AOB ，O 三种方法表示同一个角的是(A.D.解析】解：A 、图中以 O 为顶点的角不止 1 个，AOB 不能用 O 表示，故本选项错误；B、图中以 O 为顶点的角有 3 个，AOB 不能用 O 表示，故本选项错误；C、图中以 O 为顶点的角只有 1 个，1、AOB 、O 表示同一个角，故本选项正确；D、图中以 O 为顶点的角不止 1 个，AOB 不能用 O 表示，故本选项错误；方法总结】所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示； 只有个角（两条射线）时，该角可以用“”和顶点字母来表示。随堂练习】当某个角的顶点处向左转 50 °航行到BA北偏东 30

3、B北偏东 80 °C北偏西 30 °D北偏西50解答】1（ 2018? 河北）如图，快艇从P处向正北航行到 A 处时， 处，再向右转 80 °继续航行，此时的航行方向为（APBC，2= 1=503= 4 2=8050=30 °，此时的航行方向为北偏东30故选： A 2（2017 秋?榆树市期末）计算：90°（ 36 ° 31 52 +12 °2214）【解答】解： 90°（ 36°3152+12 °2214）=90 ° 48 °5366=90 ° 48 °

4、546=89 °59 6048° 54 6=41 °5 54 3（2017 秋 ? 兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角如图，在 钟面上，点 O 为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆为便于研究，我们 规定：钟面圆的半径 OA 表示时针，半径 OB 表示分针，它们所成的钟面角为 AOB ；本题中所提到的角都不小于 0°，且不大于180 °；本题中所指的时刻都介 于 0 点整到 12 点整之间（ 1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；（2）8 点整，钟面角 AOB=°，钟面角与此相等的

5、整点还有： 点；（3）如图，设半径 OC 指向12 点方向，在图中画出 6点15 分时半径 OA、OB解答】解：（1 ）时针每分钟转动的角度为 0.5 °分，针每分钟转动的角度为 6°；故答案为：0.5，6；（ 2） 0.5× 60× 4=1204°点，时 0.5 × 60× 4=120 °，故答案为：120，4；3）如图 AOB=6 × 30+15 × 0.5 15× 6=97.54（2017 秋 ? 孝感期末）计算：（1）48° 39+67° 31 21

6、6; 17 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷ 5 【解答】 解：（1）48° 39 +67 °31 21° 17=116° 10 21°17=94 °53 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷5=71 ° 39 21° 32 36=50 ° 6 24 这条射线叫做这个角的角平知识点 2：角平分线的定义1. 从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个相等的角，分线。2. 尺规作图，作 AOB 的平分线的方

7、法：1）以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角 AOB 两边 于点 M ，N。2 ）分别以点 M ，N 为圆心，以大于 1/2MN 的长度为半径画弧， 两弧交于点 P。3 ）作射线 OP。射线 OP 即为所求。【典例】1.已知 AOB=20 °，AOC=4 AOB ， OD 平分AOB ， OM 平分AOC ，则MOD 的度数是 解：分为两种情况：如图 1 ，当AOB 在AOC 内部时， AOB=20 °，AOC=4 AOB ， AOC=80OD 平分AOB ， OM 平分AOC ， 如图 2 ，当AOB 在AOC 外部时，1AOD= BOD= AOB=1021，A

8、OM= COM= 2 AOC=40DOM= AOM AOD=4010=30 DOMAOM+ AOD=40 ° +10 ° =50 °；【方法总结】本题已知角的数量关系 AOC=4 AOB ，以及 OD 、 OM 是角平分线，但不知道角 AOC 与AOB 的位置关系，无法直接得出结论。所以作图分两种情况，即：AOB 在AOC 内部和AOB 在AOC 外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。【随堂练习】1（2017 秋 ?开江县期末）如图，BOE=2AOE，OF 平分AOB ， EOF=20 °【解答】 解：设 AOE=x °，B则OE=2 A

9、OE=2x 所以AOB= BOE+ AOE=3x °，OF 平分AOB ，AOF= AOB=1.5x °， EOF=20 °，1.5x x=20 ，解得： x=40 ， AOB=3x ° =120 °2（2017 秋 ?定边县期末）如图，O 为直线 AB 上一点，AOC=50O°D，平分AOC ， DOE=901）求出BOD 的度数；所以DOC= AOC=25 °， BOC=180 ° AOC=130所以BOD= DOC+ BOC=155 °； （2）OE 平分BOC理由如下： DOE=90 °

10、， DOC=25 °， COE=90 ° 25 ° =65 °， BOC=130 °，BOE= BOC COE=130 ° 65 ° =65COE= BOE，OE 平分BOC3（2017 秋 ?泸县期末）如图，已知 AOB=90 °，EOF=60 °O，E 平分AOB，OF 平分BOC ，求COB 和AOC 的度数BOE= AOB=45 EOF=60BOF= EOF BOE=15 °OF 平分BOC ，BOC=2 BOF=30 °，AOC= AOB+ BOC=1204（2017 秋 ?

11、 杜尔伯特县期末）如图所示（1）已知 AOB=90 °， BOC=O30M°，平分AOC ，ON 平分BOC，求 MON 的度数；（2） AOB=， BOC=OM， 平分AOC ，ON 平分BOC ，求MON 的 大小【解答】 解：（1） AOB=90 °， BOC=30AOC= AOB+ BOC=90 ° +30 ° =120 °OM 平分AOC ，ON 平分BOC，MOC= AOC=60CON= BOC=152）同理可得， MOC= （则MON= MOC CON=MON= MOC CON=60 ° 15 ° =

12、45故答案为： 45 + ，）CON= + ）= 知识点 3：余角和补角1. 如果两个角的和是一个直角 ,那么称这两个角互为余角 ,简称互余 ,也可以说其中一个角是另 一个角的余角 . A + C=90 ° , A= -90C °, A 与C 互余； 余角的性质：同角的余角相等。比如： A+ B=90 °A,+ C=90 ° , 则：C=B 。 等角的余角相等。比如： A+ B=90 °D,+ C=90 °A,=D 则：C= B。 2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角其中一个角叫做另一个角的补角A + C=180

13、76; , A= 1-80C ,° A 与C 互补； 补角的性质：同角的补角相等。比如： A+ B=180 °A,+ C=180 ° , 则：C=B。 等角的补角相等。比如： A+ B=180 °D,+ C=180 °A,=D ，则： C=B。 【典例】1.如图，点 A 、B、O 在同一条直线上， COE 和BOE 互余，射线 OF 和 OD 分别平分【解析】解： AOF+ BOD=3 DOF 理由如下：设COF= EOF=x ，DOE= BOD=y ，2x+2y=90 ， DOF=x+y=45AOF+ BOD=90 +x+y=135 AOF+

14、 BOD=3 DOF ，【方法总结】题中给出了互余的两个角， 隐含了一对互补的角。 通过一对互余角的角平分线求出平分后小 角组成的大角为 45 °，利用平角是180 °，求出剩余角度之和是 135 °，进而求出二者之间的 比例关系。【随堂练习】1（2017 秋 ? 海口期末）已知2 是1 的余角，3 是2 的补角，且1=38则3 等于（）A62° B 128 ° C 138 ° D142°【解答】 解：2 是1 的余角， 2=90 ° 1=90 ° 38°=52 °，3 是2 的补角，

15、 3=180 ° 2=180 ° 52 ° =128 °故选： B2（2017 秋 ?溧水区期末）如果和互补，且<下，列表达式： 90 ；90（°； + ；） （）中，等于的余角的式子有（ ）A1 个B2 个 C3 个D4 个【解答】 解：和互补， =180 °，的余角是 90 °， 90 ° =180 °90 ° =90 °，( +=) ( 180 ° +) =90 °)=( 180 °) =90 °，即， 3 个， 故选：C3（2017

16、 秋?阜宁县期末）如图 1，点O 为直线 AB 上一点，过点 O作射线 OC， 使 BOC=112 °将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在BOC 的内 部，且恰好平分 BOC ，问：直线 ON 是否平分AOC？请说明理由；（2）将图 1 中的三角板绕点 O 按每秒 4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋 转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角 AOC ，则 t 的值为多少？ （3）将图 1 中的三角板绕点 O 顺时针旋转至图

17、3，使ON 在AOC 的内部，请 探究：AOM 与NOC 之间的数量关系，并说明理由解答】解：（1）平分，理由：延长 NO 到 D， MON=90° MOD=90°MOB+ NOB=90MOC+ COD=90 °MOB= MOC ，NOB= COD ，NOB= AOD ，COD= AOD ，直线 NO 平分AOC ；（2）分两种情况：如图 2， BOC=112 ° AOC=68 °，当直线 ON 恰好平分锐角 AOC时，AOD= COD=34 °， BON=34 °， BOM=56 °， 即逆时针旋转的角度为 56

18、 °， 由题意得， 4t=56 °解得 t=14 （ s）；如图 3，当 NO 平分AOC 时， NOA=34 °， AOM=56 °，即逆时针旋转的角度为： 180 ° +56 ° =236 °， 由题意得， 4t=236 °，解得 t=59 （ s），综上所述， t=14s 或 59s 时，直线 ON 恰好平分锐角 AOC；（3）AOM N OC=22 °，理由： AOM=90 °AON NOC=68 °AON ，AOM NOC90AON )68AON )=224（2017 秋 ?

19、襄城区期末）如图 1，点O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC， 使 BOC=120 °将，一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方（ 1）如图 2，将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转，使边 OM 在BOC 的内 部，且 OM 恰好平分BOC此时AOM= 度；（ 2）如图 3，继续将图 2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转，使得 ON 在 AOC 的内部探究 AOM 与NOC 之间数量关系，并说明你的理由；（3）将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 10 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋 转

20、的过程中，若直线 ON 恰好平分AOC ，则此时三角板绕点 O 旋转的时间是 多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由）【解答】 解：（1）OM 恰好平分BOC， BOM=1202=60 AOM=18060° =1202）如图 3，AOM NOC=30 °， BOC=120 °， A0C=60 °， AON=90 ° AOM=60 °NOC，AOM NOC=30 °（ 3）设三角板绕点 O 旋转的时间是 x 秒， BOC=120 °， AOC=60 °， BON=30 °，旋转60 °

21、时ON 平分AOC ，10x=60 或 10x=240 ，x=6 或 x=24 ，即此时三角板绕点 O 旋转的时间是 6 或 24 秒故答案为： 120 5（2017 秋 ?大余县期末）如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使 BOC=120 °将，一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方（ 1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在BOC 的内 部，且恰好平分 BOC，设 ON 的反向延长线为 OD ，则COD=°，AOD= °（2）将图 1 中的

22、三角板绕点 O 顺时针旋转至图 3，使 ON 在AOC 的内部，求 AOC=180 ° 120 ° =60 °，OM 恰好平分BOC ， COD=30 °， AOD=30 °( 2)AOM NOC= (AOM+ AON )( NOC+ AON )=90 ° 60 °故答案为： 30 ， 30 知识点 4：对顶角和邻补角1. 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线， 且这两个角有公共顶点， 那么这两 个角是对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。2. 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫

23、做邻 补角。邻补角的性质：（ 1）一个角与它的邻补角的和等于180 °（；2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。典例】1.如图所示，直线 AB交CD 于点O，OE平分BOD ，OF平分COB ，AOD ：BOE=4 ：方法总结】解角度问题常设某一角度为未知数， 把其他关联角用未知数表示出来， 根据已知条件间建立 关于该未知数的方程， 解方程即可求得未知数的值， 从而得到所求角的度数。 用代数方法解 几何问题是常用方法之一。【随堂练习】1（2016 秋?玄武区校级期末）如图，直线 AB与CD相交于点 O，AOC：AOD=4 ：5 ，OE 平BOD 分，请在图中画出 OF

24、 AB 并求出BOF 的度数AOC+ AOD=180 4x+5x=180 °，解x得=20 AOC=4x=80 BOD=80 °， OFAB， BOF=902（2017 秋 ? 天河区期末）如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，在COB 的 内部作射线 OE1)若 AOC=36 °， COE=90 °B，O求E 的度数；AOC=144 BOC=180 °， COE=90 °，3： 2，求AOE 的度数COE+ EOB+ BOD=1802)COE：EOB：BOD=4 ：3 ：2 ，设 COE=4 ，EOB=3 ， BOD=2 4

25、 +3 +2 =180 =20 ° COE=4 =80 ° AOE=180 ° EOB=3 =60EOB=180 ° 60， BOD=2 =40=120 °上，表示 138 °的点在直线 b 上，则 1=3（2017 秋 ? 平邑县期末）如图，直线 AB ，CD 相交于点 O， BOE=90 °O，F 平分AOD ， COE=20 °，求BOD 与DOF 的度数解答】 解： COE=20 °， BOE=90 BOD=180 ° 20° 90° =70 AOD 180 

26、6; 70° =110OF 平分AOD ，DOF=AOD=55 BOD=70 °， DOF=55综合集训1.如图，直线 a、b 相交于点 O，将量角器的中心与点 O 重合，发现表示 60 °的点在直线 a解析】解：根据题意得：1=13860 ° =78故答案为： 782.如图，直线 AB 、CD 相交于点 O， AOD=140 °， COE=20 °，BO则E= °【解析】解：直线 AB、CD 相交于点 O ， AOD=140 °， COB=140 °， COE=20 °， BOE=140 &#

27、176; 20 ° =120 °故答案为： 120 3. 一个角的补角为 158 ° 12 ，那么这个角的余角等于_【解析】解：设原角为，所求角为，则 =180 ° 158 ° 12 =21 ° 48 ， =90 ° =68 ° 12 故答案为： 68 ° 12 4. 如图， AOB=90 °O，C 平分AOB，OE平分AOD，若 EOC=60 °则，BOD=【解析】解： OC 平分AOB ，1AOC= AOB=45 °，2 EOC=60 °， AOE=15

28、76;，OE 平分AOD ， AOD=30 °， BOD=30 ° +90 ° =120 °，故答案为： 120 °5. 一个角的补角加上 14 °，等于这个角的余角的 5 倍，这个角的度数是 【解析】解：设这个角为 x ，则补角为 180 °x ，余角为 90 °x， 由题意得： 180 ° x+14 ° =5 （x）9，0 °解得： x=64 °故填： 64 °6 如图，直线 AB、CD 相交于点 O ，BOF= DOE=90 °， DOF=58 &#

29、176;则，BOE=AOC=解析】解：BOF=90 °， DOF=58DOB=90 ° 58 °=32 °，DOE=90 °BOE=90 ° 32 °=58 °，DOB=32 °AOC=32 °7.计算：（1）48 ° 39 +67 °31 21° 17（2）23 ° 53 × 3 107 ° 43 ÷5解析】解： （1） 48 ° 39 +67 °31 21°17=116° 1021&#