最新高数大一下期末试卷

1、精品文档、选择题（每小题4分，共16分）1、设 D (x,y)|x2 y2 1,x 0, y 0,则(A)(B)(C)(D)2、若级数Un和Vn都发散,n 1n 1则下列级数中必发散的是（(A) (Un Vn)n 1(B) (U2 V2)(C)UnVnn 1n 1(D) (Un| |Vn)n 13、若 an(x 1)n 在 xn 12处收敛，则此级数在 x 3处（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散）（D）收敛性不能确定4、计算IzdV ,其中为曲面z x2 y2及平面z 1所围成的立体，则正确的解法为211(A) Idrdr zd z000211(C) Idrdr zdz00r、填空题(每小

2、题4分，共24分)(B) I(D) I211d r d r 2 zdz00r212zd z d zrd r0001、设是由球面x2y2 z2 z所围成的闭区域，则x2 y2 z2 dV =2、设曲线/2(x y )d s3、设L为上半圆周yJa2 x2 （a 0）及x轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向,X d 2y 2 贝y- 3X - 2面I/.I是设、4-1在第一卦限的部分，则44八(2x 3y z)dS5、函数f（x）arctanx 在 x0处的哥级数展开式为,其收敛域为精品文档，一 26、设 S(x)bn sin nx ,n 1x ,其中 bn ° xsin nxd x

3、,则在,上S(x) 三、解答题（分A、B类题，A类题每小题10分，共60分；B类题每小题8分，共48分）每道题必须且只需选做一道题，或做A类，或做B类，不必A、B类题都做1、（A类）计算丝浮，其中L分别为L2（x2 y2）（1）圆周（x 2）2 y2 2,沿逆时针方向;（2）圆周（x 1）2 y2 2,沿逆时针方向。（B 类）计算 Jexsiny 2y）d x （ex cosy 2）d y,其中 L 为上半圆周（x a）2 y2 a2（y 0）, 沿逆时针方向。（常数a 0）2、（A 类）计算 Iq（xy）2z22yz dS,其中 是球面x2y2z22x 2z。（B类）计算I 6（x2 y2）

4、dS，其中 为锥面z Jx2 y2及平面z 1所围成的区域的整个 边界曲面。3、（A 类）计算 I（x3z x）d y d z x2yzd zd x x2z2 dxd y ,其中 是抛物面z 2 x2 y2 （1 z 2）的上侧。（B 类）计算 I （y2 z）d yd z （z2 x）d zd x （x2 y）d xd y ,其中 是锥面22z Jxy （0 z 1）的下侧。4、（A类）设a0,a1,a2,L为等差数列（a0 0）,试求：（1）哥级数 axn的收敛半径；（2）数项级数an的和。n0 nn 0n 0 2n（B类）求哥级数的收敛域以及和函数；n 1 n（n 1）115、（A类）判

5、断级数（1）n 1n 2 ln（1 n 2）的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？n 1（B类）判断级数 （1）n1的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？ n 1n6、（A类）将函数f （x） 2 x （0 x 1）展开成以2为周期的余弦级数，并求工的和。n 1 n（B类）将函数f（x） x2（0 x ）展开成以2为周期的余弦级数。附加题（10分）（选做题）设函数f（x）在（，）内具有一阶连续导数，L是上半平面（y 0）内的有向分段光滑曲线,起点为（a,b）,终点为（c, d）,当ab cd时，求12x 2I 1 y f (xy)d x y f(xy) 1d yL yyDDABi.,102.3.4.

6、4V615( 1)nn 02n 12n x1,1x, 0三.1 . （A类）解： 记22、2(x y ),Q2(x2y2Q-2 2°y )x（1）设D是由L所围成的闭区域。因奇点(0,0)D ,所以由格林公式,ydx xdyL2(x2 y2)P . cdxdy 0。 y（2）设D是由L所围成的闭区域。选取一正数rr2是位于D内的圆周（取逆时针方向）。记L和l所围成的闭区域为Di , （0,0）Di ,从而由格林公式，得ydx xd yL l 2(x2 y2) xQ P dxdyydx xd yL 2(x2y2)（B类）解：补上曲线i ：yyd xl 2(x2xd y2. 222r s

7、in r cos ,2d2r20,x :0 2a ,记L和l所围成的闭区域为 D。由格林公式，得(exsinyL l2y)d x (ex cosy 2)d y(ex sin y 2y)d x (ex cosy 2)d y2 Ddxd y 02. （A类）解：利用对称性和曲面方程，得22_ _ _yz2xy 2yzd Sax222_y z d S2C(xz)d S4 dS4 1 QdS32(B 类)解：设 1 ： z &(x,y) Dxy ；2： z 1, (x,y) Dxy,其中Dxy(x,y)|x2 y2 1。则(x2 y2)d S(x2 y2)d S1222D (x y )d xd

8、yDxy22D (x y )d xd yD xy3.(A('.21)1)1)1)类）解：作辅助面3(x z1x)d ydz(3x2z2dz1 x2y222D (x y )dxdyDxy22D (x y )dxdyDxy2:z 1 (x, y) Dxy: x22 2x yzd zd x x z d xd y1 x2z 2x2z)dVDxyX2dx7记和1所围成的空间闭区域为3(x zdVx)d ydz1 (x22 Dxy22 2 ,x yzdzdx x z dxdy)d xd y2i(2dxd y2 zz)dz 4（B类）解：作辅助面1 ：z(x, y) Dxy和1所围成的空间闭区域为

9、，则/ 2(y z)d ydz1/ 2(y z)d yd z,22(z x)d zdx (x y)d xd y0d V，2D (x y)d xdyD xyDxyx2dxdy121 22 022D (x y )dxdyDxy1r3dr044. (A 类)解:(1)依题意，ana0 nd,n 1,2,.,其中d为公差。从而R Limnanan 1Lim na0 ndao(n 1)d故哥级数nanxn的收敛半径为1。0(2)解法一：设S(x)- nanx , x (01,1),则S(x)nanxn 0(a00nd )xna0nnnx1ao1 xn 1 nx1a。1 xd x(na01 xd x(n

10、1a01 x广) 1 xa01 xd x(1 x)2a0(da0)x(1 x)2(1,1)因而In- S(1) n 0 222a1。解法二：设S(x)na“x ,x01,1)，由 anan 1d, n1,2,得nanx1nan 1xn 1nanx0故 S(x)ao xS(x)，求得S(x)ao(da°)x(1 x)2an0 2nc 1S(-) 2a1。(B类)解：哥级数nnx1 n(n一的收敛半径为1)R Limnanan 1Limnn(n(n 1)(n 2)设 S(x)S(x)1时，此时哥级数为(1)n 匕(1) 收敛, n 1 n(n 1)从而其收敛域为1,1。nx,xn 1 n

11、(n 1)1,1,则当1,1), x 0 时nx1 n(n 1)tn11 dt -( xtn1dt x)1dtx i 一dtx)1ln(1 x) ln(1 x) 1x1 x.ln(1 x) 1 x又根据和函数在收敛域的连续性，得(1 x)ln(1 x) x /S(0) 0 ,S(1) lim S(x) lim -1,x 1x 1x(1 x)ln(1 x) xS( 1) lim S(x) lim -1 21n 2。故x 1x 1xS(x)1 x1x1x0x 0x 15. （A 类）解：令 f （x）x ln(1 x) , x 0,则当 x0时,f (x),1 c1 0,因1 x此对 x 0, f

12、(x)单调递增且f (x) f (0) 0。11对级数 (1)n * 1n 2 ln(1 n 2)来说， n 111n 2 ln(1 n 2)1f（n 2） 0 ,说明它是交错级数1n 2 ln(11n 2)1f(n 2)1f(n 1)2)111(n 1) 2 ln1 (n 1)2且！而"2 ln(11n 2)0,由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。111,、1 ,5 , ,，另外， 因 lim x-n(2x) lim x_lim -, 故 lim n(n- -, 这说 明级数x 0 x x 0 2x x 0 2(x 1) 2 nJ2n11n 2 ln(1 n 2)是发散的。 n 1 1

13、1综上所述，级数(1)n1n2 ln(1 n工)是条件收敛的。ln n ln(n 1)n 2时， I ,n n 1n 1（B类）对级数 （1）n 1®,因回 0 （n 1,2,），说明它是交错级数。当 n 1nn且limlnn 0,由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。n nln n另外，因lim "，这说明对级数也，它是发散的。n 1n 1 nn综上所述，级数（1）n 1 ln是条件收敛的。n 1n5.(A类)解：对函数f(x)偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数:a。12 0(2 x) dx 5;an1o(2 x)cos(n x)d xx 22sinnn1-2 nbn2 c

14、osnx/(1)n42n0f(x)因延拓后的函数在f(x)最后求级数2k2k421k1,2,；12 cos(2n1 (2n 1)2')是连续的，从而11 (2n 1)22f(0)21 (2n 1)1)cos(2 n1 (2n1)2 ) 1)21 (2n1)2(B类)a0对函数anbn1 f (x) 311(2n)2f(x)偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数:dxcos(nx) d2 x22xsin nx - cos nx nn2-sin nx n4( 1)n n因延拓后的函数在f(x)1)n2ncosnx。)是连续的，从而2 4 Fsnxn 1 n、一 1附加题.解：记p 1y2x

15、 2 -y f(xy) , Q y f(xy) 1,则 y12 ,21 y f (xy)y1.2 yf(xy) y2xy f (xy) xyf (xy)f(xy)xyf (xy) f (xy)19xQy2f(xy)1-y3f (xy)yy所以Q,这说明曲线积分i x1匹12 -y f (xy)dxry2 f (xy) 1dy在上半平面内与积分路径 yL无关，只与起止点有关。取 L : y b (x: a c) , L2 : x c (y : b d),则41y2f(xy) 1d y yI 2.i 1y2f (xy)d xL yx 2y f(xy) 1d y y12 ,一1 y f (xy)d xII L2 y12.x 2,12.x 2,l 1yf(xy)dxyf(xy)1d yL -1y f(xy)dxyf(xy)1d yL1 yyL2 yyc12d c 2a-1 bf(bx)dx b-Tyf(cy) 1dya bf(bx)db cf(cy