图形运动中函数关系的确定-教师版

1、【例1】 已知：在 RtAABC中，/ A=90°, AB=AC=1 , P是AB边上不与 A点、B点重合的任意一个动点， PQ丄BC于点Q, QR丄AC于点R.(1)求证：PQ=BQ;(2)设 BP=x, CR=y,求 y 关于（3）当x为何值时，PR / BC .【答案】详见解析.【解析】（1）证明：Q A 90 , ABAC 1,又Q PQ BQ , BPQ 45 ,Bx的函数解析式,VBPQ为等腰三角形,PQ BQ ；VBPQ 中,BQx2在 RtVABC 中，BCAB2BC2厂1.2在等腰直角VCQR中，CRy,CQ 2 y , Q CQ即.2y22x ,y21 x21 ,

2、0 x 1(3)解：Q PR/BC , PQBC ,PR PQ,又QVBPQ为等腰三角形，PQ2 x,（2）解：在等腰直角Q BP x,BC2PR PQBQQ PR/BC ,APR AP1 x , PR/ PRPQ ,PRQ PRPQ,即22(1 x).RQC 45 ,B 45 ,Q AQPR/BC , PQ BC ,90o , APAR2x 2（1 x），【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，第3）问注意根据平行得到角的关系，再进行计算.13 / 25【例2】 如图所示，已知：在RtAABC中，/ C=90 ° , P是边AB上的一个动点，PQ丄PC.交线

3、段CB的延长线与点 Q.(1)当 BP=BC 时，求证：BQ = BP;(2)当/ A=30 ° , AB=4 时，设BP=x,BQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.【答案】【解析】详见解析.(1)证明：QBPBC ,BPCBCP .PQ PCBPC BPQ90BCPBQP90BPQ BQPBQ BP(2)过P作PHQ ACBBCA垂足为,AB 4ABC60 ,BC2Q BP x,13BH1 -x, PHx22CH 21x2Q PQ2 PH 2QH2,PQ2CQ2PH2 QH2CQ2PH2 CH 22PH2QH2CQ2 CH2即2 x21 y -2x2y 2224y xy2

4、x22x2x22x1 xy44x90 ,2【总结】本题主要考查了勾股定理,30CP22 2CQ PHCH2进行分析.直角三角形的性质的综合运用， 解题时注意从多个角度【例3】 如图所示，已知：在 RtAABC中，/ C=90AC=6，点D是斜边 AB中点，作DE丄AB,交直线AC于点E;若/ A=30 °，求线段 CE的长;当点E在线段AC上时，设BC=x, CE=y,义域;若CE=1，求BC的长.详见解析.【解析】y关于x的函数解析式，并写出定AQ C 90 , A30ABC60又Q DE垂直平分AB ,ABEBAE30CBE ABCABE30又 Q C 90 ,CE1 -BE21

5、AE2Q AC 6, BEAE4 ,CE -2BE 2线段CE的长为2 ；(2) Q DE垂直平分AB ,AEBE 6y在 RtVBCE 中，BC2CE2BE2 ,即x22 y二 y 3 丄 x2(0x6)；(1)联结BE ,6（3）当点E在线段AC上时，由（得132)1 x 12当点E在AC延长线上时， AE BE在 RtVBCE 中，BC2即x2 1272，解得:综上所述，若CE 1 ,2 2CE BE ,BC的长为2 6或4 3 .【总结】考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质及直角三角形性质的综合运用,综合性较强，第（3）小问注意要分类讨论.【例4】 如图，在梯形 ABCD中,AD/

6、BC,/ ABC = 90o, AB = BC= 8，点 E 在边 AB 上,DE丄CE , DE的延长线与 CB的延长线相交于点 F .(1)求证：DF = CE;(2)当点E为AB中点时，求CD的长;(3)设 CE= x, AD = y,试用x的代数式表示y.DB H【答案】(1)详见解析；(2) CD 10;( 3)1 2一2xx8648 .【解析】(1)证明：过D作DH BC，垂足为/AD/BC,/ ABC = 90o, AB= BC, DHABBC .Q DE CE, CEBBEF 90 ,Q F BEF 90 ,CEB F ,VCEB也 VDFH AASCE DF ;(2) Q E

7、为AB中点,AE BE,二 VADE = VBFEA.A.SDE DFQBC8 ,BE 4, BC8,CE45DF ,DE25 ,CDDE2CE7 10;(3)Q CEDF x , BC8 ,BEx264 ,AE8. x2Q ADy,DE2 y28.x2264Q DHBC ,CD2 DH 2CH2于822y .Q DE2 22 CE22 2CD ,y8x264x28282y ,64 .1DF，1 2 _x8x264【总结】考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用,同时运用勾股定理解决函数问题.【例5】 如图，在正方形 ABCD中，AB = 1 , E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合

8、）,F为BC延长线上的一点，且 AE = CF，联结EF交对角线AC于点G.(1)求证：DE = DF ;(2)联结DG，求证：DG丄EF ;(3)设AE = x, AG = y,求y关于x的函数解析式及定义域.【答案】详见解析.【解析】（1）：正方形ABCD ,K二 AD DC , BAD DCB 90 AE = CF , VAED VCFD ,DE DF ;（2）如图，过点F作FK /AB与AC的延长线交于点 KBAC K ,B BFK , AC是正方形ABCD的对角线,BAC 45 ,B 90 ,K 45 ,BFK 90K KCF45 , KFCF , Q AECF, KF AEVAEG

9、 VKFG , EG FGQ DE DF ,EF DG ；(3) QVAEGVKFG , AGKGQ AE x, AGKF CF x, KG在 RtVCKF 中,CK 2x ,同理：AC . 2 , CG 2 yQ GH CG CHy .2 y 2x2x 1【总结】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等综合应用, 解题时注意从多个角度进行分析.【例6】 如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC,AB丄BC, BC = 9，/ C= 60 °，将一个30 ° 角的顶点P放在DC边上在滑动(P不与D、C重合)，保持30。角的一边平行于 BC, 与边A

10、B交于点E，30。角的另一边与射线 CB交于点F，联结EF .(1) 当点F与点B重合时，求CP的长；(2) 当点F在CB边上时，设CP = x , PE = y，求y关于x的函数解析式，并写出函(3)当EF = CP时，求 CP的长.【答案】详见解析.【解析】解：(1)当点F与点B重合时,QEP/BC ,PBCEPB30 ,Q C 60 ,BPC90 ,22(2)过点F作FHEP于HQ FPC90 , C60 ,CPx , FC 2x,Q EPF30 , PH3x2Q四边形EBFH是矩形，EHBF 9 2x31yx9 2x 9x22FPCP -BC9 ；;3x.当四边形EFCP是平行四边形时

11、,EFCP,EF / /CP , CF PE y.C 60 ,二 FC 2x ,解得：x185当四边形EFCP是等腰梯形时, 贝U EF CPEFB60-ABF 90°,又FPCD , CF 2CP2x,数定义域;解得:综上所述，当EF = CP时，CP的长为18 或 6.5【总结】考查直角梯形的性质、平行四边形的性质和判定以及直角三角形性质的综合运用, 第(3)小问要注意进行分类讨论.【例7】 如图，在正方形ABCD中，AB = 4,点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将厶ADE沿AE翻折至 AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG .(1)求证： ABGAFG ;(2)

12、若设 DE = x, BG= y,(3) 联结 CF，若 AG / CF,求y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;求DE的长.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）证明：由翻折易证VAED也VAEFAD AF , DAFE90AFG 90 ,AFGB 90 .正方形ABCD ,AD AF . AGAG ,RtVABG 也 RtVAFGH.L ;FG yQ DEEFx ,GE x y .Q AB4 ,EC4x, CG4 y222xy4 x4 y ,16 4x 一y-0 x4;4 x(3)Q CF/AGAGBFCGQ AGBAGF ,FCGCFGGFGCBGy,2y 4,y164x

13、442, x,DE4x33(2) Q2 ,【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力,RtVABG 也 RtVAFG , BGAGFCFG解题时注意对基本图形的寻找.【例8】 如图，平面直角坐标系中点 A(4, 0)，已知过点A的直线I与y轴正半轴交于点 P, 且厶AOP的面积是8，正方形 ABCD的顶点B的坐标是(2， h),其中h>2.(1) 求直线I的表达式；(2) 求点D的坐标；(用含h的代数式表示)【难度】【答案】详见解析.【解析】(1)解：Q A 4,0 , AO 4 .Q SVAOP 8，且直线I与y轴正半轴交于点 P ,P 0 ,4直线1的表达式为：yx

14、4 ；(2)过B、D分别作BMx轴，DN x轴，垂足分别为 M、NQ正方形ABCD , ABAD ,VABM 也 VDAN ,Q B 2, h , A 4, 0 ,AM2 , BM h ,DN 2, AN h , ON h 4 ,D 4 h,2 .【总结】本题主要考查一次函数与正方形性质的综合运用.【例9】 如图，在边长为1的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,点E是AB延长线上一点，联结CE, AF丄CE,垂足为点F ,交BD、BC于点H、G.设BE = x, CG = y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出 x的定义域;(2) 当点F是EC的中点时，证明：CG = 2OH .【难度

15、】【答案】(1) y 1 x 0 x 1 ；(2)详见解析.【解析】(1) Q正方形ABCD , AB BC ,Q AF CE, EAF ECB ,易证 RtVABG 也 RtVCBE A.S.A , BE BG x,又Q GC GB 1 , x y 1 , y 1 x 0 x 1 ；(2)取CG中点P，联结OPQ 正方形 ABCD , OA OC , BAC ACB 45 , AC BD ,QCP PG , OP/AG ,Q F是CE中点，且 AF CE , AF垂直平分 CE .AC AE , FAC FAB 22.5 , BHG AHO 67.5Q AGBGACACG 67.5, BHG

16、 BGH, BH BGQGH/OP, BHG BOP , BGH BPO ,BOPBPO ,BO BP, OH PG , CG 2OH.【总结】考查正方形的性质应用以及线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质的综合运用.【例10】EF、BC的延长线相交于点 G,设 AE= x, BG = y.(1)求y与x之间函数解析式,并写定义域;当点F为CD中点时,AE的长.【答案】(1) y0 x2 x；(2)AE的长为2或6 .【解析】解：(1)过点E作EHBC于点正方形 ABCD , EH BC BH = AE= x, EH AB 6 / FEB = Z EBC, EGBG GH y x.T EG2

17、EH2 GH2 , y262如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边 AD、CD上，/ FEB =Z EBC,x 18y0x6 ;2 x(2) Q点F为CD中点,FDFC .Q DE/CG,EDVEDF也 VGCF12解得:GC ,18x2即 x 8x 12y 122, X2即AE的长为2或6 .【总结】本题主要考查正方形形的性质与勾股定理的综合运用，注意进行分析.【难度】【答案】详见解析.【解析】解:(1)QA 60 , DEAB ,AE2AD2x,又 Q AC AECE ,y2x 30 x32 ；Q F是BE的中点，CF1DF - BE2FCBCBF,FDBDBF ,CFEDFE

18、2CBFDBFQ A 60 ,ABC30 :CFDVCDF是等边三角形;(2) Q ACB 90 ,A60 , AC证明：在 RtVECB和RtVEDB中,ECB EDB 90 ,BF .CFE 2 CBF , DFE 2 DBF ,，即 CFD 2 CBA.60 ,3, BC 3 3 .【例11】 如图所示，已知：在 ABC中，/ ACB=90。，/ A=60 ° , AC=3，点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE垂直于AB交射线AC与E,连接BE ,点F是BD的中点，连接 CD、CF、DF .(1) 当点E在边AC上(点E与点C不重合)时，设 AD=x, C

19、E=y. 直接写出y关于x的函数解析式及定义域; 求证： CDF是等边三角形；(2) 如果 BE = 27，求出AD的长.在 RtVBCE 中，CE . BEBc 1 .当点E在AC上时，AD - AE - 3 11 ;2 2当点E在AC延长线上时，AD 1AE 1 3 12 .2 2综上所述：AD的长为1或2 .【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运 用，综合性较强，注意认真分析题中条件.【例12】如图，已知：在 ABC中,个动点，DE丄AB,垂足为E,点/ CBA=90。，/ A=30 ° , BC=3 , D 是边 AC 上的一交线段C

20、B的延长线交于点G.求证：AF=FP;设AD=x, GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;【难度】【答案】详见解析.【解析】(1) Q DEAB ,A30ADE 60 .Q DE DF ,DFEDEF1ADE230QFP EF ,PFE90PFA 9030FPA 30A ,AFFP;若点P到AC的距离等于线段 BP的长，求线段 AD的长.120 ,Q DEAB ,A 30DFDEGBPCFD-AD2F在CD上，且 DE = DF，作FP丄EF，交线段 AB于#/25FP APQBPGFPA30PBG 180 , CBABG1 1 -GP - 2 2y,G903060 .QC903

21、060VGCF是等边三角形,GCGF，即1 -y33 y -x,90 ,223x 0 x 2BP的长，则43P为GF的中点,(3) 若点P到AC的距离等于线段3GP FP，即 6 3x x，解得:2即线段AD的长为4 .3【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析.【例13】 如图，在直角厶 ABC中，/ B=90 °，/ C=30 ° , AC=4, D是AC边上的一个动 点(不与A、C点重合)，过点D作AC边的垂线，交线段 BC于点E,点F是线段EC 的中点，作 DH丄DF

22、，交射线 AB于点H，交射线 CB于点G .(1)求证：GD=DC ;(2)设AD=x, HG=y .求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)当BH=1时，求CG的长.2【答案】详见解析.【解析】(1) Q EDAC , C 30 , F是EC的中点,QGDDF ,CGDC 30 ,GDDC ;(2) QABC90 ,C 30 , AC4 ,AQ HDACCGD60 , AHHD AD ,Q ADx, AC4 , HGy, GD iCD 4x .若DH交线段AB的延长线于点H ,有HGGDy 4x x ,y 2x 4 2 x 4;若DH交线段AB于点H，有 GDGH AD ,4 xy

23、x,y 42x 1 x 2;(3)若DH交线段AB的延长线于点H ,Q BH1,H60o,HBG 90o,BG2乜3G ；2Q BC2 , CG232 2若DH交线段AB于点H ,Q BH1 , G30o,HBG 90o,BG22Q BC2 , CG2 3乜 5 <3 ;FC ,DF60综上所述,60 , AB 2 .C FDC 30 , GFD2 2【总结】本题主要考查对三角形内角和定理,CAD ,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边中线性质，以及含30角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用.23 / 25【例 14】 在梯形 ABCD 中，AD / BC,/

24、 B=90 °，/ C=45 ° , AB=8, BC=14，点 E、F 分别在边 AB、CD上，EF / AD，点P与AD在直线 EF的两侧，/ EPF=90°, PE=PF ,射线EP、FP与边BC分别相交于点 M、N，设AE=x, MN=y.(1) 求边AD的长;(2) 如图，当点 P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域;(3)如果MN的长为2,求梯形AEFD的面积.【答案】(1)AD 6 ;(2) y 3x 10(3)梯形176ABCD的面积为 一或32 .9【解析】(1)过D作DH BC与EF、BC分别交于点G、HQ 梯形 ABCD

25、 中， B 90 , DH /ABQ C45 ,CDH 45 , CHDHAB 8ADBHBCCH 6 ;(2)Q DHEF,DFECFDG45 , FG DGQ EGAD6 ,EF x 6,Q PEPF ,EF / /BC ,PFEPEFPMNPNM ,PMPN .AE过点P作QR EF与EF、MN分别相交于Q、R ,又Q AD/BC ,四边形ABHD是矩形.Q MPNEPF 90 , QRMNPQEFPR-MN212y.QQR BEy 3x18 x, x 6210x310 1当P在梯形ABCD内部时,MN3x 10,AEADEF ?AE6|1769当P在梯形ABCD外部时,AESaefd2

26、AD EF ?AE32 .注意对动点的运动轨迹【总结】本题综合性较强，主要考查梯形性质及常见辅助线的添加, 的确定，并且要进行分类讨论.【例15】 如图，等腰梯形 ABCD中，AD = BC = 5, AB= 20, CD = 12, DH丄AB, E是线段HB上一动点，在线段 CD上取点F使AE = EF，设AE= x, DF = y.(1)当EF / AD时，求AE的长;(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;(3)将厶ADF沿AF所在直线翻折，点落在平面上的的长.【答案】(1) AE 5 ； ( 2) y x x2265 ；;32D处，当D'E= 1时，求AE(3)

27、 AE的长为3 2或34 .【解析】解：(1) QEF/AD , DF /AE ,四边形AEFD是平行四边形,Q EA EF , 四边形 AEFD是菱形,AE AD 5 ;(2)过点E作EMDC 于 M ,在 RtVEMF 中，MF.EF2EM2.x2 9 , DM HEDF DM MF ,65x32(3)联结AF ,QEA EF , EAFAFE . Q DC /AB , DFA1D'必落在射线EF上，当D'E 1时，有x y -或y3EFA AFE ,1x3解得：AE 3.2 或 AE 34 .【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定,

28、另一方面要注意分类讨论.【例16】 如图，三角形纸片 ABC中，/ C=90°,Z A=30 ° , AB=10 .将纸片折叠使在AC边上的点D处，折痕与 BC、AB分别交于点E、F .(1)设BE=x, DC=y,求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围;(2)当厶ADF是等腰三角形时，求BE的长.【答案】详见解析.【解析】解：(1)在RtVABC中,30,AB10 ,BC -AB 5 .2由折叠可知：DE BE x,CE在RtVCDE中，由勾股定理得:5y 10x 25 x 5 ;2(2)当 DF AD 时，贝U AFD A 30过点D作DH AF于H ,DF

29、AD 2DH , AH , 3DH ,25 / 25DHAF 2AH 2.3DH ,2 3DH 2DH 10,CD AC 2DH 5,25 10x 25, x 5 ;当 AD AF 时，贝U ADF 75Q EDF B 60°, CDE 45 , VCDE是等腰直角三角形,x 2 5 x ,解得：x 10 5 2 ；当DF AF时，不符合题意.综上所述，BE的长为5或10 5 2 .【总结】考查直角三角形性质及勾股定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用.【例17】 如图，已知： ABC中，/ ACB=90 °，/ A=30°, D是边AC上不与点 A、C 重合的任

30、意一点， DE丄AB,垂足为点 E, M是BD的中点.(1) 求证：CM=EM ;(2) 如果BC= 3 ,设AD=x, CM=y,求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当点D在线段AC上移动时，/ MCE的大小是否发生变化的大小；如果发生变化，说明如何变化.【难度】【答案】1)详见解析；(2) yX2 6x 122?如果不变，求出/ MCE(3)不变，MCE 30 .【解析】(1)证明：在RtVABC中， ACB 90 , M是BD的中点,11CM -BD，同理 ME -BD ,22CM ME ;(2)解：在 RtVABC 中，Q ACB 90 , A 30 , BC 3 ,AB

31、2BC 2 3 ,由勾股定理，得：AC 3 .Q AD x, CD3 x.在 RtVBCD 中，222f2BCD 90 , BD BC CD , BD33 x ,QCM 1BD , CM y ,22x 3 ；(3) 不变.QM 是 RtVBCD 斜边 BD 的中点， MB MC , MBC MCB ,CMDMBCMCB 2 MBC,同理EMD2 MBE . CMDEMD2 MBC 2 MBE2MBCMBE 2 ABC ,即CME2 ABC120 .QMC ME , MCE MEC 30 .【总结】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，对于直角三角形的性质与推论要灵活运用.【例1

32、8】 一张三角形纸片 ABC,/ ACB=90°,/ A=30°, BC=6，沿斜边 AB的中线CD把这张纸片剪成厶 AC1D1和厶BC2D2两个三角形(如图2),将厶AC1D1沿直线D2B(AB) 方向平移(点A, D1, D2, B始终在同一直线上)，当点D1与点B重合时停止平移，在 平移的过程中，C1D1与BC2交于点E, AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P .(1) 当厶AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想 D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离与x的函数关系式,【答案】详见解析.【解析】解：(1) D1EQ C1D1 / /C2D2 ,

33、Q ACB 90 ,DCDA同理:BD1D1E .DB ,D1E D2F ；C1Q AD1BD2 , AD2 BD1,1625D1图3B(2) 在 RtVABC 中，Q A 30 , BC 6, AB 12 ,即 ADi BD 2 Ci Di C? D26 .Q D2D1x ,D1E BD1 D2F AD26 x ,C2F C1E x .Q在VBC2D2中，C2到BD2的距离就是VABC的AB边上的高为3,3 ,VBC2D2 的面积 1 6 3 3293 .设VBEDi的BDi边上的高为60°, BESVBED1-21BD1 h29 3 3 3x Tx2在 RtVCzPF 中,Q F

34、PC290 ,C260°, CFxPC2 2，PF3xV，ySVBC2D2S/BED1SVC2FP1 x 3x2 2 2沁 X2 3 3x 08SVC2FP【总结】本题综合性较强，主要考查结合图形的平移与面积的结合,注意利用直角三角形的性质求出相关线段长，从而求得三角形的面积.【例19】 已知 ABC中，AB=10 , BC=6, AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在 D点旋转，直角的两边分别与边 AC、BC交于E、F.(1)取运动过程中的某一瞬间， 画出 ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为E，试判断BC与BE的位置关系，并说明理由;(2)设AE=x,

35、BF=y,求y与x的函数关系式,【答案】(1) BE' BC ；( 2) y 25 4x(734【解析】解：(1)延长ED至E'，联结BE'Q AB 10, BC 6, AC 8, C 90 .QD是AB中点,VAED VBE'D S.A.S并写出定义域.xA DBE ', Q C 90 ,A CBA90 ,DBE'CBA 90 ,BE'BC ;(2)联结EF、E'F ,Q EDF90 , EDE'D ,FD垂直平分EE',EF E'F .Q AE x,BFCE ACx 8 x , CF 6EF2 CE2

36、CB2置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D .(1)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标;(2)若折叠后点B落在边OA上的点为B'，设 OB' =x,OC=y,试写出y关于x的QVAED VBE'D S.AS , A ABE , DE DE ,BE/AC ,CBE90o.Q AEBE' x,2yx282 2x6 y ,y25 4x3 .当y6时，解得:x-;当y0时，解得：x2544故定义域为：7 x 25 .44【总结】本题主要考查图形的旋转，注意与勾股定理的综合运用.1 随堂检测【习题1】已知一直角三角形纸片OAB，/

37、AOB=90°, OA=2, OB=4，将该纸片放在，放31 / 25函数解析式，并确定 y的取值范围.3【答案】(1)C0，2 ;(2) y【解析】解:(1)联结AC ,QOB设OC4，延CD折叠后使点a，贝U AC BC 4B与点A重合,BC AC在RtVACO中，由勾股定理得:224a 3, C 0,3 ;2 2(2)联结B'CBCB'C 4 y ,Q延CD折叠后使点B与点B'重合,在RtVB'OC中，由勾股定理得：y2x24 yy 1x22 3 y 2 .8 2【总结】本题考查等腰三角形性质，平行线的性质和判定, 用，综合性比较强，解题时要注意

38、进行分析.勾股定理，折叠的性质的综合运【习题2】在等边 ABC中，AB=8，点D在边BC上， ADE为等边三角形. 且点E与点D在直线AC的两侧，过点 E作EF / BC, EF与AB、AC分别相交于点 F、G.(1)如图，求证：四边形 BCEF是平行四边形;(2)设BD=x, FG=y，求y关于x的函数解析式,(3)如果AD的长为7时，求线段FG的长.【难度】【答案】详见解析.【解析】(1)证明：QVABC和VADE是等边三角形,-MBADDACDACCAE60 ,BADCAE ,VBADVCAE S.A.S ,ACEABC60 .Q ACB60 ,ABCACBACE180 ,ABC BCE

39、 180 ,AB / /CE , Q EF / /BC ,四边形BCEF是平行四边形；(2)解:QV BAD VCAE ,ECBD .Q四边形BCEF是平行四边形，BF EC , BF BD x .Q FG /BC , VABC是等边三角形，VAFG是等边三角形，AF FG y .Q AB AF BF , x y 8 ,(3)解：过A作AM BC交BC于M ,可得M为BC的中点，即BMCM4,AM4.3, MD 4 xQ AD2 AM MD2 ,4824 x49 ,解得:为 3, X25 .当x 3时，y 5 ;当x5,y 3,故 FG 3 或 FG 5 .【总结】本题主要考查全等三角形的判定

40、与性质，等边三角形的性质的综合运用，解题时注意进行分析.【习题3】如图所示，已知：在正方形 ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点 B与点C除外）联接DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为 E、F.点P在BC的延长线上时，那么线段 AF、CE、EF之间有怎样的数量关系 巧青证明你的结论；当点P在边BC上时，正方形的边长为 并写出函数的定义域；在的条件下，当x=1时.求EF的长【难度】【答案】（1） EF AFCE ；(2) y 4 x2 0x近；(3) EF 廳 1.【解析】解：（1） EFAFCE .Q AD DC , AFDDEC , ADFVADF VDCE ,DFCE , A

41、FDEAF CE EF ;（2）由（1）证明可知：DF CE ,AFQ CE x , AF y ,DE y .在 RtVCDE 中，CD2,x2y24 ,y/4x2 0 xJ2 ；DE .2,设CE=x, AF=y.求y与x的函数解析式DCE ,AB(3) 当 x 1 时，y 3, DE 3 .又Q DF CE 1 , EF DE DF ,EF 3 1 .考查学生解决实际问题的【总结】本题主要考查三角形全等的证明及勾股定理的综合运用, 能力.【习题4】已知：三角形纸片 ABC中，/ C=90 ° , AB=12 , BC=6 , B'是边AC上一点.将33 / 25三角形纸片

42、折叠，使点 B与点B '重合,(1)设 BE=x, B' C=y,试建立并直接写出x的取值范围;(2)当厶AFB '是直角三角形时,【答案】(1) y 2 3x 9 3 x 6(2) x 4或 x 24 12.3 .折痕与BC、AB分别相交于E、y关于求出B与点B'重合,B【解析】解：(1) Q三角形纸片折叠，使点BE B'E ,B'Ex, CE362 3x 93 x6 ；90,AB 12 , BC6 ,A 30 ,FB'E90时，则AB'F60 ,60 ,B'EC30 ,B'C1 -B'E ,1 y -x

43、,221 -x,x 2412.3 ,Q3x 6, x24 12 3 ;2 90时，贝UEB'C30 ,BAFB'2 3x 9EB'CQ C60 .当 AB'F1EC -EB',6 x212x，x 4；综上所述：x 4或x 24 12 3 .【总结】考查折叠的性质，折叠前后两图形全等,即对应角相等，对应边相等;还考查了直角三角形的性质及勾股定理的运用.35 / 25课后作业【作业1】如图所示：长方形纸片 ABCD的边AB=2 , BC=3，点M是边CD上的一个动点， (不与点C重合)，把这张长方形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边 AD与点E，交边BC于点

44、F.(1) 写出图中全等三角形；(2) 设CM=x, AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；(3) 试判断/ BEM能否可能等于90度?如可能，请求出此时 CM的长；如不能，请说 明理由.【答案】详见解析.【解析】解：(1)VBEFVMEF ;DM 2 x, DE 3 y .Q BE2ME，又 BEAE2AB2 ,ME2 2DE2 DM2>222y43 y2 x1 223yxx -0 x2 ；632(3)Q BEM 90>AEB18090DEMABEDEM ,Q BEME ,VAEBVDME ,1 2AEDM, y2 x,2 xx4x 9 ,6解得：X11 ,X213QC

45、Mx,CM1 .(2) Q CMx, AEy,90DEMDME ,【总结】本题主要考查折叠的性质，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，还 考查了直角三角形的性质及勾股定理的综合运用.【作业2】如图，在菱形 ABCD中，AB = 4,/ B= 60°,点P是射线BC上的一个动点, / PAQ = 60°, PQ交 射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x, PQ= y.D(1) 求证： APQ是等边三角形；(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3) 如果PD丄AQ,求BP的值.【难度】Q AB AD, BD , VABF VADE ,AF AEQ PAQPAFFAQFAQQAEFAE60PAFQAE,VFAP VQAE, AQAP ,Q PAQ 60 ,VAPQ是