数论中的若干问题和进展ppt课件

1、数论中的假设干问题和进展数论中的假设干问题和进展徐飞一一. 概述概述Peano公理：自然数正整数和零。减法：整数 Z。除法：有理数 Q。极限：实数 R。(, 2, )求解代数方程 ：复数 C。一一. 概述概述数论大致分为两类问题：1素数问题。如Riemann猜测，Goldbach猜测等。2整系数多项式方程的整数解。如Fermat猜测，BSD猜测等。二二. 素数素数 假设正整数m整除正整数n，称m是n的一个因子。 假设正整数p的因子只需1和p，那么p称为素数。如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。二二. 素数素数 算术根本定理：任何一个正整数都可表示为素数的乘积。不思索乘积次序，表达

2、式独一。如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。 二二. 素数素数定理Euclid：素数有无限多。证法一：假设素数只需有限多个，记为那么根据算术根本定理，的素数因子就一定不是上述的素数，矛盾！二二. 素数素数证法二Riemann)：根据算术根本定理，其中s是大于1的实数。 假设素数只需有限多，那么无论s取什么值等式右边都是有限值，而等式左边当s=1时是发散的。矛盾！二二. 素数素数利用证法二可以证明：定理Dirichlet)：等差级数 a，a+d，a+2d，a+nd， 中假设a和d互素，那么该等差级数中会有无限多个素数。二二. 素数素数Riemann zeta 函数满足函数方程s

3、1-s。(Riemann猜测)： Riemann zeta函数的非平凡零点在实部为1/2的竖直线。二二. 素数素数 假设p和p+2都是素数，称p，p+2为孪生素数。如3，5； 5，7； 11，13； 17，19等等。猜测：孪生素数有无限多对？二. 素数 Green-Tao定理： 对恣意正整数n，存在长度为n且每一项都 是素数的等差级数。 例如： 3，7，11 (n=3) 5，11，17，23，29 (n=5) 二.素数目前用计算机明确找到最长的素数等差级数是 6171054912832631+366384x223092870 xk: k=0,1,2,24 二.素数猜测1: (Goldbach

4、猜测) 恣意大于2的偶数都可写成两个素数的和。猜测2: (Schinzel 猜测): 首项系数为正的整系数不可约多项式, 假设没有固定正因子, 那么存在无限多个素数可表示为该多项式的方式。二.素数特例: (Landau 猜测) 能否存在无限多素数可写为 x +1的方式？ 类似地，可以有多个变元和假设干个多项式的Schinzel 猜测。二.素数Dirichlet 定理： 对任给定的非退化本原二元二次型，都存在无限多个素数可表示为该二元二次型的形式。 Iwaniec 将这个结果推行到二元二次非退化本原多项式情形。 二.素数Friedlander-Iwaniec 2019定理： 存在无限多个素数可以

5、表示为 x + y 的方式。 Heath-Brown 2019定理： 存在无限多个素数可以表示为 x + 2y 的方式。三. 丢番图方程整数为系数的多项式方程都称为丢番图方程。希尔伯特第十问题：能否存在一个能确定整系数多项式方程有无整数解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii) 三. 丢番图方程必要条件：1方程在实数域上有解。2方程模任何整数m有解。三. 丢番图方程例：方程没有整数解。没有实数解。例：方程 没有整数解。模3没有解。三. 丢番图方程设 为素数。 由中国剩余定理：三. 丢番图方程 对素数p，思索 乘积拓扑 的闭

6、包。记为Zp。 上述必要条件:方程在实数域R和Zp上均有解。此时称方程部分有解。四.线性方程 由带余除法法：线性方程有整数解当且仅当方程部分有解，即上述必要条件也是充分条件。五五.二次方程二次方程 一个二次齐次整系数方程有本原解当且仅当该方程部分有非平凡解。Hasse-Minkowski 定理 普通一个二次整系数方程部分有解推不出它有整数解。这个问题有比较完好的答案，但仍没有得到彻底处理。五.二次方程 例(Fermat)：假设二次齐次方程F(x,y,z)=0有一个非平凡的整数解，那么该方程有无限多组本原整数解，由 Q参数化。 费马的证明： F(x,y,z)=0有非平凡的整数解一一对应于 的有了

7、解。 五.二次方程(Fermat-Gauss): 一个整数可表为两个整数的平方和当且仅当部分可表为两平方和。(Gauss-Legendre):一个整数可表为三个整数的平方和当且仅当部分可表为三平方和。(Lagrange):每个正整数可表为四个整数的平方和。六.三次方程 三次齐次多项式部分有非平凡解推不出该方程有整数解。三元三次齐次光滑整系数多项式给出射影空间亏格为1的一条光滑曲线。断定这类整系数方程能否存在非平凡的本原的整数解仍没有普通的方法。六.三次方程假设三元三次齐次光滑整系数多项式方程有一个非平凡的本原的整数解，称该方程为椭圆曲线。记为E。椭圆曲线上非平凡的本原的整数解 E(Z)构成一个

8、有限生成的交换群。(Mordell 定理)六.三次方程 根据有限生成交换群的构造定理 E(Z) Z E(Z) 定理(Mazur)：E(Z) 16 猜测： 可恣意大？六.三次方程 除有限多个素数外，E模素数p成为有限域上的一条椭圆曲线。定义：其中 =p+1- #E( ) 。 称为E的L-函数。六.三次方程定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)： E的L-函数可解析开辟到全复平面并满足函数方程s 2-s。BSD猜测：E的L函数在s=1处零点的阶= 。六.三次方程定理定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 当当E的的L-函数在函数在s= 1的阶的阶1时，时，BSD猜测猜测成立。成立。七. 高次方程定理Siegel：次数大于2的两个变元的整系数多项式光滑方程仅有有限多个整数解。定理Faltings：次数大于3的三个变元齐次光滑多项式至多仅有有限多个非平凡的本原解。七. 高次方程定理Wiles): 假设n2, 方程 的整数解满足 xyz=0。七. 高次方程 Euler猜测：方程 x + y + z = w 没有正整数解