概率统计学习教案

1、会计学1概率概率(gil)统计统计第一页，共55页。 在解决许多概率问题时，往往需要在解决许多概率问题时，往往需要(xyo)在有某些附加信息在有某些附加信息(条件条件)下求事件的概下求事件的概率率.条件条件(tiojin)概率的概念概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，将发生的概率，将此概率记作此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 第1页/共54页第二页，共55页。P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀例如，掷一颗均匀(jnyn)骰子，骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数掷出偶数(u sh)点点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子

2、已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果结果(ji gu)构成的集合就是构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等可它们的出现是等可能的能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是第2页/共54页第三页，共55页。P(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品件正品(zhngpn)，3件次件次品，品，7件正品件正品(zhngpn)中有中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记 B=

3、取到正品取到正品(zhngpn)A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP则则第3页/共54页第四页，共55页。P(A )=3/10， B=取到正品取到正品(zhngpn)P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据时，依据(yj)的前提条件是的前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件(shjin)B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在某，使我们得

4、以在某个缩小了的范围内来考虑问题个缩小了的范围内来考虑问题.第4页/共54页第五页，共55页。注1. 如果B, 则条件概率(gil)即为前面所定义的概率(gil). 如果B ,则条件概率(gil)相当于将样本空间缩小为B.注2. ()( )P ABP B AP A事件 A 发生(fshng)的条件下事件B 发生的条件(tiojin)概率. 设A、B为两事件, P ( B ) 0 , 则定义定义称 为事件 B 发生的条件下事()/( )P ABP B件 A 发生的条件概率，记为().( )P ABP A BP B( )0P A 第5页/共54页第六页，共55页。（1） 古 典 概 型: 可用缩减

5、(sujin)样本空间法;（2） 其 它 概 型: 用定义(dngy)与有关公式;注3.条件(tiojin)概率的计算方法条件概率也是概率, 故具有概率的性质：11iiiiBAPBAPq 非负性q 规范性 q 可列可加性 1)(0BAP1)(BBP第6页/共54页第七页，共55页。0)(BPq niiniiBAPBAP11q 1)|()(BAPBAPq 上述三条性质对应(duyng)于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质:q 211212),|()|()|(AABAPBAPBAAP若有限有限(yuxin)可加性可加性可减性可减性第7页/共54页第八页，共55页。q )()()()(2

6、12121BAAPBAPBAPBAAP例例1 1 考虑有两个小孩的家庭考虑有两个小孩的家庭(jitng),(jitng),问其中至问其中至少有一个女少有一个女孩的家庭(jitng)中, 另一小孩也是女孩的概率有多大?(假设(jish)生男,生女是等可能的)1212(|)(|)AAP A BP AB若单调性单调性加法公式加法公式1212()()()P AA BP A BP A B半可加性半可加性第8页/共54页第九页，共55页。B=至少有一个女孩(n hi)家庭=(男,女)(女,男)(女,女)于是(ysh)所求概率为()1/ 41(|)( )3/ 43P ABP A BP BAB=至少(zhsh

7、o)有一个为女孩家庭中,另一个小孩也是女孩 =(女,女)解：解：根据题意样本空间为=(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)第9页/共54页第十页，共55页。例例2 2 一类动物由出生一类动物由出生(chshng)(chshng)起活到起活到2020或或2020岁岁以上的以上的, ,概率(gil)为0.8,活到25岁以上的概率(gil)为0.4,现假设此类动物(dngw)中有一动物(dngw)为20岁,问其活到25岁以上的解：解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上概率是多少?求P(A|B)AB()(|)( )P ABP A BP B( )0.4(|)0.5( )0.8P AP A

8、 BP B第10页/共54页第十一页，共55页。利用条件概率求积事件的概率即乘法(chngf)公式 ) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推广推广(tugung) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP第11页/共54页第十二页，共55页。 一场一场(y chn)精彩的足球赛将要精彩的足球赛将要举行举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场

9、券”,其余的什么也没写其余的什么也没写. 将它们将它们(t men)放在一起放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实后抽比先抽的确实(qush)吃亏吗？吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”第12页/共54页第十三页，共55页。 到底到底(do d)谁说的对呢？让我谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下们用概率论的知识来计算一下,每个每个人抽到人抽到“入场券入场券”的概率到底的概率到底(do d)有多大有多大?“大家不必争先恐后，你们一个大家不必争先恐后，你们一个(y )一个一个(y )按次序来，谁抽到按次序来

10、，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”第13页/共54页第十四页，共55页。我们用Ai表示(biosh)“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人个人(grn)抽到入场券的概率是抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”第14页/共54页第十五页，共55页。因为若第因为若第2个人个人(grn)抽到抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人(grn)肯定没抽到肯定没抽到.也就是也就是

11、(jish)要想第要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个个人未抽到，人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法由乘法(chngf)公式公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得：第15页/共54页第十六页，共55页。)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是这就是(jish)有关抽签顺序问题的正确有关抽签顺序问题的正确解答解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须(bx)第第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3

12、)=1/5 继续继续(jx)做下去就会发现做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的的概率都是概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，第16页/共54页第十七页，共55页。 , ,2 ,3 5 4试按试按个白球个白球个黑球个黑球个红球个红球设袋中有设袋中有例例 2; 1不放回抽样不放回抽样有放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次两种方式摸球三次 . , 概率概率求第三次才摸得白球的求第三次才摸得白球的每次摸得一球每次摸得一球 解解 1 有放回抽样有放回抽样 , 第一次未摸得白球第一次未摸得白球设设 A , 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B . 第

13、三次摸得白球第三次摸得白球 C 可表示为可表示为第三次才摸得白球第三次才摸得白球则事件则事件. ABC AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 第17页/共54页第十八页，共55页。 APABPABCPABCP| 108108102 . 12516 2 无放回抽样无放回抽样 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 第18页/共54页第十九页，共55页。(1) 设P(B)0，且AB，则下列(xili)必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.8

14、4, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).0.6(2)课堂练习第19页/共54页第二十页，共55页。问题(wnt)：由简单事件的概率推出复杂事件的概率.方法(fngf)：复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和.定理定理 设设B B为随机试验为随机试验(shyn) T (shyn) T 中的一复中的一复杂事件，杂事件，niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(上述公式称为全概率公式事件A1 ，A2 ， ，An构成一完备事件组, 则第20页/共54页第二十一页，共55页。A1AnBA1BA2BAnjiniiAAA1)(1jiniiBABABAB全概率(gil)公式BA2ni

15、niiiiAPABPBAPBP11)()|()()(应用应用(yngyng)乘法公式乘法公式第21页/共54页第二十二页，共55页。 称 P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验 得到的， Ai是事件B的原因 事件 B视为结果。例例1 1 甲乙两个甲乙两个(lin(lin )口袋中各有口袋中各有3 3只白球只白球,2,2只黑球只黑球, ,从甲袋从甲袋中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球为白球的概率(gil).第22页/共54页第二十三页，共55页。21( )(|) ()0.6iiiP BP B A P A解解A2表示(biosh)“甲袋中取出一黑球放入乙袋” 则P(B|A1)=4/6, P

16、(B|A2)=3/6根据全概率(gil)公式有P(A1)=3/5, P(A2)=2/5设B表示“最后(zuhu)从乙袋中取出一球为白球”事件,A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”,第23页/共54页第二十四页，共55页。例甲、乙、丙三人向同一例甲、乙、丙三人向同一(tngy)飞机进行射击，击中飞机进行射击，击中飞飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 如果(rgu)一人击中飞机,飞机被击落(jlu)的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落；求飞机被击落的概率.解解 以B表示事件“飞机被击落”，A0 表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一

17、人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”， A3表示事件“三人同时击中飞机”，则根据题意有第24页/共54页第二十五页，共55页。P(A0) =(10.4)(10.5) (10.7)=0.09,P(A1)=0.4(10.5)(10.7)+0.5(10.4) (10.7)+0.7(10.4)(10.5)=0.36,P(A2)=0.40.5(10.7)+0.50.7(10.4)+0.40.7(10.5)=0.41,P(A3)=0.40.50.7=0.14P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,根据全概率(gil)公式有第25页/共54

18、页第二十六页，共55页。30( )(|) ()0.458iiiP BP B A P A从上述几个例子可以看出(kn ch)：将结果视为B，然后找出原因Ai, 再利用(lyng)全概率公式。第26页/共54页第二十七页，共55页。、Bayes公式(gngsh)贝叶斯 Thomas Bayes，英国人.1702年出生于伦敦(ln dn)，做过神甫.1742年成为英国皇家(hungji)学会会员.1763年4月7日逝世.贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代

19、概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作机被沿用至今. 贝叶斯公式是他在1763年提出来的.会的学说概论发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语第27页/共54页第二十八页，共55页。底患了A1，A2，,An中的哪一种病,以便(ybin)对症下药.例例4（专家系统）医疗诊断（专家系统）医疗诊断(zhndun)中，为中，为了诊断了诊断(zhndun)病人到病人到对病人进行观察检查(jinch)，症状记为事件BP(Ai)，表示生Ai病的概率P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率若P(Ai|B), i=1,2,n中,最大的一个是P(A1|B),

20、 我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:第28页/共54页第二十九页，共55页。Bayes公式(gngsh)|(BAPiRemark: niiiiiiiAPABPAPABPBPBAPBAP1)()|()()|()()()|(后验概率(gil)计算(j sun) P(Ai|B), i=1,2,n第29页/共54页第三十页，共55页。上述公式(gngsh)称为Bayes公式(gngsh).1()(|) ()(|)( )(|) ()iiiiniiiP ABP B A P AP A BP BP B A P A定理定理(dngl) 设设B为一事件且为一事件且P(B)0,事件事件A1, A2, ,

21、An构成(guchng)一完备事件组，且P(Ai )0, i=1,2,n，则有第30页/共54页第三十一页，共55页。例 某商品由三个厂家(chn ji)供应，其供应量为：甲厂家(chn ji)是乙厂家(chn ji)的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率? 解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品(cpn)”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04.

22、 11131() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP A BP A P B A= 0.4由Bayes公式(gngsh)得:第31页/共54页第三十二页，共55页。ABCA，问传输的是信号AAAA的概率(gil)等于多少？A3表示事件“传输的字符(z f)为CCCC”，则根据题意有例例 通信渠道通信渠道(qdo)中可传输的字符为中可传输的字符为AAAA, BBBB,CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3、0.4、0.3. 由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字母的概率为0.6，收到其它字母的概率为0.2，假定字母前后是否被歪曲互不影响，若收到的信号为解解 以B表示事件“收到

23、ABCA”，A1表示“传输的字符为AAAA”， A2表示事件“传输的字符为BBBB”，第32页/共54页第三十三页，共55页。P(A1)= 0.3, P(A2)=0.4, P(A3)=0.3,P(B|A1)=0.60.20.20.6=0.0144, P(B|A2)=0.20.60.20.2=0.0048, P(B|A3)= 0.20.20.60.2=0.0048,根据(gnj)Bayes公式有11131(|) ()(|)9/16(|) ()iiiP B A P AP A BP B A P A第33页/共54页第三十四页，共55页。作业作业(zuy)(zuy)：习题：习题1.41.4：:6:6，

24、9 9第34页/共54页第三十五页，共55页。显然显然(xinrn) P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率(gil),这时称事件这时称事件A、B独立独立.1.5、事件、事件(shjin)的独立性的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 第35页/共54页第三十六页，共55页。定定 义义设 A , B 为两事件(shjin)，若)()()(BPAPABP则称事件(shjin)A与事件(shjin)B 相互独

25、立 第36页/共54页第三十七页，共55页。注1. 两事件 A 与 B 相互独立(dl)是相互对称的)()(, 0)(ABPBPAP则若)()(, 0)(BAPAPBP则注2.若( )0,( )0P AP B则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容(xin rn)”不能同时成立注3.若第37页/共54页第三十八页，共55页。请问请问(qngwn)：如图的两个事件是独立的：如图的两个事件是独立的吗？吗？ AB即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立(dl).反之反之(fnzh)，若，若A与与B独立，且独立，且P(

26、A)0,P(B)0,则则A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即第38页/共54页第三十九页，共55页。设设A、B为互斥事件为互斥事件(shjin)，且，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是： 前面前面(qin mian)我们看到独立与互斥的区别和联系，我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)

27、0,下面下面(xi mian)四个结论中，正确的是：四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.第39页/共54页第四十页，共55页。两事件相互独立两事件相互独立(dl)的性质的性质试证其一独立独立BABA,事实上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP性质1. A, B独立,A B,A B独立,A B独立独立.第40页/共54页第四十一页，共55页。性质2 . A、B两个(lin )事件独立，则)()(1)(BPAP

28、BAP三事件三事件 A, B, C A, B, C 相互独立相互独立, ,是指下是指下面面的关系式同时的关系式同时(tngsh)(tngsh)成立：成立：)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)定义定义(dngy)第41页/共54页第四十二页，共55页。注2)仅满足(mnz)(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两两独立的事件组.注1)三事件A, B, C 相互独立(dl),要求满足(1)(2)式, 也称 A, B, C 为相互独立(dl)的事件组.注3) 关系式(1) (2)不能互

29、相(h xing)推出.A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 第42页/共54页第四十三页，共55页。 n 个事件 A1, A2, , An 相互(xingh)独立 是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义定义(dngy)两两独立(dl)的事件组未必是独立(dl)的事件组。第43页/共54页第四十四页，共55页。独立独立(dl)的的性质性质性质1. 若 n 个事件A1, A2, , An 相互独立,iiA or A相互独立,其中12,nAAAi

30、A为性质2.若 A1, A2, , An 相互(xingh)独立, 则11()1()nniiiiPAP A=-U第44页/共54页第四十五页，共55页。121()nP AAA )(121nAAAPniiAP1)(1121()()niniPAP AAA例例 已知事件已知事件 A, B, C A, B, C 相互相互(xingh)(xingh)独立独立, ,证明事件证明事件A与BC也相互独立第45页/共54页第四十六页，共55页。证证()()()()()()()PBC APBCAP BCP A BC?=?)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP( ) ()P A P BC第46页/共54页第四十七页，共55页。00001. 0)( ,01. 0)( ,01. 0)(CPBPAP000000001. 0)(ABCP概率(gil)是多少？(这三种品质相互独立).解解 分别分别(fnbi)用用A、B、C表示具有上述品质的姑娘表示具有上述品质的姑娘则所求概率(gi