高等数学(下)期末总复习

1、期末总复习期末总复习（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。平面的位置关系。（1）设）设, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA则则 但但不不重重和和21/21212121DDCCBBAA 重重和和21,21212121DDCCBBAA 210212121 CCBBAA,|cos222222212121212121CBACBACCBBAA ,20 （一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。平面的位置关系。（2）设）设, 0: DCzB

2、yAxpzznyymxxL000: 则则 /L0 CpBnAm 上上在在L LpCnBmA ,|sin222222pnmCBACpBnAm ,20 , 0 CpBnAm ),(000zyx nsns/（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。平面的位置关系。（3）典型例题）典型例题, 0125:1 zyx例例1：已知三个平面的一般方程为：已知三个平面的一般方程为, 08523:2 zyx, 09324:3 zyx则必有（则必有（ ）,/)(21 A,)(31 B,)(32 C,/)(32 D解：解：),2, 5, 1 (1 n)

3、,5, 2, 3(2 n),3, 2, 4(3 n0322)5(4131 nn,31nn B例例2：设直线：设直线 L 和平面和平面 的方程分别为的方程分别为则必有（则必有（ ）,/)( LA,)(在在上上在在 LB,)( LC.)(斜斜交交与与 LD解：解：),1, 2, 4( n1012231 kjis,/sn, LC,031020123: zyxzyxL, 0224: zyxkji71428 )24( 7kji 例例3：求过直线：求过直线4 解：设过直线解：设过直线 L 的平面束方程为的平面束方程为 0405:zxzyxL01284: zyx且与平面且与平面夹角为夹角为的平面方程。的平面

4、方程。, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx4cos 222222)1(5)1()8()4(1| )1()8(5)4()1(1| ,43 . 012720 zyx（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数乘数法求最值、方向导数（1）多元函数在某点的极限、导数多元函数在某

5、点的极限、导数要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限ae1 yxxxyayx 2)11 (lim)()11 (limyxyxxyxyayx )()11 (limyxyxyxxyayx （3）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：要点：I：曲面在某点处的切平面曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为）设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：计算第一步：计算,zyxFFF第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程第

6、三步：分别写出切平面和法线的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx （2）设曲面方程为）设曲面方程为),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程线的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyy

7、yxfxxyx ),(),(要点要点II：空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程)(),(),(tztytx 第一步：确定点第一步：确定点,),(0000tzyxM对对应应的的参参数数第二步：计算第二步：计算)(),(),(000tttT 第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程平面的方程)()()(000000tzztyytxx 0000000 )()()(zztyytxxt （2）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程,),(),(bxaxzxy )(),(,(001xxT ,),(),(

8、 00zyxGzyxF（3）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程zyxzyxGGGFFFkjiT 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法： （1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：),(),(),(yxyxfyxL （2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx

9、 （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。（4） Lagrange 乘数法求最值。乘数法求最值。例例1：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：设解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为则该点到平面的距离为222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最

10、小值。 由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数262)(),( zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组）联解方程组

11、（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组）联解方程组02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M对应的距离为对应的距离为|62121212|611 d632 6342 d例例1：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：解： 问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大

12、最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d对应的距离为对应的距离为,6342 d（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为,6321 d最远距离为最远距离为,6342 d三、二重、三重积分的计算（极坐标、直角坐标、柱面坐标）三、二重、三重积分的计算（极坐标、直角坐标、柱面坐标）重点内容重点内容（1）二重积分中二次积分的交换次序；）二重积分中二次积分的交换次序；例例 1 1 改改变变积积分分 xxxdyyxf

13、dxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：试证：试证： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(（2）利用极坐标计算二重积分；）利用极坐标计算二重积分； Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(再根据再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。化为累次积分。222(1)DIRxy dxdy例xRyxD 22: )34(93R（3）三重积分在直角坐标系中）三重积分在直角坐标系中“先二后一先二后一”的计算方法；的计算方法；在下面两种

14、情形下，比较适合用此方法。在下面两种情形下，比较适合用此方法。（1）被积函数是一个一元函数，或计算二重积分）被积函数是一个一元函数，或计算二重积分 zDdxdyzyxf),(比较容易。比较容易。（2）截面）截面zD的形状比较简单的形状比较简单z dvzyxf),( zDccdxdyzyxfzd),(21（4）三重积分在直角坐标系中）三重积分在直角坐标系中“先二后一先二后一”的计算方法；的计算方法；例例6：,)(222222 vdczbyaxI2222:Rzyx )111(1542225cbaR提示：提示： vdczvdbyvdaxI222222再对再对 vdcz22用用“ 先二后一先二后一 ”

15、 的方法计算，的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。并用对称性给出另外两项的结果。四、四、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分格林公式、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP)(主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（

16、3）基本应用：）基本应用：1. 格林公式和高斯公式的两类典型应用题：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2. 平面曲线积分平面曲线积分3. 二元函数的全微分求积问题二元函数的全微分求积问题“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx与路径无关与路径无关在单连通区域在单连通区域 G 内内yPxQ QdyPdx 为某个二元函数为某个二元函数 u 的全微分的全微分yPxQ 且且 ),(),(00yxyxQdyPdxu（4）基本计算技巧）基本计算技巧1. 利用对称性；利用对称性；2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数；利用曲线或曲面方程化简被积函数；3. 利用关系式利用关系式),(

17、dxdydzdxdydzdS)cos,cos,(cos 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。化平面曲线积分。五、数项级数收敛性判别，幂级数的收敛半径，收敛五、数项级数收敛性判别，幂级数的收敛半径，收敛区间，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。区间，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。（1）数项级数收敛性判别）数项级数收敛性判别1. 正项级数正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件收敛的

18、必要条件几何级数、几何级数、P 级数和调和级数级数和调和级数2. 交错级数：交错级数： 莱布尼茨定理莱布尼茨定理3. 任意项级数：任意项级数：绝对收敛和条件收敛。绝对收敛和条件收敛。任意项级数任意项级数 1nnu收敛性判断的一般步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验 1|nnu是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若 1|nnu发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。则原级数也发散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，则原级数发散若否，则原级数发散若

19、是或若是或0lim nnu难求，则进行下一步；难求，则进行下一步；若是，若是，否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限 |lim1nnnaa（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点Rx 确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性， 0nnnxa收

20、敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。),(RR nnna |lim或或 1R说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。 00)(nnnxxa（2）对幂级数）对幂级数要先做变换要先做变换0 xxt （3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限 |lim1nnnaa（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点Rx 确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性， 0nnnxa收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收

21、敛域等于收敛区间加收敛的端点。),(RR nnna |lim或或 1R说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。 00)(nnnxxa（2）对幂级数）对幂级数要先做变换要先做变换0 xxt 性质性质3：幂级数幂级数 0nnnxa xxdxs0)( xnnnxdxa00 xnnnxdxa00101 nnnxnaIx 逐项积分后所得级数逐项积分后所得级数的和函数的和函数 s (x) 在收敛域在收敛域 I 上可积，上可积，并有逐项积分公式并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。 101 nnnxna（3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数性质性质4：幂级数幂

22、级数 0nnnxa)(xs 0 nnnxa)(0 nnnxa,11 nnnxan),(RRx 逐项求导后所得级数逐项求导后所得级数的和函数的和函数 s (x) 在收敛区间在收敛区间内可导，内可导， 并有逐项求导公式并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。 11 nnnxna),(RR 说明：求和函数一定要先求收敛域。说明：求和函数一定要先求收敛域。（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，设设 f (x) 是周期为是周期为 2l 的周期函数，且满足的周期函数，且满足（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，）在一个周期内至

23、多只有有限个极值点，则则 f (x) 的傅里叶级数必收敛，并且的傅里叶级数必收敛，并且（1）当）当 x 是是 f (x) 的连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于 f (x)。（2）当）当 x 是是 f (x) 的间断点时，级数收敛于的间断点时，级数收敛于)()(21 xfxf（3）当）当lx 时，级数收敛于时，级数收敛于)()(21 lflf（4）傅里叶级数的收敛定理）傅里叶级数的收敛定理说明：上述结论同样适用说明：上述结论同样适用 l = 的的 情形。情形。例例1：已知：已知 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为 3 ，则，则的收敛区间为（的收敛区间为（ ） 例例2：级数：级数 11)1(npnn当（当（ ）（A）p 1 时条件收敛，时条件收敛， 01)1