第03章 方差分析ppt课件

1、方差分析 第一节 方差分析的根本问题 第二节 单要素方差分析 第三节 双要素方差分析 方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA)又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个均数间差别的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差别显著性检验的一种引伸。为留念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验 F-test方差分析的方差分析的根本功能根本功能对多组样本平均数差别对多组样本平均数差别的显著性进展检验的显著性进展检验本章重点本章重点二、数学模型二、数学模型一、方差分析的根本思想、目

2、的和用途一、方差分析的根本思想、目的和用途三、平方和与自在度的分解三、平方和与自在度的分解四、统计假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 五、多重比较五、多重比较六、六、ANOVAANOVA过程的运用过程的运用观测目的experimental index： 为衡量观测结果的好坏和处置效应的高低，实践中详细测定的性状或观测的工程称为实验目的。常用的实验目的例如有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。影响要素 experimental factor： 观测中所研讨的影响观测目的的定性变量称之为要素。当调查的要素只需一个时，称为单要素实验；假设同时研讨两个或两个以上要素的影响时，那么称为两

3、要素或多要素实验。要素程度level of factor: 要素所处的某种特定形状或数量等级称为要素程度，简称程度。如研讨3个种类奶牛产奶量的高低，这3个种类就是这个实验要素的3个程度。实验单位 experimental unit : 在实验中能接受不同实验处置的独立的实验载体叫实验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。反复repetition: 在实验中，将一个处置实施在两个或两个以上的实验单位上，称为处置有反复；一处置实施的实验单位数称为处置的反复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处置饲料有4个反复。实验处置treatment: 事先设计好的实施在实验单位上的详

4、细工程就叫实验处置。如进展饲料的比较实验时，实施在实验单位上的详细工程就是详细喂哪一种饲料。观观测测值值不不同同的的原原因因要素效应要素效应(treatment effect)：程度不同引起程度不同引起实验误差：实验过程中偶尔性实验误差：实验过程中偶尔性要素的干扰和丈量误差所致。要素的干扰和丈量误差所致。方差：又叫均方，是规范差的平方，是表示方差：又叫均方，是规范差的平方，是表示变异的量。变异的量。在一个要素不同形状下的实验中，可以得出在一个要素不同形状下的实验中，可以得出一系列不同的观测值。一系列不同的观测值。方差分析的根本思想方差分析的根本思想总变异因因素素效效应应试试验验误误差差方差分析

5、的目的方差分析的目的确定各种缘由在总变异中所占的重要程度。确定各种缘由在总变异中所占的重要程度。要素效应要素效应实验误差实验误差相差不大，阐明实验处置对目的影相差不大，阐明实验处置对目的影响不大。响不大。相差较大，即要素效应比实验误差相差较大，即要素效应比实验误差大得多，阐明实验处置影响是很大大得多，阐明实验处置影响是很大的，不可忽视。的，不可忽视。方差分析的用途方差分析的用途1. 1. 用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个要素间的交互作用分析多个要素间的交互作用3. 3. 回归方程的假设检验回归方程的假设检验4. 4. 方差的同质性检验方差的同质性检验1. 1

6、. 用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个要素间的交互作用分析多个要素间的交互作用第一节 方差分析的根本问题 一、方差分析问题的提出 问题：为了探求简便易行的开展大学生心血管系统机能程度的方法，在某年级各项身体发育程度根本一样，同年龄女生中抽取36人随机分为三组，用三种不同的方法进展训练，三个月后，测得哈佛台阶指数如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女大学生心血管系统的影响有无显著性差别。表 1 分析 方差分析的直观思想 方差分析的直观思想方差分析的根本思想 根据变异的来源，将全部察看值总的离差平方和及自在度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其他每个部分的变异

7、可由某些特定要素的作用加以解释。 经过比较不同来源变异的方差也叫均方MS，借助F分布做出统计推断，从而判别某要素对察看目的有无影响。因 素 要素又称因子，是在实验中或在抽样时发生变化的“量，通常用A、B、C、表示。方差分析的目的就是分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响。假设在实验中变化的要素只需一个，这时的方差分析称为单要素方差分析；在实验中变化的要素不只一个时，就称多要素方差分析。双要素方差分析是多要素方差分析的最简单情形。 水 平 因子在实验中的不同形状称作程度。假设因子A有a个不同形状，就称它有 a 个程度。我们都针对要素的不同程度或程度的组合，进展实验或抽取样本，以便了解因子的影响。

8、 在A的不同程度上对Y的取值进展独立测试，并假定其独立同分布于某个正态分布，进一步可假定各总体具有一样的方差，要素A的各程度的影响只表达在各总体均值的差别上。交互影响 当方差分析的影响因子不独一时，必需留意这些因子间的相互影响。假设因子间存在相互影响，我们称之为“交互影响；假设因子间是相互独立的，那么称为无交互影响。交互影响有时也称为交互作用，是对实验结果产生作用的一个新要素，分析过程中，有必要将它的影响作用也单独别分开来。方差分析的原理 一方差的分解。 样本数据动摇有两个来源：一个是随机动摇，一个是因子影响。样本数据的动摇，可经过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解为组间方差与组内方差两部

9、分。组间方差反映出不同的因子对样本动摇的影响；组内方差那么是不思索组间方差的纯随机影响。方差分解 离差平方和的分解是进入方差分析的“切入点，这种方差的构成方式为分析景象变化提供了重要的信息。 假设组间方差明显高于组内方差，阐明样本数据动摇的主要来源是组间方差，因子是引起动摇的主要缘由，可以以为因子对实验的结果存在显著的影响； 反之，假设动摇的主要部分来自组内方差，那么因子的影响就不明显，没有充足理由以为因子对实验或抽样结果有显著作用。方差分解二均方差与自在度 要素或要素间“交互作用对观测结果的影响能否显著，关键要看组间方差与组内方差的比较结果。当然，产生方差的独立变量的个数对方差大小也有影响，

10、独立变量个数越多，方差就有能够越大；独立变量个数越少，方差就有能够越小。 均方差与自在度 为了消除独立变量个数对方差大小的影响，用方差除以独立变量个数，得到“均方差Mean Square，作为不同来源方差比较的根底。 引起方差的独立变量的个数，称作“自在度。检验统计量 检验因子影响能否显著的统计量是一个F统计量： F统计量越大，越阐明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越阐明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。组内均方差组间均方差F29用线性模型来描画每一观测值：用线性模型来描画每一观测值：ij 随机误差随机误差 3.1要求要求ij 是相互独立的，且服从正态分布是相互独立

11、的，且服从正态分布 N(0,2 )数学模型数学模型),.,2 , 1,.,2 , 1(ainjyiijiijiiiaiiaiiinnnn个水平的影响：第，总平均：令,111aiiiijiijijnNainjy12i0), 0 (),.,2 , 1,.,2 , 1(1 . 3且相互独立，可以改写成)2 . 3(3.1.2 要素作用显著性的检验 检验假设 或者 思索数据的总变化量不全相等),.2 , 1(:.:1210aiHHia0:0.:1210iaHH至少某个 ainjijTiyySS121)(总平方和分解 总离差平方和（组间方差）因素的平方和aiiiAyynSS12.)(（组内方差）误差平方

12、和EATSSSSSS ainjijTiyySS121)(ainjiijEiyySS121.)(自在度确实定 是由于A的动摇引起的方差，但是，这里一切的变量并不独立，它们满足一个约束条件，真正独立的变量只需n-1个，自在度是n-1。 是因子在不同程度上的均值变化而产生的方差。但是，a个均值并不是独立的，它们满足一个约束条件，因此自在度是a-1。 是由在各要素程度上的围绕均值动摇产生，它们满足的约束条件一共a个，失去了a个自在度，所以SSE的自在度是n-a。 自在度满足如下关系： n-1=(a-1)+(n-a) TSSASSESS统计性质 无论 成立与否， 总是 的一个无偏估计； 为真时， 为 的

13、一个无偏估计。 启发我们经过比较 和 来构造统计量检验假设。0H)/(anSSE220H) 1/( aSSAASSESS检验统计量 检验统计量是: 当 为真时，EAEAMSMSanSSaSSF)/() 1/(0H), 1(anaFF F值越大，越阐明总的方差动摇中，组间方差是主要部分，有利于回绝原假设接受备选假设；反之，F值越小，越阐明随机方差是主要的方差来源，有利于接受原假设，有充分证听阐明待检验的要素对总体动摇有显著影响。因此，检验的回绝域安排在右侧。F 接受域 回绝域检验P值当 为真时，F 的值应在1 的周围动摇；反之，F的值有增大的趋势。检验p值为 为由观测数据求得的统计量F的观测值。

14、0H)(0fFPpHf例1 测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5 5个地域黄鼬冬季针个地域黄鼬冬季针毛的长度，每个地域随机抽取毛的长度，每个地域随机抽取4 4个样本，测定的结果如表，个样本，测定的结果如表，试比较各地域黄鼬针毛长度差别显著性。试比较各地域黄鼬针毛长度差别显著性。地区地区东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州合计合计1 132.032.029.229.225.225.223.323.322.322.32 232.832.827.427.426.126.125.125.122.522.53 331.231.226.326.325.825.82

15、5.125.122.922.94 430.430.426.726.726.726.725.525.523.723.7126.4126.4109.6109.6104.1104.199.099.091.491.4530.5530.531.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.8526.5326.533997.443997.443007.993007.992709.982709.982453.162453.162089.642089.6414258.2114258.21x2xx401 1首先计算出，及，并列于表中。首先计算出，及，并列于表中。x2x

16、2 2计算出离均差平方和与自在度：计算出离均差平方和与自在度：7 .186TSS71.173ASS41ATESSSSSS186.7-173.7112.99Tdf201191 adfA5(41)15Edf3 3计算均方差：计算均方差：43.43471.173AAAdfSSMS866. 01599.12EEEdfSSMS514424 4进展进展F F 检验：检验：15.50866. 043.43EAMSMSF查查F F 值表，得值表，得 3.063.06， 4.894.89，故，故F F0.01 F F0.01 ，阐明，阐明5 5个地域黄鼬冬季针毛长度差别个地域黄鼬冬季针毛长度差别极显著。极显著。

17、)15, 4(05. 0F)15, 4(01. 0F43结果做成方差分析表：结果做成方差分析表：不同地域黄鼬冬季针毛长度方差分析表不同地域黄鼬冬季针毛长度方差分析表变异来源变异来源SSSSdfdfs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01地区间地区间地区内地区内173.71173.7112.9912.994 4151543.4343.430.870.8750.1550.15* * *3.063.064.894.89总变异总变异186.70186.701919为了确定各个地域之间的差别能否显著，需求进展为了确定各个地域之间的差别能否显著，需求进展多重比较。多重比较。例2 赞扬

18、问题 问题：消费者与供应厂商间经常出现纠纷。纠纷发生后，消费者经常会向消费者协会赞扬。消协对以下几个行业分别抽取几家企业，统计最近一年中赞扬次数，以确定这几个行业的效力质量能否有显著的差别。结果如下表：观测值行业零售业旅游业航空业家电制造业15768314426639495134929216544045347753456405865351744行业平均49483559总平均47.9方差分析：单因素方差分析SUMMARY组计数求和平均方差列 1734349 116.67列 2628848184.8列 3517535108.5列 4529559162.5方差分析差异源SSdfMSFP-value

19、F crit组间1456.63 485.54 3.4066 0.0388 3.1274组内270819 142.53总计4164.622赞扬问题的解赞扬问题的解ExcelSPSS例 3 纸张光滑度比较 四个不同的实验室试制同一型号的纸张，比较各实验室消费的纸张的光滑度，丈量了每个实验室消费的8张纸，光滑度如表所示：GHD.xls 假设上述数据服从方差分析模型，对显著程度0.05，检验各实验室消费的纸张的光滑度能否有显著差别。3.2.2 要素各程度均值的估计与比较 假设回绝原假设，那么以为要素A的a个程度的均值有显著的差别。这时，需求进一步研讨两方面的问题： 第一，对各程度的均值作出估计； 第二

20、，比较各程度的均值的差别，即对每一对 与 的差别程度作出估计，以便为实践运用选择最优的要素程度。i)(jij各程度均值的估计及其置信区间) 1 , 0()(/.2.Nynnyiiiiii. iy样本均值 是 的一个无偏估计，且i可以证明 )()()/(1/ )(.2.antMSynanSSynEiiiEiii1所以，对给定的置信程度 ， 置信度为 的置信区间为 i)(,)(21.21.iEiiEinMSantynMSanty各对均值差别的置信区间.jiyy )()11()(.antSMnnyyEjijiji很显然， 是 的一个无偏估计，ji可以证明 1所以，对给定的置信程度 ， 置信度为 的置

21、信区间为 ji)11()(,)11()(21.21.EjijiEjijiSMnnantyySMnnantyy1 假设此置信区间包含零，那么阐明根据所给观测数据，可以 的置信度断言 与 没有显著差别；假设整个区间在零的左边，那么可以 的置信度断言 小于 ；假设整个区间在零的右边，那么可以 置信度断言 大于 。11ijijij续 例3 根据例3中实验室消费纸张的光滑度数据，求各实验室消费的纸张光滑度的均值及其两两之差的置信度为95%的置信区间。 解：根据所给数据，四个实验室消费的纸张光滑度的均值的置信度为95%的置信区间为 42.788，48.637，38.751，44.600 37.451，43

22、.300，34.326，40.175续 例3 两两均值之差的置信度为95%的置信区间分别为 -0.098，8.173； 1.202，9.473； 4.327，12.598； -2.836，5.436； 0.289，8.561； -1.011，7.261；:42:43:21:41:31:32多重比较与Bonferroni同时置信区间 在各要素程度的比较中涉及到多个置信区间，虽然每个置信区间的置信度都是 ，但多个这样的置信区间结合起来的置信度就不再是 ，普通要比它小。11以 表示m个置信度为 的置信区间，那么由Bonferroni不等式：为使 同时发生的概率不小于 ，一个简单的方法就是将每个置信区

23、间的置信度提高到 ，这时就有), 2 , 1(miEi1mEPEPEPmiimiimii1)(1)(1)(111), 2 , 1(miEi1m11)(1miiEPBonferroni同时置信区间1ji)11()(,)11()(21.21.EjimjiEjimjiSMnnantyySMnnantyy所以，对给定的置信程度 ，为了构造m个 置信度不小于 的置信区间，只需求对每个求区间 留意：Bonferroni同时置信区间的同时置信度只能保证不小于 ，因此得到的同时置信区间会显得比较保守即得到的置信度为 的同时置信区间的长度往往比实践上的大。11续 例3 求均值两两之差的置信度为至少为95%的Bo

24、nferroni同时置信区间。 解：将置信程度调整为0.05/6=0.0083， -1.695，9.770 -0.395，11.070 2.730，14.195 -4.432，7.032 -1.307，10.157 -2.607，8.857:42:43:21:41:31:323.2 两要素等反复实验下的方差分析.统计模型影响变量的要素A和B，其中A有a个不同程度，B有b个不同程度。在要素A和B的各程度组合下均做c(c1)次实验，以 记在程度组合 下第k次实验的Y的观测值，对任一程度组合，假设且各样本之间相互独立。ijky),(jiBAckNyijijk,.2 , 1),(2统计模型且相互独立，

25、：方差分析模型可表示为两因素等重复试验下的), 0(),.,2 , 1,.,2 , 1,.,2 , 1(2Nckbjaiyijkijkijijk)21. 3(引入记号总平均,111aibjijab的效应因素水平iiibjijiAb,1.1.的效应因素水平jjjaiijjBa,1.1.的交互效应与水平jijiijjiijjiijijBA),()()()(.统计模型bjijaiijbjjaiiijkijkijjiijkNckbjaiy11112, 0, 0, 0, 0), 0(),.,2 , 1,.,2 , 1,.,2 , 1()21. 3(且相互独立，等价于：方差分析模型两因素等重复试验下的)2

26、3. 3(.交互效应及要素效应的显著性检验 如下三个假设检验问题：0:0.:1210jBbBHH至少某个0:0.:1210iAaAHH至少某个0:0,:10ijABijABHH至少某个总平方和分解EABBAaibjckijijkjiijaibjbjjaiiaibjckijijkjiijjiaibjckijkTSSSSSSSSyyyyyycyyacyybcyyyyyyyyyyyySS1112.2.1112.12.1112.1211)()()()()()()()()(2.12. .12. .112.111() ,A()B() ,() ,aAiibBjjabABijijijbcaijkijEjkiS

27、SbcyySSacyySScyyyyyySS因素 的平方和；，因素 的平方和；交互效应平方和；误差平方和。可以证明21122122212) 1()(,) 1)(1()() 1()(,) 1()(cabSSEbacSSEbacSSEabcSSEEaibjijABbjjBaiiA，均方，误差均方交互效应的均方；的均方；，因素的均方；因素) 1(,) 1)(1(B1A,1cabSSMSbaSSMSbSSMSaSSMSEEABABBBAA21122122212)(,)1)(1()(1)(,1)(EaibjijABbjjBaiiAMSEbacMSEbacMSEabcMSE，易得检验统计量),1(),1)

28、(1(),1(, 1(),1(, 1(cabbaFMSMSFcabbFMSMSFcabaFMSMSFEABABEBBEAA当原假设成立时检验值否则不能拒绝。拒绝原假设，值，若对于显著水平,),(),(),(000pfFPpfFPpfFPpABABHABBBHBAAHAABBA留意 上述三个假设检验问题是同时讨论的，但它们的位置有所不同，在详细运用中，首先应调查有无交互作用的检验，假设检验的结论是不能回绝 即交互作用不显著，接下来再思索要素或的效应的显著性才有意义。0ABH 假设A和B之间存在交互作用，即不全为零，那么对于的两个程度，它们在的第个程度上的两个组合 和 下的均值之差为 该值能够会与

29、B所处的程度有关。 ij)()()()(2121221121jijiiijijijijijijijB21,iiAA),(1jiBA),(2jiBA 两要素方差分析中交互作用的解释例如，A、B均有2个程度，以下图给出能够出现的两种情况： 图3.1 有交互作用时A的各程度均值在B的不同程度上的差别12221121A1A2B1B2520520B1B2A2A111212212)(a)(b 在有交互效应时，检验假设 和 的实践意义并不大，尤其是当交互效应显著，而A或B的效应不显著时，对结果的解释更应慎重。 相反，假设A与之间无交互作用，那么在B的任何程度上，均有 ，其在B的各程度上均相等且完全由A的程度

30、效应之差所确定，也真实地反映了A的不同程度对因变量的影响能否显著。0AH0BH2121iijiji 在有交互效应时要调查各要素对Y的显著性影响，普通只能将一个要素的各程度逐个给定，在各给定的程度上调查另一要素的各程度均值之间的差别来了解该要素对的影响。例. 某高校为了解数学专业和计算机低年级、高年级、研讨生在人文社科知识方面的差别，从不同专业和不同级别的学生中各任选名参与有关考试，成果如表所示。 假设考试成果服从两要素方差分析模型，对其作方差分析。结果分析 交互效应是不显著的，即两专业学生的人文社科知识程度的差别在各级别的学生中可以为是一样的。同时，数学专业中各级别学生的人文社科知识程度的差别

31、与计算机科学专业中相应级别学生的知识程度差别可以为是一样。 两个要素对成果的影响均显著，即两个专业学生的人文社科知识程度是有显著差别的，不同级别的学生的人文社科知识程度也有显著差别。例. 三名修缮工修缮三种类型的计算机磁盘驱动系统，随机指定修缮三种类型的磁盘驱动系统各个，修缮时间如表所示。假设修缮时间服从两要素方差分析模型，试对此数据作方差分析。结果分析 交互效应是非常显著的，即不同的修缮工修缮不同类型的驱动器所破费的时间是显著不同的。 不同的修缮工与不同类型的驱动器对修缮时间的影响均不显著。 交互效应能够会掩盖各要素对因变量的某些本质影响。.无交互效应时各要素均值的估计与比较 在给定的显著程

32、度下，当交互效应不显著，并且要素或至少有一个对因变量的影响显著，那么可以对影响显著的要素在各程度上的均值作出估计，并给出其本身及任两个之差的置信区间。.iy 假设要素的影响显著，那么对其任一个程度，为的一个无偏估计； 置信度为的置信区间为. i1iA均值的估计)/)1(,/)1(21.21.bcSMcabtybcSMcabtyEiEi均值差置信区间 两个程度均值之差置信度为的置信区间为1)/2)1(,/2)1(21.21.2121bcSMcabtyybcSMcabtyyEiiEii置信区间 作同时比较，置信度不小于的同时置信区间为1)/2)1(,/2)1(21.21.2121bcSMcabty

33、ybcSMcabtyyEmiiEmii续例. 两专业之间学生成果的均值之差和各级别学生之间成果的均值之差的置信度不小于的同时置信区间。 解：.专业要素 .，. 数学专业学生的人文社科知识显著差于计算机科学专业的学生 .学生级别要素 .，. .，. .，. 由此结果知，在至少的置信度下可断言两个专业的研讨生的人文社科知识强于低年级和高年级学生，而高年级学生与低年级学生的人文社科知识无显著差别。.有交互效应时要素各程度组合上的均值估计与比较 假设要素和之间有显著的交互效应，这时单独思索或各程度上均值的差别并无多大实践意义。这时，可经过直接比较要素各程度组合上的均值来了解其差别。),(jiBA.ij

34、u 对于给定的要素B的某个程度 ， 是 的估计 置信度为的置信区间为jB.ijyij),.,2, 1(ai 1)/)1(,/)1(21.21.cSMcabtycSMcabtyEijEij 作同时比较，置信度不小于的同时置信区间为1)/2)1(,/2)1(21.21.2121cSMcabtyycSMcabtyyEmjijiEmjiji续例3.6 对每一类型的磁盘驱动系统，给出三名修缮工修缮时间均值两两之差的置信度不小于95%的Bonferroni同时置信区间。 解：对于 类型， )706. 1,894.21( :)694. 9 ,494.10( :)494.21,306. 1 ( :312131

35、1121111B两要素等反复实验方差分析流程图结束各水平均值估计和比较是结束否各因素是否显著？否结束考察因素联合影响是交互效应是否显著？3.3两要素非反复实验下的方差分析 在要素和B的每个程度组合上仅做一次实验，从而只需一个观测数据，此时模型为2.2(1,2,., ,1,2,., )(0,),0,ijijijijijEijEyia jbNyySSSS，且相互独立此时，故这说明不能由得到的估计。前节方法不适用！),1)(1( , 1(),1)(1( , 1(YBABA2babFMSMSFbaaFMSMSFSSABBBABAAAB检验统计量。的影响进行显著性检验对因变量的各水平或对的一个无偏估计，进而构造以通过之间无交互效应，则可与假定 留意：这里曾经做了与之间无交互效应的假定。 假设根据问题的实践背景和阅历以为交互效应不显著，那么可在每个程度组合上只做一次实验，然后用上述方法进展分析。 假设分析的结果是在一定显著程度下，或至少有一个对的影响显著，那么可完全类似单要