北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch1_2DFS

1、近代数字信号处理近代数字信号处理(Advanced Digital Signal Processing) 电子电子信息工程学院信息工程学院信号与图像处理研究室信号与图像处理研究室利用 M点的滑动平均系统去噪020406080100120140160180200-5051015Time index k 02040608010012014016018020002468101214Time index k nksk xkskyk% Signal Smoothing by Moving Average FilterN = 201;n = 1.0*rand(1,N)-0.5;k=0:N-1;s=2*k.

2、*(0.9.k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0;x=s+n;subplot(2,1,1); plot(k,n,k-, k,s,b-, k,x,m-);xlabel(Time index k); legend(nk,sk, xk);M =5; b = ones(M,1)/M; a =1;y = filter(b,a,x);subplot(2,1,2); plot(k,s,b-, k,y,r-);xlabel(Time index k); legend(sk,yk);利用 M点的滑动平均系统去噪de )j (21)( jtXtxtnnnCtx0j=e )(信号Fourier级数的提

3、出 傅立叶(Fourier, 1768-1830) 法国数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822 年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响 。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论由此创始。 信号Fourier级数的提出Fourier tnnnXtxj0e )j (lim21)(Y(

4、)=H()X()jjjLTIejtY()jX(j)ejt()jHtnnnHnXtyj0e )j ()j (lim21)(信号Fourier级数的提出jjj01 lim(e)(e) e2nnnkny kXHjj01 lim(e) e2nnknx kXY()=H()X()ejejejLTIejkY()ejX(ej)ejk()ejH信号Fourier级数的提出利用 M点的滑动平均系统去噪020406080100120140160180200051015x=2*k.*(0.9.k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0+nsk -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810

5、50010001500Input signal frequency spectrum X(ejW)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.51System amplitude frequency spectrum H(ejW) xkykM点滑动平均滤波(M=5)利用 M点的滑动平均系统去噪020406080100120140160180200051015x=2*k.*(0.9.k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0+nsk -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81050010001500Input signal frequenc

6、y spectrum X(ejW)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.51System amplitude frequency spectrum H(ejW) xkykM点滑动平均滤波(M=10)% Signal Smoothing by Moving Average FilterN = 201;n = 1.0*rand(1,N)-0.5;k=0:N-1;s=2*k.*(0.9.k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0;x=s+n;M =10; h= ones(M,1)/M; y = filter(h,1,x);subplot(3,1,1); plo

7、t(k,x,b-, k,y,r-);title(x=2*k.*(0.9.k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0+nsk);legend(xk, yk); % Display input signal frequency spectrumw=linspace(-1.0*pi,pi,500);X=freqz(x,1,w);subplot(3,1,2); plot(w/pi,abs(X); grid on;title(Input signal frequency spectrum X(ejW); % Display system frequency spectrumH=freqz(h,1

8、,w);subplot(3,1,3); plot(w/pi,abs(H); grid on;title(System amplitude frequency spectrum H(ejW);legend(M点滑动平均滤波(M=10);利用 M点的滑动平均系统去噪江南Style_Psy时域波形与频谱0123456789-1-0.500.51050010001500200025003000350040004500500000.050.10.150.20.25s频谱Hz时域波形据说此曲流行的一个原因是它与心脏的跳动韵律相似。心脏跳动声音时频波形0123456789-1-0.500.510500100

9、01500200025003000350040004500500000.050.10.150.20.25s频谱Hz时域波形低频部低频部分有点分有点像！像！我和你_萨拉布莱曼时域波形与频谱0123456789-1-0.500.51050010001500200025003000350040004500500000.050.10.150.20.25s频谱Hz时域波形她的声音空灵到了极致，仿佛带你漫步云端。 从频谱看和其他歌手的区别基音很基音很高，但高，但更高频更高频的分量的分量很少！很少！)(tyt20113tt3)(tht201信号传输 为何引入信号的频域分析？信号的时域波形加噪信号的时域波形信

10、号滤波 为何引入信号的频域分析？时间/秒时间/秒女生信号时域波形男生信号时域波形信号分析 为何引入信号的频域分析？电话拨号中的双音多频信号(DTMF)321B654C987D#0*A1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz1633 Hz697 Hz770 Hz852 Hz941 Hz信号识别 为何引入信号的频域分析？ 数字键 1的波形数字键 2的波形表示表示推导推导周期为周期为N的任意周期序列的任意周期序列kxkNkmkxmXj10e kNmmmXNkxj10e 1其中：1, 1 , 0;2NmNmmDFS系数的计算公式为系数的计算公式为可用虚指数序列表示为可用虚指数序列表示为DFS系数

11、系数mX的周期为的周期为N。推导推导周期为周期为N的单位脉冲序列定义为的单位脉冲序列定义为rNkkrN5k推导推导22444kkkx一般地，一个周期为一般地，一个周期为N周期序列可表示为周期序列可表示为10lklxkxNNl如何用周期为如何用周期为4的单位脉冲序列表示下图序列的单位脉冲序列表示下图序列?推导推导NNW2je 定定义义 10 NlklNW0, k不是不是N的整数倍的整数倍N, k是是N的整数倍的整数倍kNN 102j10e11NmkNmNmkmNNNWNk 周期为周期为N的单位脉冲序列的单位脉冲序列DFS 表示表示推导推导10lklxkxNNl mlkNNmNlWlxN)(101

12、01 kmNlmNNlNmWWlxN 11010定义：定义：lmNNlWlxmX10 mkNNmWmXNkx 110推导推导对周期为对周期为N的任意周期序列的任意周期序列110kxkxnNnkNk NkkxmkNNkWkxkxmXDFS mkNNmWmXNmXkx 1IDFSNNW2je e10e10101102j102jkkkx系数为的可得周期序列表达式对比DFSIDFSkx，others09 , 110mmXe10e10101)110(102j102jkk例：求周期序列例：求周期序列 的的DFS系数系数。) 52cos(kkx解：解： 周期序列周期序列 的周期为的周期为10。) 52cos

13、(kkx例例: : 求如图所示求如图所示周期周期为为N的方波序列的方波序列的的DFS系数系数(N2M+1)。DFS :kxmX解kmNMMk2je当取当取m=0, N, 2N, ,时，有时，有12 MmX当当m取其他值时，利用等比级数的求和公式有取其他值时，利用等比级数的求和公式有mNMmNmMNmX2j)1(2j2je1eeNmMNmsin12sinN=30，M=2周期周期方波的方波的DFS系数系数N=30，M=12周期周期方波的方波的DFS系数系数 周期周期 N =30 的方波序列的的方波序列的DFS系数图形显示系数图形显示DFSDFSDFS2121kxbkxakxbkxa 周期序列位移后

14、，仍为相同周期的周期序列，周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此，只需要观察位移后序列一个周期的情况因此，只需要观察位移后序列一个周期的情况周期序列的位移周期序列的位移2kxmnNmXnkx2je DFS-e DFS2jlmXkxlkN0 1 2 3kN=40 1 2 3kN=54周期序列的对称周期序列的对称偶对称偶对称kNxkxkx 周期序列的奇对称周期序列的奇对称kNxkxkx DFSmXkxDFSmXkx 若为实序列，则有若为实序列，则有mXmX - | | |mmmXmX IIRRmXmXmXmX DFSmXkxDFSmXkx 若为实偶对称实序列若为实偶对称实序列实实偶偶对对称称

15、mXmXmX DFSmXkxDFSmXkx 若为奇对称实序列，则有若为奇对称实序列，则有实部为零，虚部奇对称实部为零，虚部奇对称mXmX 周期卷积定义：周期卷积定义：211021nkxnxkxkxNnkx0nx1 nx2nxkxkx例：例：周期周期N=3的序列的序列 如图所示，试计算如图所示，试计算kxkxkxky0 1 2k121211021nkxnxkxkxNn32 1 00 1 2330 1 2230 1 1 23011112222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx32 1 00 1 23 10 1 22 10 1 32 1032 1 01111222222

16、2222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyy例：例：N=40123101221013210rcccrrccrrrcrrrrT定义定义:1. 写出矩阵的第一列与第一行；2. 从上至下逐行右移。T = toeplitz(c,r)c矩阵的第一列矩阵的第一列 r矩阵的第一行矩阵的第一行例： T=toeplitz(1 5 6 7,1 2 3 4)T = 1 2 3 4 5 1 2 3 6 5 1 2 7 6 5 1x=1 2 3 4;h=5 6 7 8;y=toeplitz(x,x(1) fliplr(x(2:end)*h y = 66 68 66 60 0 1 2 3 3 0 1 2 2 3 0 1 1 2 3 0 22