概率论与数理统计：第4章 第二节方差

1、概率统计第二节第二节 方方 差差 问题的引出问题的引出引例引例1 某零件的真实长度为某零件的真实长度为 a，现用甲、乙两台仪，现用甲、乙两台仪器各测量器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点用坐标上的点表示如图：表示如图： a 甲仪器测量结果甲仪器测量结果a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果概率统计 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣， 你认为哪台仪器好一些呢？你认为哪台仪器好一些呢？ 较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 a 甲仪器测量结果甲仪器测量结果a 乙

2、仪器测量结果乙仪器测量结果概率统计甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：若请你评估，你认为哪门炮射击效果好一些呢若请你评估，你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心引例引例2概率统计引例引例3某两个储蓄所，它们的月吸收存款额某两个储蓄所，它们的月吸收存款额(万元万元)及其概率如下所示：及其概率如下所示：甲储蓄所甲储蓄所乙储蓄所乙储蓄所月吸收存款额月吸收存款额X甲甲概率概率p810

3、120. 20. 60. 2月吸收存款额月吸收存款额X乙乙概率概率p710130. 30. 40. 3问：问：甲乙两个储蓄所哪个月吸收存款额来得稳定？甲乙两个储蓄所哪个月吸收存款额来得稳定？解：解：(1) 若计算其数学期望，则：若计算其数学期望，则：()8 0.210 0.612 0.210E X甲甲(万元万元)()7 0.310 0.413 0.310E X乙乙(万元万元)概率统计从计算的结果上看，这两个储蓄所的月吸收存款额从计算的结果上看，这两个储蓄所的月吸收存款额的的平均值平均值是相同的。但从已知条件稍加分析可知，是相同的。但从已知条件稍加分析可知，甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸

4、收存款甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额来得额来得“稳定稳定”。因此，要进一步的研究问题的实质。因此，要进一步的研究问题的实质必须必须了解它的取值与平均值的偏离程度了解它的取值与平均值的偏离程度。(2) 若用随机变量与其数学期望的偏差的期望值来若用随机变量与其数学期望的偏差的期望值来 表示这表示这偏离程度偏离程度，则：，则：()(810) 0.2(1010) 0.6(1210) 0.20E XE X甲甲甲甲(万元万元)()(710) 0.3(1010) 0.4(1310) 0.30E XE X乙乙乙乙(万元万元)概率统计从计算的结果上看，由于诸偏差的正负抵消，这两个从计算的结果上看

5、，由于诸偏差的正负抵消，这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差的期望值储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差的期望值均为均为“0”，这样就掩盖了实际偏差的的大小。因此，这样就掩盖了实际偏差的的大小。因此，为了克服诸偏差的正负抵消，真正反映出实际偏差的为了克服诸偏差的正负抵消，真正反映出实际偏差的大小程度，通常采用大小程度，通常采用偏差平方的数学期望偏差平方的数学期望来描述随机来描述随机变量变量的取值与平均值的偏离程度的取值与平均值的偏离程度。(3) 若用随机变量与其数学期望的若用随机变量与其数学期望的偏差平方偏差平方的期望值的期望值 来表示这来表示这偏离程度偏离程度，则：，则：2222(

6、)(810)0.2(1010)0.6(1210)0.21.6E XE X甲甲甲甲(万元万元)2222()(710)0.3(1010)0.4(1310)0.35.4E XE X乙乙乙乙(万元万元)概率统计从计算的结果上看，由于克服了诸偏差的正负抵消，从计算的结果上看，由于克服了诸偏差的正负抵消，这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差平方的期望值就真正反映出实际偏差的大小程度：平方的期望值就真正反映出实际偏差的大小程度：甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额来得来得“稳定稳定”。 通常称用通常称

7、用偏差平方的数学期望偏差平方的数学期望来描述来描述随机变量随机变量的取值与平均值的偏离程度为的取值与平均值的偏离程度为“方差方差”一一. 方差的定义方差的定义()D X 设设X 是一个随机变量，若是一个随机变量，若 E(X-E(X)2 存在，存在， D(X)=EX-E(X)2 为为 X 的的方差方差。记为：。记为：定义定义.()Var X EX-E(X)2采用平方是为采用平方是为了保证一切差了保证一切差值值X-E(X)都起都起正面的作用正面的作用则称则称概率统计注注()D X是个是个(实实)数，它数，它形式上形式上是是X 的每一个取值的每一个取值和它们的平均值的偏差平方与相应概率的乘积和它们的

8、平均值的偏差平方与相应概率的乘积之和；之和；本质上本质上体现了体现了X 围绕着围绕着“平均值平均值”的偏离的偏离程度，故它是衡量程度，故它是衡量X 取值分散程度的一个标志；取值分散程度的一个标志；物理上物理上表示了一个质点系通过重心表示了一个质点系通过重心 E(X)的纵轴的纵轴的转动惯量。的转动惯量。 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为称为标准差标准差或或均方均方 差。差。记为记为:()D X()()XD X X()D X实际上是实际上是的函数的函数的数学期望。的数学期望。2)()(XEXXg 概率统计21()()()kkkD XVar XxE Xp 二二. 离散型随机变量的方差离散型随机

9、变量的方差1. 定义定义.XkP012nxxxx 012npppp 设设离散型离散型随机变量随机变量X 的分布律为的分布律为:如果级数如果级数绝对收敛，则称此绝对收敛，则称此21()kkkxE Xp 级数为级数为 X 的方差，记为：的方差，记为：2()E XE X注注 如果级数如果级数不绝对收敛，则称不绝对收敛，则称21()kkkxE Xp ()D X不存在不存在概率统计2 . 几种常见分布的方差几种常见分布的方差22D(X)(0)(1)pqpppq它它的分布律为的分布律为:若随机变量若随机变量 X 只能取只能取 0 与与 1 两个值，它的分布两个值，它的分布律为律为:(1)()(1)0,1.

10、 01kkP X kppkp 则：则： 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 ( n, p ) 的二项分布，的二项分布，(1) 分布分布(0 1) 即即 ( , ),XB n p(2) 二项分布二项分布则：则：D(X)n pq E(X)p nkppCkXPknkkn2 , 1 , 0,)1()( npXE )(概率统计(3) 泊松分布泊松分布若随机变量若随机变量X 的所有可能取值为：的所有可能取值为： 而它的分布律而它的分布律(它所取值的各个概率它所取值的各个概率)为：为： 0,1,2,()0,1,2,!keP Xkkk )( PX即即:则则:D(X) E(X) 三三. 连续型随机变

11、量的方差连续型随机变量的方差1. 定义定义. 设设连续型连续型随机变量随机变量X 的概率密度为的概率密度为( )f x如果积分如果积分绝对收敛，则绝对收敛，则2()( )xE Xf x dx 称此积分为称此积分为 X 的方差，记为：的方差，记为：概率统计()()D XVar X 2()( )xE Xf x dx 2()E XE X2. 几种常见分布的方差几种常见分布的方差(1). 均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)为：为：( )f x bxaab10其其 它它 , XU a b即即则则 :()2abE X 2()()12baD X 概率统

12、计(2). 指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)为：为：10( )0 xexf x 其其它它为常数为常数0 其中其中则则:201()xxedx 2()()( )D XxE Xf x dx 2 2()D X 即即:()E X 概率统计xz 令令: :2()()( )D Xxf x dx (3). 正态分布正态分布 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为：概率密度为：22()21( ),2xf xex 2( ,)XN 即即 :则则:dxexx222)(221)( 概率统计2222112zzed z 222 222222zzzeed z 222

13、22zz ed z 2 2()D X 即即:()E X 结论：结论：正态分布中密度函数的参数正态分布中密度函数的参数 恰好就是恰好就是 随机变量随机变量 X 的方差。的方差。2 正态分布中密度函数的参数正态分布中密度函数的参数 恰好就是恰好就是 随机变量随机变量X的数学期望的数学期望. 概率统计22()()()D XE XE X2()()D XE XE X22()2 ()()()E XE X E XE X22()()E XE X三三. 方差的性质方差的性质1. 这是一个重要的经这是一个重要的经常使用的计算公式常使用的计算公式证明证明:222()() E XX E XE X22()2()() E

14、 XEX E XE E X由数学期由数学期望的性质望的性质因为数学因为数学期望期望E(X)是数是数注注:这个公式给出了计算随机变量这个公式给出了计算随机变量X的方差的公式，的方差的公式，同时也给出了数学期望与方差之间的关系。同时也给出了数学期望与方差之间的关系。概率统计22()()()D XE XE X()2abE X 例例1. 1,( )0,axbf xba 其其它它 , ,XU a b设设即它的概率密度函数为：即它的概率密度函数为：求：求：X 的方差的方差解：解： 因为：因为：221()()2baabD Xxdxba 所以：所以：2()12ba 概率统计例例2. 设随机变量设随机变量 X

15、服从几何分布，其分布律数为：服从几何分布，其分布律数为：其中其中，0 p 1解：解：11()kkE Xk pq 1()kkpq 1()kkpq ()1qpq 1p 求和与求和与求导求导交换交换次序次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式求求：D ( X )(1)qp记记, 2 , 1,)1()(1 kppkxPk概率统计2211()kkE Xk pq 1111(1)kkkkpk kqkq1()kkqpq +E(X)1()1qqpqp 321(1)qpqp 221qpp22pp 22pp 21p 21pp 22()()EDEXXX所以所以:概率统计2()()cD cXD X ()()

16、( )D XYD XD Y()D XY ( )0D c 2 .c若若 是常数，则：是常数，则：3. c若若 是常数，是常数，X 是随机变量，则：是随机变量，则：证明：证明：22()() ()D cXE cXE cX222()()E c XcE X2222()()c E XcE X222()() cE XE X2()c D X 4. 若若X,Y是是相互独立相互独立的随机变量，则：的随机变量，则：证明：证明：由方差定义由方差定义2()()EXYE XY概率统计()( )2 ()( )D XD YE XE XE YE Y ()( )D XD Y22()( )2 ()( )E XE XE YE YE

17、XE XYE Y 2() ( )EXE XYE Y 因为因为X,Y相相互独立，所互独立，所以以X-E(X)与与Y-E(Y)也相也相互独立互独立()( )2()() ( )( )D XD YE XE XE YE Y 注：注：此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情形。变量之和的情形。概率统计()0D X 5. ()1P Xc的的充分必要条件充分必要条件是是X以概率以概率1取常数取常数c即即6. (切比雪夫不等式切比雪夫不等式) 设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望(),E X 2().D X 方差方差则对任意正数则对任意正数 不等式：

18、不等式：22PX 成立。成立。称其为称其为切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式(chebysev)的另一形式的另一形式:221)( XP概率统计证明证明:我们就连续型的随机变量的情况来证明我们就连续型的随机变量的情况来证明.设设X的概率密度为的概率密度为 f(x),则有则有 xdxxfXP)()(dxxfxx)(22 dxxfx)()(122 22 概率统计切比雪夫不等式的切比雪夫不等式的作用：作用：给出了在随机变量给出了在随机变量 X 的的分布未知的情况下分布未知的情况下 概率的上限的概率的上限的一种估计方法。一种估计方法。 如取如取3 22|()| 3 0.1119PX

19、E X 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在存在,则随机变量则随机变量 X 取值偏离取值偏离 E(X) 超过超过 的概率小的概率小于于0.111 .2 3 则则: 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，的概率越大，即即随机变量随机变量 X 集中在期集中在期望附近的可能性越大望附近的可能性越大. 由此：由此：2 X概率统计 现应用切比雪夫不等式证明性质现应用切比雪夫不等式证明性质5：()0D X 的的充分必要条件充分必要条件是是 X 以概率以概率 1 取常数取常数c即即()1P Xc证

20、明：证明：()1P Xc()0D Xc()0D Xc所以由切比雪夫不等式可知：所以由切比雪夫不等式可知：2()0D XPX 0 即：即：0PX由此可体会方差的由此可体会方差的概率意义概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻划了随机变量取值的离散程度概率统计则其对立事件：则其对立事件：1PX取取1,n 记记1()nAXE Xn显然，显然，1nnAA 1nA nA11n 1n0令：令：1()0nnAAXE X ()XE X由连续性得：由连续性得：1( )lim()lim()1nnnP AP AP XE Xn即：即：()1P XE X显然，显然，()cE X 1n nA 事件事件是在是在0与与

21、之间之间1 n概率统计已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在估计每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率之间的概率 .设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为 X依题意，依题意，现求：现求：例例3解：解：(52009400)?PX2()7300,()700E XD X73007300(5200940)00073PX( 2100()2100)PXE X()2100)PXE X由由切比雪夫不等式得：切比雪夫不等式得：概率统计2()()2100 1(2

22、100)D XPXE X27001()210018199即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率之间的概率不小于不小于8/9 .例例4 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A 发生的概率为发生的概率为 0.75, 利用利用切比雪夫不等式求：切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得需要多么大时，才能使得在在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件 A 出现的频率在出现的频率在0.74 0.76之间的概率至少为之间的概率至少为 0. 90 ?设设 X 为为 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 出现的次数出现的次数解：解：概率统计的最小的的最小的 n

23、900760740.).(nXP则：则：所求为满足：所求为满足：( , 0.75)XB n()0.75E Xn ()0.750.250.1875D Xnn 可改写为：可改写为：(0.740.76)XPn (0.740.76 )PnXn (0.740.750.750.760.75 )PnnXnnn( 0.010.750.01 )PnXnn ()0.01 )PXE Xn在在切比雪夫不等式中取切比雪夫不等式中取 ：0.01n 概率统计2()1(0.01 )D Xn20.187510.0001nn 18751n则有：则有：(0.740.76)XPn ()0.01 )PXE Xn依题意，取：依题意，取：187510.9n9n 解得：解得：即即 n 取取