求数列通项公式之累加法

1、第 1 讲 求数列通项公式之累加法（1）累加法： 如果递推公式形式为：an 1anfn 或 an 1anf (n) ，则可利用累加法求通项公式注意：等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 an 1 , an 的系数相同，且为作差的形式、具体操作流程之一：若an 1anf (n) ，a2a1f (1)a3a2f (2)则LLan 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k1例 1：数列 an满足： a11，且 an 1 an2n1，求 an解： an1an2n1anan 12n11Ma2a1211累加可得： aa 2 22L 2n 1n1n12 2n 112nn 32n 11a

2、n 2nn2例 2：已知数列 a 满足 aa2n 1，a1 ，求数列 a 的通项公式。nn 1n1n解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1 则1 / 4an (anan 1 ) ( an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1 ) a12( n1)12( n2)1 L(22 1)(211)12( n1)( n2)L 21(n1)12 (n1)n( n1)12(n1)(n1)1n2所以数列 an 的通项公式为 ann2比较例题 1 和例题 2：它们有什么异同吗？【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成an 1anf (n) 或anan 1()(2) 的形

3、式；其次还要利用到等差数列的前 nf nn项和公式 Sn n(a1an ) 或 Snna1n(n1)d ；22na1 (q1)等比数列的前 n 项和公式 Sna1 (1q n )(q1)1q【变式训练】：变式 1、已知数列an 的首项为 1，且 an 1an2n 写出数列an 的通项公式 .变式 2、在数列an 中， a10 且 an 1an2n1，求数列an 的通项公式。变式 3、已知数列 an 满足 a131(n 2) ，求此数列的通项， an an 1n(n1)公式 .2 / 4变式 4、在数列 an 中， a13 ， an 11，求数列 an 的通项公式。ann( n1)变式 5、已知

4、数列an 满足 an 1an2 3n1，a13，求数列an 的通项公式。【补充练习】：1、已知数列an 满足 a11 ， an 1ann ，则数列an 的通项公式为2、已知数列 an 满足 a11 ， an 1an 3n 1 （ nN ），则数列 an 的通项公式为3、已知数列 an 满足 a11 ， an 1 ann 21（ nN ），则数列 an 的23n2通项公式为 an。4、已知数列an 满足 an 1an8(n 1)8 ，则数列an 的通项公(2n 1) 2 (2n 3) 2 , a19式为 an。5已知 an 满足an 1 an 2，且a1 1，求an6已知 an 满足 an 1a

5、n2 n 3 ，且 a1 1 ，求 an3 / 47已知 an 满足an 3n 1an 1 ( n 2)，且a1 1，求an8.已知数列an 满足，求。评注：已知 a a( )，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次1, an 1 an f n函数、指数函数、分式函数，求通项a n .若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。思考题： 已知数列an 中 , an0 且 Sn1 (ann ) ,求数列an 的通项公式 .2anS1 (ann ) S1 (SnSn)nnn 1解 :由已知2an 得2SnSn 1,化简有Sn2Sn2 1 n,由类型 (1)有Sn2S12