中考数学必考考点专题32尺规作图含解析

1、专题32尺规作图问题专题知识回顾1 .尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图可 以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。2 .尺规作图的五种基本情况：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。3 .对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。4 .中考要求：(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂 直平分线.(2)能利用基本作图作三

2、角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三 角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆(4) 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)专题典型题考法及解析【例题1】(2019?胡南长沙)如图，RHABC中，/C= 90, /B= 30,分别以点A和点B为圆心,于AB的长为半径作弧，两弧相交于 M N两点，作直线MN交BC于点D,连接AD则/ CAM度数是( 1【答案】BC. 45D. 60【解析】根据内角和定理求得/ BAC= 60 ,由中垂线性质知 DA= DB即/DAB= / B= 30在A

3、BC43, / B= 30 , / C= 90 ,/ BAC= 180 - / B- / C= 60 ,由作图可知MN为AB的中垂线，DA= DB ./ DAB= / B= 30 , ./ CAD= / BAG / DAB= 30 。,从而得出答案.【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD勺对角线，/ CBD= 75（1）请用尺规作图法，作 AB的垂直平分线 EF,垂足为E,交AD于F;（不要求写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接 BF,求/ DBF勺度数.【答案】见解析。【解析】（1）分别以a.b为圆心，大于 Lab长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。如图所示，直

4、线 EF即为所求;(2)根据/ DBF= / ABID- / ABF计算即可。四边形ABC虚菱形, ./ ABD= / DBG=_2/ABO 75 , DC/ AB, / A= Z C.，/AB0150 , / ABO/0180 ,/ C= / A= 30 , EF垂直平分线段 AB. AF= FB,.A= / FBA= 30 ,.Z DBF= / ABID- / FBE= 45【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出/ A O B =/ AOB的依据是()A. (SASB. (SSSC. (ASA)D. (AAS【答案】B【解析】我们可以通过其作图的

5、步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运 用SSS,答案可得.作图的步骤:以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB于点C D;任意作一点O,作射线 OA,以O为圆心，OC长为半径画弧，交 OA于点C;以C为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点 D;过点D作射线O B.所以/A O B就是与/ AOM等的角；作图完毕.在 OCDW C D,g u =ocoJ D-OD,H =CD.OCD2丛 O C D ( SSS , . ./A O B =/ AOB显然运用的判定方法是 SSS【例题4】（2019?山东青岛） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：/

6、 a ,直线l及l上两点A, B.求作：RtAAB（C使点C在直线l的上方，且/ ABG= 90 , / BAG= Z a .29【答案】见解析。【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.先作/ DAB= a ,再过B点作BE! AB则AD-W BE的交点为 C点.如图， AB8所作.专题典型训练题一、选择题1. （2019?广西北部湾） 如图，在ABC43, AGBC ZA=40 ,观察图中尺规作图的痕迹，可知/

7、BCG勺度数为（）A. 40 B ,45C. 50D, 60【答案】C【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CGLAB,则CG平分/ ACB利用/ A=Z B和三角形内角和计算出/ ACB从而彳#到/ BCG勺度数.本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知 线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.由作法得CGL AR. CG平分/ ACB / A=/B. / AC=180 -40 -40 =100 , ，一I ，八/ BCG.b / ACB50 .2. （2019 贵州贵阳） 如图，在A

8、BC3, AB= AC以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D, 再分别以点B, D为圆心，大于-j-BD长为半径画弧，两弧相交于点 M作射线CM交AB于点E.若AE= 2, BE= 1,则EC的长度是（）A. 2B. 3C. . ；D. .二【答案】D.【解析】利用基本作图得到 CELAB,再根据等腰三角形的性质得到AC= 3,然后利用勾股定理计算 CE的长.由作法得 CEL AB,则/AEC= 90 ,AC= AB= BEAE= 2+1 = 3,在 RtAACE, CE=7?匚”=旄3. （2019?可北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）【解析】三角形外心

9、为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可C, D两点，连接CD.AO附交于点E,连接CE DEA. / CEO / DEOC. / OCD= / ECDB. CM= MDD. S四边形OCED=CD?OE2【答案】C.【解析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可.由作图步骤可得： O比/ AOB勺角平分线,.CE / DEO CM= MD S四边形OCED=CD?OE但不能得出/ OCD= /ECD5. （2019?湖北宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）【答案】A用直尺成功找到三角形外心.4. （2019?山东潍坊） 如图，已知/

10、A0 按照以下步骤作图:以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交/AOB勺两边于分别以点C, D为圆心，以大于线段 OC勺长为半径作弧，两弧在/连接O狡CDT点M【解析】作线段 BC的垂直平分线可得线段 BC的中点.作线段BC的垂直平分线可得线段 BC的中点.由此可知，选项 A符合条件，故选 A.6 .（经典题）作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a .求作：线段 AB,使AB = a .【答案】见解析。【解析】作法：作射线AP;在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。（已知）aP-7 .（经典题）已知三边作三角形。已知：如图，线段 a, b, c.求作： ABC 使

11、AB = c , AC = b , BC = a.【答案】见解析。【解析】作法：作线段AB = c ;以A为圆心b为半径作弧，以 B为圆心a 为半径作弧与前弧相交于 C;连接AC BQ则 ABC就是所求作的三角形。、巳如f已知三地作三角产8 .（经典题）已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段 m n, Z .求作： ABG 使/ A=Z, AB=m AC=n.【答案】见解析。【解析】作法：作/ A=Z ;在AB上截取 AB=m ,AC=连接BG则 ABC就是所求作的三角形。:已知两边及夹角作三角形）9.（经典题）做已知线段的中点已知：如图，线段 MN.求作：点 O,使MO=NO即O是MN的中

12、点）.【答案】见解析。【解析】作法：分别以M N为圆心，大于线段为半径画弧，两弧相交于巳Q;连接PQ交MNT O.则点O就是所求作的MN的中点。1/2MN的相同（作线段的中点）10.（经典题）作已知角的角平分线。已知：如图，/ AOB求作：射线 OP,使/ AO2/ BOP（即OP平分/ AOB 。【答案】见解析。【解析】作法： 以。为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA OW M, M分别以 M N为圆心s大于 1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧交/AO郎于P; 作射线OR则射线OP就是/ AOB勺角平分线。已知：如图，/，/ ，线段m .求作： ABG 使/ A=Z , / B=Z,AB

13、=m.（已知）【答案】见解析。【解析】作法: 作线段AB=m 在AB的同旁作/ A=Z ,作/ B=Z/ A与/ B的另一边相交于 C。则 ABC就是所求作的图形（三角形）。PA+PC=BC则符合12. （2019?可北模拟题） 如图，已知 ABC（A（X BCC ,用尺规在 BC上确定一点 巳 使【答案】D故 D正确【解析】要使 PA+PC=BC必有PA=PB所以选项中只有作 AB的中垂线才能满足这个条件,D选项中彳的是AB的中垂线,PA=PBPB+PC=BCPA+PC=BC13. （2019?丽水模拟题） 如图，小红在作线段 AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A, B为圆心,大于线

14、段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C, D,则直线CD即为所求.连结 AC, BC, AD, BD,根据她的作图方法可知，四边形 ADBC-定是（）A.矩形 B.菱形C. 正方形D.等腰梯形【答案】B【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBCH边的关系进而得出四边形-一定是菱形。分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D,AC=AD=BD=B C，四边形ADBC-定是菱形。14.（2019?湖南益阳）已知M N是线段AB上的两点，AMh MN= 2, NB= 1,以点A为圆心，AN长为半径画弧;再以点B为圆心，BMK为半径画弧，两弧交于点 C,连接AC BC则 AB

15、5定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】 依据作图即可得到 AC= AN= 4, BC= BM= 3, AB= 2+2+1 = 5,进而彳#到 AC+BC=Ag,即可得出 ABC是直角三角形.如图所示，AC= AN= 4, BC= BM= 3, AB= 2+2+1 = 5,AC2+BC2= AB,.AB佻直角三角形，且/ ACB= 90。，故选B.二、填空题15. （2019武汉）如图，BD矩形ABCD勺对角线，在 BAD BD上分别截取 BE BF,使BE BF;分另以E, F为圆心，以大于二EF的长为半径作弧，两弧在/ABD内交于点G,作射线BG

16、交AD于点P,若AP= 3,则点P到BD的距离为.SA/BD【答案】3【解析】结合作图的过程知：BP平分/ ABD/ A= 90 , A23,点P到BD的距离等于 AP的长，为3。16. （2019济南）如图，在RtAABO, / C= 90 ,以顶点 B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ABBC于点M, N,再分别以点 M N为圆心，大于二MN勺长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若 d!a/A= 30。,则产匚D =.【答案】二. 2【解析】由作法得 BD平分/ ABC . / C= 90 , Z A= 30 , ./ABC= 60 , ./ ABD= / CBD= 30

17、 ,DA= DB在 RtABCD, BD= 2CD . AD= 2CD一-i .iSAABD=1/217. （ 2019甘肃省兰州市）如图， 矩形ABCD /BAC 600.以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC于点M N两点，再分别以点 M N为圆心，以大于 1 MN勺长为半径作弧交于点 P ,作射线AP交BC2于点E,若B曰1,则矩形ABCD勺面积等于 .【答案】3超.【解析】由题可知AP是/ BAC勺角平分线 . / BAC= 60/ BAE= / EAC= 300 .AE= 2 BE= 2.AB 3 / AEB 600又. / AEB= / EAG/ ECA/ EAC= /

18、ECA 300. AE= EC= 2. BC= 3S 矩形 ABCD= 318. （2019四川成都）如图，口 ABCD勺对角线AC与BD相交于点 Q按以下步骤作图：以点 A为圆心，以 任意长为半径作弧，分别交AOAB于点MN;以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OCF点M ;以点M 为圆心，以 MNK为半径作弧，在/ COErt部交前面的弧于点 N ;过点N作射线ON交BC于 点E,若AB=8,则线段OE的长为 .【答案】4连接MN和M N ,因为【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定,AM OM , AN ON , MN MN,所以 AMN AOM N (S

19、S0 ,所以， MAN M ON ,1 _所以OE / AB ,又因为O是AC中点，所以OE是 ABC的中位线，所以 OE AB ,所以OE 4.2三、填空题19. （20197A盘水模拟题） 如图，在ABC4利用尺规作图，画出 ABC勺外接圆或内切圆（任选一个.不【答案】见解析。【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。20. (2019石景山二模)下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”已知：/ AOB的尺规作图过程.求作：/ APC使彳导/ APG2/AOB作法：如图，在射线OB上任取一点C;作线段OC的垂直平分线，交O点P,交O时点D;连接P

20、C所以/ APC为所求作的角.根据小华设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据).证明：DP是线段OC勺垂直平分线，.OP= ()/ O与 PCO. / APCW O+Z PCO()./ APC=2 / AOB【答案】见解析。(2) PC线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.21. (2019?胡北省仙桃市) 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹. (1)如图，四边形 ABCD3, AB= AD / B= / D,画出四边形 ABCD勺对称轴mi (

21、2)如图，四边形 ABC由，AD/ BC /A= / D,画出BC边的垂直平分线 n.c国图【答案】见解析。【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即 可画出直线.(1)连接AC AC所在直线即为对称轴 m如图，直线m即为所求(2) (2)延长BA C改于一点，连接 AC BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n.如图，直线n即为所求c22. （2019?四川省达州市） 如图，在 RtAABC, / ACB= 90 , AG= 2, BG= 3.(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.作/ ACB勺平分线，交斜边 AB于点D;过点D作BC的垂线，垂

22、足为点 E.BAC从而利用相似比计算出DEO ./ BCD=/ACB= 45 ,【解析】(1)利用基本作图，先画出 C叶分/ ACB然后作DEL BC于E。,再判断 CD曰等腰直角三角形，所以 DE= CE然后证明 BDE. CD平分/ ACB. DEI BC.CD曰等腰直角三角形，DE= CE. DE/ AC BDEo BACDEACDE 3-CEDE=-|L.523. (2019?广东)如图，在 ABC中，点D是AB边上的一点.(1)请用尺规作图法，在4ABCft,求作/ ADE使/ AD=Z B, DE交AC于E;（不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AD c 二2,D

23、BAE .求AE的值.EC【答案】见解析。【解析】（1）如图所示，/ AD所求.a 1 c(2) . / ADE=Z BDE/ BCAE =ADEC DBAB=2AC=224. （2019?广西贵港） 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知 ABC请根据“ SAS基本事实作出 DEF使 DEm ABD.【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形的判定.先作一个/ D= /A,然后在/

24、 D的两边分别截取 ED= BA DF= AC,连接EF即可得到 DEF如图,25. (2019?胡北孝感) 如图，RtAABO, Z ACB= 90 , 一同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点C为圆心，以CB为半径画弧，交 AB于点G;分别以点 G B为圆心，以大于 GB的长为半径画弧, 回两弧交点K,作射线CK以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M交AB的延长线于点 N分别以点 M N为圆心,以大于MNB勺长为半径画弧，两弧交于点P,作直线BP交AC的延长线于点 D,交射线CK于点E.请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；(1)线段CD与CE的大小关系是 ;(2)过点D作DFL

25、AB交AB的延长线于点 F,若AC= 12, BC= 5,求tan / DBF的值.【答案】见解析。【解析】(1)由作图知 CE!AB, Bd分/ CBF 据此得/ 1 = /2=/3,结合/ CEB-Z3=Z 2+Z CDE= 90知/ CEB= / CDE从而得出答案；CD= CE由作图知CEL AB, BD平分/ CBF1 = 7 2=7 3,/ CEBZ3=Z 2+ZCDE= 90 , ./ CEB= / CDECD= CE故答案为：CD= CE;（2）证ABCDABF导CD= DF从而设CD= DF= x,求出 人氏腐叉康BC2 = 13,知 sin / DAF= AD ABAB即一

26、=且，解之求得 x=A,结合 BC=BF=5可得答案.124i132. BD平分/ CBF BCL CD BFL DF, .BC= BF, / CBD= / FBD在 BCD 4BFD 中，rZDCB=ZD7B一 ZCBD=ZFBD, tBD二BDBCm BFD(AA ,.CD= DF,设 CD= DF= x,在 RtAACB, AB=c?+bc2 = 13,sin / DAF=DFAD解得x =. BC= BF=5, df.tan / DBM些 BF26. （ 2019?广东模拟题） 如图，点 D在ABC勺AB边上，且/ ACD/A.（1）作/ BDC勺平分线DE交BC于点E （用尺规作图法

27、，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线 DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.【答案】见解析。【解析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可;A./ BDE再根据同位2（2）根据角平分线的性质可得/ BDE=i/ BDC根据三角形内角与外角的性质可得/2角相等两直线平行可得结论.DEE/ AC. DE平分/ BDCZ BDE-/ BDC2. /ACD/A, /ACD/A=/BDC/ A=工/ BDC2 ./ A=Z BDEDE/ AC.27. （2019平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.1_国1已知：如图1,直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点 P.作法：如图2,(1)在直线l上任取一点 A;(2)连接AP,以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B (点A, B不重合)；(3)连接BP作/ APB的角平分线，交 AB于点H;(4)作直线PH交直线l于点H.所以直线PH就是所求作的垂线.根据小元