第九章第8节多元函数的极值及其求法ppt课件

1、第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第九章 第八节第八节多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值xyz一、

2、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: : 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值( (极小值极小值).).例如例如 : :在点在点 (0,0) (0,0) 有极小值有极小值; ;在点在点 (0,0) (0,0) 有极大值有极大值; ;在点在点 (0,0) (0,0) 无极值无极值. .极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值, ,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf 或2243yxz 22yxz yxz ),(),(00yxyxfz在在点点 的某邻域内有的某邻域内有xyz

3、xyz定理定理1.(1.(必要条件必要条件) )函数函数 在点在点 存在存在),(yxfz ),(00yx偏导数偏导数, ,证证: :),(yxfz 在点在点),(00yx),(0yxfz 0 xx 在在),(0yxfz 0yy 在在据一元函数极值的必要条件据一元函数极值的必要条件0),(,0),(0000yxfyxfyx0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值取得极值取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值 , ,则有则有说明说明(1) (1) 使偏导数都为使偏导数都为 0 0 的点称为的点称为驻点驻点 , ,但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点. .例

4、例yxz 有驻点有驻点 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 但在该点不取极值但在该点不取极值(2)(2)偏导数不存在点也可能是极值点偏导数不存在点也可能是极值点. .例例22yxZ 在点在点 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 有极大值有极大值问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？时时, , 具有极值具有极值定理定理2 (2 (充分条件充分条件) )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, , 且且令令那么那么:1):1)当当2)2)当当3)3)当当证明见证明见 第九节第九节(P122) . (P122) . 时时, , 没有极值

5、没有极值. .时时, , 不能确定不能确定 , , 需另行讨论需另行讨论. .若函数若函数的的在在点点),(),(00yxyxfz 000000 )y,x(f,)y,x(fyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 BAC02 BAC02 BAC 时取极大值时取极大值; ;0 A 时取极小值时取极小值. .0 A例例1.1.求函数求函数解解: :第一步第一步 求驻点求驻点. . 得驻点: (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .第二步第二步 判别判别. .在点(1,0)处为极小值;在点(1,2)处不是极值;解方程组ABC),(yx

6、fx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,),(66xyxfxx,),(0yxfyx66yyxfyy),(,12A,0B,6C,06122 BAC501),(f6012CBA,),(21f,)(06122 BAC0Axyxyxyxf9332233),(例例1 1 求函数驻点: (1,0) , (1,2) , (3,0) , (3,2) .在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.ABC的极值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC),(03 f6012CBA,3123),(f,)(0612

7、2 BAC,0Axyxyxyxf9332233),(例例2.2.讨论函数讨论函数及是否取得极值.解解: :显然显然 (0,0) (0,0) 是它们的驻点是它们的驻点 , , 并且在并且在 (0,0) (0,0) 都有都有02 BAC在(0,0)点邻域内的取值可能为33yxz因而 z(0,0) 不是极值.因而0)()0,0(222yxz当022 yx时,222)(yxz000),(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解

8、，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值.二二. . 最值应用问题最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点边界上的最值点特别：当区域内部最值存在特别：当区域内部最值存在, , 且只有一个极且只有一个极值点值点P P 时时, , 那么那么 )(Pf为极小( )值)(Pf为最小( )值大大大大求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值内的所有驻点处的

9、函数值及在及在D D的边界上的最大值和最小值相互比的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.解解xyo6 yxD如图如图, , 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yxD)4(),(2yxyxyxfz 例例4.4.水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面

10、积为令令得驻点得驻点)2,2(33某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2 2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, ,323332222的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱, ,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？yx2 2 Ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx 0222 xyAx 0222 yxAy因此可断定因此可断定此唯一驻点就是最小值点此唯一驻点就是最小值点. . 即当长、宽均为即当长、宽均为, ,高为高为时，水箱所用材料最省。时，水箱所用材料最省。m3m解解: :设

11、水箱长设水箱长, ,宽分别为宽分别为 , m , m ,则高为则高为yx例例5.5. 有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来,解解: :设折起来的边长为设折起来的边长为则断面面积为)20,120( xx24做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能,cmx倾角为,x224xAcos2224xxx224(21sin) xsincossin2sin2422xxx使断面面积最大cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xAcossinsin2sin2422xxxA)20,120( x0)sincos(cos2cos24 0 cos22122xxx

12、x解得:)(8,603cmx 由题意知,最大值在定义域内达到,而在域内只有一个驻点, 故为所求.,0sin0 xx224x三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值: :条件极值条件极值: :条件极值的求法条件极值的求法: : 方法方法1 1 代入法代入法. .求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外, ,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 , ,转化转化,0),(下下在在条条件件 yx 的的极极值值求求函函数数),(yxfz )(0),(xyyx 中中解解出出从从条条件

13、件)(,(xxfz 方法二方法二. . 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法在条件在条件 下下, ,求函数求函数 的极值的极值. .0),(yx),(yxfz 分析分析: : 设条件方程设条件方程 )(xy0),(yx则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数)(,(xxfz0 xdydffxdzdyxyxxdyd0yxyxffyyxxff极值点必满足极值点必满足可确定隐函数可确定隐函数极值问题极值问题 , ,极值点必满足极值点必满足故故0 xxf0yyf0引入辅助函数引入辅助函数),(),(yxyxfF极值点极值点必满足必满足000yyxxff辅助函数辅助函数F F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lag

14、range )( Lagrange )函数函数 . .0 xxxfF 0 yyyfF 0 F利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. .推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设),(),(),(21zyxzyxzyxfF解方程组可得到条件极值的可疑点 . 021xxxxfF 021yyyyfF 021zzzzfF 01 F02 F例如, 求函数),(zyxfu ,0),(zyx下的极值.0),(zyx在条件例例6 6 要设计一个容量为要设计一个容量为 的长方体开口水箱的长方体开口水箱, , 试问水试问水箱长、宽、高

15、等于多少时所用材料最省？箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？0V使使0VzyxyxzyzxS)(2zyx,则问题为求则问题为求yxz令令)()(20VzyxyxzyzxF解方程组解方程组得得303024,22VVzyx由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的, ,430V长、宽为高的长、宽为高的2 2倍时，所用材料最省。倍时，所用材料最省。解解: : 设设zyx,分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高, ,下水箱表面积下水箱表面积最小最小. .在条件在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx因而因而 , , 当高为当高为解解令令 )12(),(23

16、zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值为为例例8.8.22yxz 求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离. .解：解：2261 zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，那么那么 P P ),(zyxP22yxz 的距离为的距离为022 zyx问题归结为问题归结为(min)22(2 zyx约束条件约束条件: :022 zyx目标函数目标函数: :22 zyx作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxz

17、yxF 到平面到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41 zyx令令22yxz 解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点02)22(2 yzyxFy 0)2)(22(2 zyxFz02)22(2 xzyxFx 由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在 , ,241414161min d647 故故试在椭圆试在椭圆解答提示解答提示: :CBAoyxED例例9 9 21 031013 yxkji)103, 0,0(21 yx)0, 0(14922 yxyx那么那么 ACABS 2110321 yx已知平面上两定点已知平面上两定点 , , ,)3 , 1(A)2 , 4(B

18、圆周上求一点圆周上求一点 , ,使使CABC 面积面积 最大最大. . S设设 点坐标为点坐标为 , ,C),(yx设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而面积最大面积最大. .)491()103(222yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 049122 yx646. 1 S,54,53 yx,5 . 3,2 EDSS比较可知比较可知, ,点点 与与 重合时重合时, ,三角形三角形CE内容小结内容小结1. 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点. .即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 . .2. 2.