第三章 随机向量

1、1第三章第三章随机向量随机向量主页主页 退出退出 2例：射击弹着点的位置例：射击弹着点的位置。须由平面直角坐标系的两个坐标确定须由平面直角坐标系的两个坐标确定定义定义2.4：设：设E为随机试验，样本空间为为随机试验，样本空间为 ，X和和Y是定义在是定义在 上的上的 两个随机变量，向量（两个随机变量，向量（ X，Y）称为二维称为二维随机变量随机变量 由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论。

2、的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论。同时掷两枚骰子出现的点数。同时掷两枚骰子出现的点数。须由两个随机变量来描述须由两个随机变量来描述 对于二维对于二维随机变量随机变量（ X，Y），），既要研究（既要研究（ X，Y）作为作为整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布 。一一 二维随机变量的定义二维随机变量的定义3 二二 二维随机变量的分布二维随机变量的分布 1 1 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布定义定义 设（设（ X，Y）为二维为二维随机变量，对于任意的随机变量，对于任意的x，y， 二元函数二元函数 F(x ,y)=p(X

3、 x ,Y y) 称为称为（ X，Y）的分布函数。或的分布函数。或称为称为 X与与Y的联合分布函数的联合分布函数 联合分布函数的几何含义：联合分布函数的几何含义： 联合分布函数在点联合分布函数在点(x , y)处的函数值处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域为顶点的左下方的无穷矩形区域 ( u x , x1时，时，F(x2 , y)F(x1 , y)对任意固定的对任意固定的 x，当当 y2 y1时，时，F(x , y2) F(x , y1)4oxx1 x2 yy1 y2 (2) 对任意的对任意的 x 和和 y 都有：都有：0 F

4、(x , y) 10 )y,x()y,(limxFF0 )y,x(),x(limyFF1 )y,x(),(limyxFF(x , y) xyo (3) 当当 x1 x2 ， y1 y2 时，有时，有 P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)0 )y,x(),(limyxFF5 定义：二维随机变量定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，随机变量中，随机变量X（或或Y）自身的自身的 分布称为分布称为(X ,Y )关于关于X （或或Y）的边缘分布。的边缘分布。 结论：设结论：设(X , Y ) 的的联合分布函数

5、为联合分布函数为 F(x , y)，则有则有),x( F)y,()y,x()yY,X()yY()y(limxYRFFPPF (y )y, x(limyF )Y, xX( P)xX( P )x(XF)xR ( 2 边缘分布边缘分布边缘分布函数：边缘分布函数：X的分布函数的分布函数 FX (x) 和和 Y的分布函数的分布函数FY ( y)边缘分布函数边缘分布函数可由可由联合分布函数确定。联合分布函数确定。63 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义：二维随机变量定义：二维随机变量 (X , Y ) 中，联合分布函数和中，联合分布函数和边缘分布边缘分布 函数分别为函数分别为F(x，y)， FX (x

6、)，FY ( y）。若满足若满足 F(x，y)=FX (x)FY ( y） 则称随机变量则称随机变量 X 和和 Y 相互独立。相互独立。78定义：如果二维随机变量定义：如果二维随机变量 (X , Y ) 所有可能取的数对是所有可能取的数对是 有限个或可列个，则称有限个或可列个，则称 (X , Y ) 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。 1 二维离散型随机变量的联合分布二维离散型随机变量的联合分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的

7、数对为所有可能取的数对为 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ) 则则 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )称为二维离散型随机变量称为二维离散型随机变量(X , Y )的的联合概率函数联合概率函数或或联合分布联合分布。(X , Y )的的联合分布表：联合分布表：(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , 联合概率分布的性质联合概率分布的性质(2)1 ijjip9（ X , Y）的可能取值为：（的可能取值为：（i，j），）， i，j=1，2，3例：例： 盒中装有标号盒中装有标号1 1，2 2，2 2，3 3

8、的的4 4个个球，从中任取一个并球，从中任取一个并且不再放回，然后再从盒中任取一球。以且不再放回，然后再从盒中任取一球。以X , Y分别记为第一，分别记为第一，二次取到球上的号码数，求（二次取到球上的号码数，求（ X , Y）的联合分布。的联合分布。解：解： P(X=1,Y=1)= P(X=1,Y=2)= P(X=1,Y=3)= P(X=2,Y=1)= P(X=2,Y=2)= P(X=2,Y=3)= P(X=3,Y=1)= P(X=3,Y=2)= P(X=3,Y=3)= 0 0613241 1213141 613142 613142 613142 1213141 613241 11Y X 01

9、/ 121/ 61/ 61/ 61/ 6 1/ 1201/ 62332（ X , Y）的联合概率分布表：的联合概率分布表：(X , Y )的的联合分布函数联合分布函数 yy ,xxijjyy ,xxijijip)yY,xX(p)yY,xX(p)y,x(F10设二维随机变量设二维随机变量(X , Y )的联合分布律为的联合分布律为 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )(jij ijppyY2)( P y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 1 p i(1) 行

10、和行和 p1(1) p2(1) pi(1) pj (2) 列和列和 p1(2) p 2(2) pj(2)则则2 二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布()iP Xx jjip )(ip1 称为二维随机变量称为二维随机变量(X , Y )关于关于X , Y的边缘分布的边缘分布11注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地 确定联合分布。确定联合分布。二维随机变量二维随机变量(X , Y )关于关于X , Y的边缘分布的边缘分布x x1 1XP P2 2(1)(1)P P1 1(1)(1)P Pi i(1)(1)x xi

11、i.x x2 2P Pi i(1)(1).y y1 1YP P2 2(2)(2)P P1 1(2)(2)P Pj j(2)(2)y yj j.y y2 2P Pj j(2)(2).11Y X 01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 6 1/ 1201/ 62332例：（例：（X , Y）的联合概率分布的联合概率分布求：求：X , Y的边缘分布的边缘分布解：解：X , Y的边缘分布的边缘分布1pX 1/21/41/4321pY 1/21/41/432那么其边缘分布函数为：那么其边缘分布函数为： xx)(iXip)xX(p(x)1F yy)(jYjp)yY(p(y)2F123 随机变量随机变量X

12、 , Y的独立性的独立性离散型随机变量离散型随机变量X , Y 独立的充要条件是对一切独立的充要条件是对一切 i , j = 1, 2, 都有都有 pi j = pi（1） pj（2）即：即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P(Y= y j ) (i , j = 1, 2, )1314定义：定义： 设二维随机向量设二维随机向量(X ,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x , y)。 如果如果存在非负可积函数存在非负可积函数 f (x , y)，使得使得则称则称 (X , Y) 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f (x, y) 称为称为 (X , Y

13、 ) 的联合的联合概率密度函数，概率密度函数，或简称或简称联合密度。联合密度。 x-y-dxdy)y,x(fyx, )(F1 联合密度函数联合密度函数l 二维连续型随机变量的联合密度的基本性质二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1) f (x, y) 0 x , y R(2)1 -xoydxdy)y,x(fdxdy)y,x(f平平面面)y,x(fyx )(Fxy,15 ba)x()x(Gdy)y,x(fdxdxdy)y,x(fYX2 1 )(G,P给出联合密度给出联合密度 f (x, y) 后，事件后，事件 (X ,Y) G的的概率都可用概率都可用二重积分表示，然后化为累次积分计算二重积分

14、表示，然后化为累次积分计算 OxyabG 1 1(x) 2 2(x)当当 G 为长方形时，为长方形时， badcdx)y,x(fdxdYcbXa)(,POxyabGcd将将“”改为改为“ ”上式仍然成立。上式仍然成立。例：例：(均匀分布均匀分布)设二维随机向量设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =c, ( x , y) G G 0 , 其他其他求：求： 常数常数 c 解解 平平面面xoydxdy)y,x(f Gdxdy)y,x(f Gcdxdy1 GcSGSc1 16例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x,

15、y) =ce - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他求：求：(1) 常数常数 c ; (2) 联合分布函数联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。解解19131310303003003 ccdyedxecdyedxcdxdycedxdy)y,x(fyx)yx()yx(OxyG11x+y=1c = 9 xydudv)v ,u(fy,x)F( xy)vu(dudve003 9(2)当当 0 x + , 0 y + 时时 )F(y,x xy)vu(dvedu003 9当当 x ,

16、y 不都大于不都大于0 时时0 xydudv)v ,u(fy,x)F(= yxeeyx0 , 0 , )1)(1(33其其他他 , 0)F(y,x)e)(e(yx3311 xyvudvedue003 3 33(x , y) xyo17 dxdy)y,x(fY,XGGP)(求：求：(1) 常数常数 c ; (2) 联合分布函数联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x + ,

17、0 y + 0 , 其他其他解：解：(3)dyedx)yx( 39 1033313103413313edx)ee(dxeex)x(xOxy1y=1-x1x1- x 0 0 1 18 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为联合密度为 f (x , y) ， dy)y,x(f)x(fX称称 fX (x) 是是 (X ,Y)关于关于X 的的边缘密度函数边缘密度函数。 把把 dx)y,x(f)y(fY称为称为(X ,Y)关于关于Y的的边缘密度函数边缘密度函数。 2 边缘密度函数边缘密度函数求：求：边缘密度函数边缘密度函数 例：设例：设(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f

18、 (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x ，y 0时时 dy)y, x(f)x(fX 039dye)yx( 03333dyeeyxxe33 fX (x) =3e - 3x , 0 x + 0 , 其他其他 fY (y) =3e - 3y , 0 y R时时 dy)y,x(f)x(fX当当 x R时时 dy)y,x(f)x(fX 222221xRxRdyR 2222RxR )x(fXRxRxR2222 0 x R)y(fYRyRyR2222 0 y R203 连续型随机变量的独立连续型随机变量的独立性性 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为联合密度为 f

19、(x , y) ，边缘密度函数为边缘密度函数为fX (x) , fY (y) ，若若f (x , y)= fX (x) fY(y) ，则则X ,Y独立独立例：设例：设 (X, Y) f (x, y)=2222 1RyxR判断判断X，Y是否独立是否独立 0 其他其他解：解：RxRRx , 2222 0 其他其他 )(xfXRyRRy , 2222 )(yfY 0 其他其他f (x , y) fX(x) fY(y) ，则则X，Y不独立不独立例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0

20、, 其他其他 fX (x) =3e - 3x , 0 x + 0 , 其他其他 fY(y) =3e - 3y , 0 y + 0 , 其他其他f (x , y)= fX (x) fY (y) ，则则X ,Y独立独立21结论结论 ： 当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，边缘分布唯一确定联合分布独立，边缘分布唯一确定联合分布.定理定理 )y(f)x(f)y,x(fYX 当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，则独立，则g(X )与与h(Y ) 独立独立.223.3 二维随机变量函数的分布 若存在二元函数若存在二元函数 z = g(x, y)，使得对二维随机变量使得对二维随机变量 (X ,Y

21、)的每一取值的每一取值 (x, y)，随机变量随机变量Z 的相应取值为的相应取值为 z = g(x, y)，则称随机变量则称随机变量Z是随机变量是随机变量 (X ,Y ) 的函数，记作的函数，记作Z = g(X ,Y )。由由 (X ,Y ) 的分布求出的分布求出 Z=g(X ,Y )的分布呢？的分布呢？ 例：例： Z=X+Y23 例：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量例：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量 X 与与 Y 分别表示其长与宽的测量值。已知分别表示其长与宽的测量值。已知 (X, Y) 的联合分布如表的联合分布如表 6，求土地的面积求土地的面积 Z 的概率分布。的概率分布。

22、因为因为 Z=XY ，所以所以 Z 的可能取值是的可能取值是 20, 20.4, 21, 21.42。解：解：于是，于是，Z 的概率函数如表的概率函数如表 7 所示。所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZP表表7 P(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.4表表65.1 0.3 0.1 P(Z=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4 P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.11 1 二维二维离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布24 例：已

23、知例：已知 (X ,Y ) 的联合分布如表的联合分布如表 求求Z= X + Y 的概率分布。的概率分布。 因为因为 Z=X + Y ，所以所以Z 的可能取值是的可能取值是 1,2,3,4,5解：解：于是，于是， Z 的概率函数如表所示。的概率函数如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表表7 P(Z=1)=P(X=0, Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2) =P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=1, Y=2)+

24、P(X=2, Y=1) =0.15+0.1+0.02=0.27 P(Z=4)=P(X=1, Y=3)+P(X=2, Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2, Y=3)=025 例：若随机变量例：若随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立，它们都取非负整数值，它们都取非负整数值，概率函数分别为概率函数分别为 P ( X = k ) = a k (k = 0, 1, 2, ) P ( Y = k ) = b k (k = 0, 1, 2, )求求 Z = X + Y 的概率函数。的概率函数。解：解：)ir, i(), r()r,()r,()r(ri 0 1 1 00YXYX

25、YXYXZ) , ( )( 0 irirri YXPZP)ir()i(ri 0 YPXP(r = 0, 1, 2, ) 此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离散型独立随机变量和的散型独立随机变量和的卷积公式卷积公式，亦称为，亦称为褶积公式褶积公式。=a 0br+ a 1br-1+ a r b026 例：设随机变量例：设随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立，XB(n, p)，YB(m, p)求求 Z = X + Y 的分布。的分布。 因为因为 XB(n , p)，YB(m , p)，所以有所以有解：解：所以，所以，Z = X + Y B (n + m , p)niqpCiXPiniin , , 2 , 1 , 0 ,)( mn,r,qpCCCqpqpCqpC)irY,iX(P)rZ(Prmnrrmnririirminr