向量法求空间角(高二数学-立体几何)-精选.

1、向量法求空间角1（本小题满分 10 分）在如图所示的多面体中， 四边形 ABCDADDP ，CD平面 ADPQ ，AB AQ 12DP（1）求证：PQ 平面 DCQ ；为正方形，四边形 ADPQ 是直角梯形，Pword.2）求平面 BCQ与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小2（满分 13 分）如图所示，正四棱锥 P中， O为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为COB1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若 E 是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（ 3）问在棱上是否存在一点 F，使侧面，若存在，试确定 点 F 的位置；若不存在，说明理由3 （本小题只理科做，满分14 分）如图

2、 , 已知 AB 平面ACD , DE/AB , ACD 是正三角形 , AD=DE=2AB , 且 F是 CD的中 点.（1）求证 : AF/平面 BCE;（2）求证 :平面 BCE 平面 CDE;（ 3）求平面 BCE与平面 ACD 所成锐二面 角的大小 .P ABCD 中, PD 底面PD 2,E,F,G 分 别 为4（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 ABCD , 且 底 面 ABCD 为 正 方 形 , AD PC, PD ,CB 的中点（1）求证 : AP/平面 EFG;（ 2）求平面 GEF和平面 DEF 的夹角.5如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 A1BC 侧

3、面 A1ABB1 且AA1 AB 2.（）求证： AB BC ；（）若直线与平面 A1BC所成的角为 , 求16 锐二面角 A A1C B 的大小 .6如图，四边形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD， EA P PD， AD PD 2EA， F ，G， H 分别为 PB， EB， PC的中点（ 1）求证： FG P平面 PED ；（ 2）求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小 .C参考答案1(1)详见解析；(2)4【解析】 试题分析：(1)根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直 角坐标，由已知， DA，DP，DC 两两垂直，可以 D为原点， DA、 DP 、DC所在直线

4、分别为 x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系 表 示出图中各点的坐标： 设 AB a，则 D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0 , 2a , 0) ，则可表示出 DC (0,0,a)，DQ (a,a,0) ，PQ (a , a,0)， 根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由 DC PQ 0 ，DQ PQ 0，故 DC PQ，DQ PQ ，即可证明；( 2)首先求出两个 平面的法向量， 其中由于 DC 平面 ADPQ ，所以可取平面 ADPQ 的个法向量为n1 (0, 0,1) ；设 平 面 BCQ 的 一 个 法 向 量 为n2 (x, y,z) ， 则n2 QB

5、0 ，n2 QC 0， 故 ay az 0, 即 ax ay az 0,y z 0, 取 yx y z 0,z 1 ，则 x0，故 n2(0,1,1)，转化为两个法向量的夹角，设 n1与 n2的夹角为，则 cosn1 n2| n1 |n2 |12 22 即可求出平面 BCQ与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小 试题解析：( 1)由已知， DA ， DP ， DC两两垂直， 可以 D为原点， DA 、DP 、 DC所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标 系设 AB a，则 D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)， P(0,2a,0)，故 DC (0,0,a)， DQ

6、 (a,a,0) ， PQ (a, a,0)，PQ，因为 DC PQ 0， DQ PQ 0，故 DC PQ ，DQ 即 DC PQ ， DQ PQ ， 又 DC I DQ D 所以， PQ 平面 DCQ （ 2）因为 DC 平面 ADPQ ，所以可取平面 ADPQ 的一个法向量 为 n1 （0,0,1） ，点 B的坐标为 （a,0,a），则 QB(0, a ,a)，QC ( a, a,a) ，设平面 BCQ 的一个法向量为 n2(x,y, z)，则 n2 QB 0 ， n2 QC 0 ，故 ay az 0, 即 y z 0, 取 y z1，则 x 0 ，ax ay az 0, x y z0,故

7、 n2 (0,1,1) 设 n1与 n2 的夹角为 ，则 cosn1 n212|n1 |n2 | 22所以，平面 BCQ与平面 ADPQ 所成的锐二面角的大小为4 考点：1. 空间向量的应用； 2. 二面角的计算； 3.直线与平面的位 置关系2（1） 60 ; （2） 2 10; （3）F是的 4 等分点，靠近 A点的位5置.【解析】 试题分析：（ 1）取中点 M，连接，由正四棱锥的性质知为所6 求二面角 P O的平面角，为侧棱与底面所成的角 2 ，2 31a设 a，则 2 a， 2 a， 2 , 3 , 60 ; （2）依题 意连结，则 ，故为异面直线与所成的角，由正四棱锥的性1 1 5 质

8、易证平面 , 故 AOE为直角三角形， 2 2 PO2 DO2 4 aAO 2 10 EO 5 ；（ 3）延长交于 N，取中点 G，连，易得平 面，故平面平面，而为正三角形，易证平面，取的中点F,连,则四边形为平行四边形，从而平面 , F 是的 4 等分点， 靠近 A 点的位置 .D M A试题解析：（ 1）取中点 M，连接，依条件可知，则为 所求二面角 P O的平面角 （2 分）面，为侧棱与底面所成的角6 22设 a， 2 a，3 2 a ，PO MO 3 60（4 分）B2）连接， ，为异面直线与所成的角（6 分），平面 又 平面， 1 122PO2 DO2 5 a，4AO 2 10EO

9、58 分）3）延长交于 N，取中点 G，连，D M F A，平面平面平面（10 分）又， 60，为正三角形 又平面 平面，平面12 分）13 分）F 是的 4 等分点，靠近 A 点的位置考点：立体几何的综合问题3（ 1）见解析；（2）见解析；（3） 45 .【解析】试题分析：（1）取中点 P，连接、，根据中位线定理可知， 且且 1 DE.，2 而，且 12DE.则为平行四边形，则， 平面， ? 平面，满足线面平 行的判定定理，从而证得结论；（ 2）根据 平面，则 平面，又 ? 平面，根据线面垂直的性质 可知 DE AF 又AF CD，CDI DE D ，满足线面垂直的判定定理， 证得 平面，又

10、，则 平面， 平面，根据面面垂直的判定定理 可证得结论；（3）由（ 2），以 F 为坐标原点，所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 F设 2，根据线面垂直求出平面的法 向量 n，而（ 0，0， 1）为平面的法向量，设平面与平面所成锐 二面角为 ，根据 cos |m n| 可求出所求|m| |n|试题解析：（1）解: 取中点 P,连结、 F为的中点 ,且 1DE.2又, 且 1DE., 且,2为平行四边形 , 又 AF 平面 平面 ,平面（ 2）为正三角形 , AF CD . 平面 , 平面 , 又 平面 , . 又 , 平面又, 平面.又 平面, 平面平面（3）法一、由（ 2）,

11、以 F为坐标原点 所在的直线分别为轴（如图） ,建立空间直角坐标系 F. 设 2,则 C(0, 1,0 ), B( 3,0,1),E,(0,1,2). 设 vn (x,y,z) 为平面的法向量，v uuuv v uuuv n CB 0,n CE 0,3x y z 0 ，令 1, 则 vn (0, 1,1)2y 2z 0显然 , m （0,0,1） 为平面的法向量设面与面所成锐二面角为 ,则 cos|m n| 1 2|m| |n| 2 245 .即平面与平面所成锐二面角为 45 法二、延长、 , 设、交于一点 O,连结 . 则面 EBCI 面DAC CO .由是 EDO的中位线 , 则 DO 2

12、AD.在 OCD 中QOD 2AD 2AC, ODC 600. OC CD , 又 OC DE.OC 面 ECD,而 面,OC CE, ECD为所求二面角的平面角在 Rt EDC 中， Q ED CD， ECD 450 即平面与平面所成锐二 面角为 45 . 考点：与二面角有关的立体几何综合题； 直线与平面平行的判定； 平面与平面垂直的判定4证明见解析. 同时注意两点：【解析】 试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系， 准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 . 其中 灵活建系是解题的关键 . （2）证明线面平行，需证线线平行，只 需要证明直线的方向向量与平面的法

13、向量垂直； （ 3）把向量夹角 的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值 ; （ 4）空间向量将空 间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特 征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中 判定定理与性质定理条件要完备 .试题解析：(1)如图，以 D为原点,以uDuAur,uDuCur,uDuPur 为方向向量 建立空间直角坐标系 D xyz,则 P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1), A( 2,0,0) .AP ( 2,0,2),EF (0, 1,0), EG (1,1 1).设

14、平面 EFG 的法向量为 n (x,y,z)r uuurnr uEuFur 0,即 y 0, x z, 令 x 1n EG 0, x y z 0. y 0.则 rn (1,0,1).r uuur r uuurQ n AP 1 ( 2) 0 0 1 2 0, n AP.又 AP 平面 EFG, AP/ 平面 EFG.(2) 底面 ABCD 是正方形 , AD DC,又 PD 平面 ABCDAD PD.又 PD CD D, AD 平面 PCD向量 DA是平面 PCD的一个法向量 , DA (2,0,0)又由( 1)知平面EFG 的法向量 rn (1,0,1) .uuur r cos DA,n|DA

15、| |n|uuur rDA n uur r二面角 G EF D 的平面角为 450.考点：（ 1）证明直线与平面平行； （2）利用空间向量解决二面角 问题.5（）详见解析 ; （） .解析】3word.试题分析：（）取 A1B 的中点 D，连接，由已知条件推导出平 面 A1BC ，从而 AD BC ，由线面垂直得 AA1 BC 由此能证明 AB BC（）方法一：连接，由已知条件得 ACD 即为直线 AC与平面 A1BC所成的角， AED 即为二面角 A A1C B的一个平面角， 由此能求出二面角 A A1C B 的大小解法二（向量法） ：由（ 1） 知 AB BC 且 BB1 底面 ABC ，

16、所以以点 B 为原点，以 BC、BA、BB1 所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系 B xyz，设 BC a，则 uuur uuurA(0, 2,0) ， B(0,0,0) ，C(a,0,0) ， A1(0,2, 2)， BC (a,0,0) ， BA1 (0,2,2) ，uAuuCr (a, 2,0) ，uAuAur1 (0,0,2) ， 求 出 平 面 A1BC 的 一 个 法 向 量n1 (x,y,z) ，设直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ，则 6 得 uuur urACgn1uuur ursin62 1 ，解得 a 2，即 uAuCur （2, 2,0） ，求出

17、平面AC n1 4 a2 2uurA1AC 的一个法向量为 n2 (1,1,0)，设锐二面角 A A1C B 的大小为 ， ur uurunr1gnuur2 12 ，且(0,2) ， 即可求出锐二面角ur uur则 cos cos n1,n2n1 n2A A1C B 的大小 .试题解析：解（ 1）证明：如图，取 A1B的中点 D，连接 AD，因 AA1 AB，则 AD A1Bword.由平面 A1BC 侧面 A1 ABB1 ，且平面 A1BC I 侧面 A1ABB1 A1B ， 得 AD 平面 A1BC ，又 BC 平面 A1BC， 所以 AD BC .因 为 三棱 柱 ABC A1B1C1

18、是 直三 棱 柱 ， 则 AA1 底面ABC ， 所 以 AA1 BC .又 AA1I AD=A ，从而 BC 侧面 A1ABB1 ，又 AB 侧面 A1ABB1 ，故AB BC. 6 分解法一：连接 CD ，由（1）可知 AD 平面A1BC ，则CD是 AC在平面A1BC 内的射影 ACD 即为直线 AC 与 平面 A1BC 所成的角，则 ACD= 在等6 腰直角 A1AB中，AA1 AB 2，且点 D是 A1B中点， AD 1 A1B 2，且 ADC= ， ACD=26 AC 2 2过点 A 作 AE A1C 于点 E，连 DE ，由（ 1）知 AD 平面A1BC ，则AD A1C ，且

19、AEI AD AAED 即为二面角A A1C B 的一个平面角且直角A1AC 中：A1A ACAE 12 2 22 6 ， 又 AD= 2 ，ADE=23A1C32ADsin AED=23，AE262，3且二面角 A A1C B为锐二面角 AED= ，即二面角 A A1C B3的大小为 12 分3底面ABC ，所以以解法二（向量法） ：由（ 1）知 AB BC且 BB1点 B 为原点，以 BC、 BA、 BB1所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系 B xyz ， 如图所示，且设 BC a ，则 A(0,2,0) ，B(0,0,0) ，C(a,0,0) ， uuur uuur uuur

20、A1(0, 2, 2) ， BC (a,0,0) ，BA1 (0,2,2) ， AC (a, 2,0)，uuur ur uuur urAA1 (0,0,2) 设平面 A1BC 的一个法向量 n1 (x, y, z) ，由BC n1 ， uuur ur（1,1,0），设锐二面角 A A1C B 的大小为，则cosur uur cos n1,n22，且(0, 2)，得BA1 n1 得：得 sin6uuur urAC n12 1 uuuruuur ur 2 ，解得 a 2 ，即 AC (2, 2,0) AC n14 a2 2 2x2ay 20z 0 令 y 1 ，得 x 0,z 1，则 n1 (0,

21、1, 1)设直线 AC与平面A1BC 所成的角为 ，则 6又设平面 A1AC 的一个法向量为 unur2 ，同理可得 锐二面角 A A1C B的大小为 3 .考点：1. 用空间向量求平面间的夹角； 2.空间中直线与直线之间的位置关系6（1）证明见解析；（2） 450【解析】 试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系， 准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算. 其中灵活建系是解题的关键 . （2）证明证线线垂直，只需要证明直线 的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量 夹角的余弦值 ; （ 4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算， 应用的核心是要充

22、分认识形体特征， 建立恰当的坐标系， 实施几何问题代数化 . 同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标， 准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完 备.试题解析：（1）证明： QF, G分别为 PB， BE的中点，FG P PE.又QFG 平面 PED ， PE 平面 PED，FG P平面 PED.（2）解: Q EA 平面 ABCD， EA P PD， PD 平面 ABCD.Q AD,CD 平面 ABCD, PD AD， PD CD.Q 四边形 ABCD是正方形， AD CD .以 D为原点 , 分别以直线 DA,DC,DP 为 x轴, y 轴, z轴 建立如图所示的空间直角坐

23、标系，设 EA 1.Q AD PD 2EA,D 0,0,0 ，P 0,0,2 ， A 2,0,0 ， C 0,2,0 ，B 2,2,0 ，E(2,0,1) ,uuurPBuuur(2,2, 2), PC(0,2, 2).Q F，G， H 分别为 PB ， EB ， PC的中点，uuur 1 uuur 1 H (0,1,1), GF ( 1,0, ), GH ( 2,0, ).22解法一)设 n1 (x1, y1, z1)为平面 FGH 的一个法向量，n1n1uuur GF uuur GHx12x112z112z10，令 y1 1 ，得 n1 (0,1,0) .0n2 (x2,y2,z2)为平面 PBC的一个法向量 , 则n2n2uuurPBuuurPC2x2 2y2 2z2 02y2 2z2 0 ，令 z2 1，得 n2 (0,1,1) .n1n2n1n222所以 cos n1,n2或 45 )uuuur uu