§7.3.1平面和直线ppt课件

1、有下述关系与三元方程若曲面0),( zyxFS： （1）上的点的坐标曲面S 都满足方程0),(zyxF； （2）不在上的点的坐标曲面S 都不满足方程0),(zyxF， 则方程SzyxF 0),(称为曲面的方方程程，称为方而曲面 S 程0),(zyxF的图图形形。 空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。 7.37.3平面与直线平面与直线 MM 作向量，nMM 则， 7 7. .3 3. .1 1 平平面面的的方方程程（一一）平平面面的的点点法法式式方方程程与平面垂直的非零向量称为该平面的法法向向量量。即MMn0。pMMn解：上的任一点为平面设 ),(pzyxM， 一、平面的方程一、平

2、面的方程 ),( zyxM过点设平面p， , , CBAn法向量为， 的方程求平面 p。 MM,zzyyxx， , ,CBAn， 0)()()(zzCyyBxxA， 方程的称为平面 p点点法法式式方方程程。 例 1求过点) 1 , 1 , 2(且垂直于向量kji32的平面方程。解：取3 2, , 132kjin为法向量，即0732zyx。 由平面的点法式方程，得所求平面的方程为： 0) 1(3) 1(2)2(1zyx， 例 2求xoy坐标平面的方程。 解：面垂直于向量xoyk ， 故取1 0, , 0k为法向量， 又xoy面过原点)0 , 0 , 0(，所求方程为 0)0(1)0(0)0(0z

3、yx， 即 xoy面的方程为0z； 同理， yoz面的方程为0 x； xoz面的方程为0y。 （二二）平平面面的的一一般般方方程程反之，CBA , , 当不全为零时，方程一定表示一个平面。 将方程0)()()(zzCyyBxxA展开得： 0)(CzByAxCzByAx， 令DCzByAx)(，则有 0DCzByAx。 这是的一次 , zyx方程，所以平面可用的一次 , zyx 方 程 来 表 示 ； 取方程的一组解),(zyx，则有 方程 0DCzByAx 称为平面的一一般般方方程程。 在在平平面面解解析析几几何何中中，一一次次方方程程表表示示一一条条直直线线； 在在空空间间解解析析几几何何中

4、中，一一次次方方程程则则表表示示一一个个平平面面。留意：留意： -得：0)()()(zzCyyBxxA， 它表示过点),(zyx，且以 , ,CBAn为法向量的平面。 0DCzByAx 下面讨论方程的特殊情况。1 1通通过过原原点点的的平平面面当0D时，方程0CzByAx表示通过原点的平面；2 2平平行行于于坐坐标标轴轴的的平平面面当0A时，方程0DCzBy轴的平面表示平行于 x； 平面的法向量为, 0CB与0 , 0 , 1i垂直， 方程0DCzBy轴的平面表示平行于 x。 当0B时，方程0DCzAx轴的平面表示平行于 y； 当0C时，方程0DByAx轴的平面表示平行于 z。 3 3通通过过

5、坐坐标标轴轴的的平平面面4 4平平行行于于坐坐标标平平面面的的平平面面时当 0 DA，方程0CzBy轴的平面表示通过 x； 时当 0 DB，方程0CzAx轴的平面表示通过 y； 时当 0 DC，方程0ByAx轴的平面表示通过 z。 时当 0 BA，方程0DCz面的平面表示平行于 xoy； 平面的法向量轴轴和同时垂直 , 0 , 0yxC， 方程0DCz面的平面表示平行于 xoy。 时当 0 CA，方程0DBy面的平面表示平行于 xoz； 时当 0 CB，方程0DAx面的平面表示平行于 yoz。 则有0 DAa，0 DBb，0 DCc， 0DzcDybDxaD， aDA，bDB，cDC。 化简得

6、 1czbyax。 方程称为平面的截截距距式式方方程程。（三三）平平面面的的截截距距式式方方程程设平面方程为0DCzByAx，xyzoPQR 设平面与坐标轴分别交于)0 , 0 ,(aP，)0 , , 0(bQ，) , 0 , 0(cR三点，其中0cba。求平面的方程。 法向量为 ,1CBAn ，的平面 2p法向量为 1 1, , 12n。 有0DCBA，0DCB，的方程故平面 1p为02CzCyCx，即02zyx。 例 3) 1 , 1 , 0( ),1 , 1 , 1 ( 211pMM过点平面，且与平面 2p：垂直 0zyx，的方程求平面 1p。 解：方法方法 1：设0 1pDCzByAx

7、的方程为平面，其 上在平面和点 121pMM， 21pp，21nn， 021nn，即0CBA， 0D，CB ，CA2。 上在平面 121pMM，21MM=2 0, , 1， 1n2n，1n21MM， 1 1, , 22011112121kjiMMnn， 取定点为) 1 , 1 , 1 (1M代入点法式，的方程得平面 1p： 0) 1() 1() 1(2zyx，即02zyx。 方方法法 2：设11 n的法向量为平面p， 的法向量为平面 2p1 1, , 12n。 解：方方法法 1：设所求平面的方程为0CzBy， 其法向量为 , , 01CBn ， 平面03245zyx的法向量为2 4, , 52

8、n， 1n2n， 1n2n024CB，BC2， 02 BzBy，02 zy即为所求的平面方程。 例 403245 zyxx轴且垂直于平面求通过的 平 面 方 程 。 方法方法 2：设所求平面的1 n法向量为， 平面03245zyx的法向量为2 4, , 52n， in 1， 21nn，可取1n=2n i4 2, , 042001245kjkji，取定点为)0 , 0 , 0(，代入点法式，得所求平面的方程：0)0(4)0(2)0(0zyx，即02 zy。（四四）平平面面的的三三点点式式方方程程 已知平面上不共线的三点),(1111zyxM，),(2222zyxM， ),(3333zyxM，求平

9、面方程。 解：设),(zyxM为平面上任一点，作向量MM1，21MM，31MM，则0)(31211MMMMMM，即0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx.设两平面为1p：01111DzCyBxA， 2p：02222DzCyBxA，法向量分别为, 1111CBAn ， ,2222CBAn ，二二、两两平平面面的的夹夹角角两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。1p2p1n2n.cos2222222121212121212111CBACBACCBBAAnnnn例 5求两平面032zyx与052zyx的夹角。解：2 , 1 , 11n、1 , 1 , 22n，211122) 1(1212cos2222122，3p。0212121CCBBAA212121CCBBAA三三、点点到到平平面面的的距距离离 设),(zyxP是平面0DCzByAx外的一点， 求dP 到这平面的距离点。 cos 11PPnPPn